積分とその応用

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積13 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

k > 0

とする。曲線

y = \sin 2 x (0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})

と

x

軸で囲まれた部分の面積を

y = k \sin x

が2等分するように定数

k

の値を定めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積15 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

x

軸に平行な直線と曲線

y = \sin x (0 ≦ x ≦ 3 π)

が4点で交わるとき、この直線と曲線で囲まれた3つの部分の面積の和が最小となるような直線の方程式を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積14 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

1 ≦ a ≦ e

とする。曲線

y = e^{x} - a

と

x

軸、

y

軸および直線

x = 1

で囲まれた部分の面積を

S (a)

とする。
(1)

S (a)

を求めよ。
(2)

S (a)

の最小値とそのときの

a

の値を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積12 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線

\frac{\sqrt{x}}{a} + \frac{\sqrt{y}}{b} = 1

は、直線

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

と

x

軸、

y

軸で囲まれた三角形を一定の面積の比に分割することを示せ。ただし、

a > 0, b > 0

とする。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積11 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線

y = a x^{2}

と

y = \log x

はただ1点を共有し、その点におけるそれぞれの接線は一致するものとする。
(1)定数

a

の値と共有点の座標を求めよ。
(2)この2つの曲線と

x

軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積10 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

x = \cos^{4} θ, y = \sin^{4} θ (0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})

で表される曲線を

C

とし、曲線

C

の接線を

l

とする。曲線

C

と接線

l

、

x

軸で囲まれた部分の面積と、曲線

C

と接線

l

、

y

軸で囲まれた面積の和が

\frac{1}{24}

であるという。このとき、接線

l

の方程式を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積8 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線

x = \cos^{3} θ, y = \sin^{3} θ

で囲まれた部分の面積を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積7 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の曲線と

x

軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
(1)

x = 1 - t^{4}, y = t - t^{3} (0 ≦ t ≦ 1)

(2)

x = t + \sin t, y = 1 - \cos t (0 ≦ θ ≦ 2 π)

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積5 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線

5 x^{2} + 2 x y + y^{2} = 16

で囲まれた部分の面積

S

を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積9 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
座標平面上で、原点

O

から曲線

y = \sin x

へ引いた接線の接点を

T (α, \sin α)

とする。ただし、

π < α < \frac{3}{2} π

とする。
(1)

α

の満たす方程式を求めよ。
(2)曲線

y = \sin x

と線分

O T

で囲まれた部分の面積

S

を、

\cos α

で表せ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積6 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
2つの曲線

y = x^{2}, \sqrt{x} + \sqrt{y} = 2

と

y

軸で囲まれた部分の面積

S

を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積4 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の曲線と

x

軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

x = \cos θ

y = 2 \sin θ (0 ≦ θ ≦ π)

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積3 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。
(1) y²=x²(1-x)
(2) |y+1|=x|x-3|

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積2 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の楕円によって囲まれた図形の面積を求めよ。
(1) 2x²+3y²=6
(2) 3x²+4y²=1

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積1 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積を求めよ。
(1)

y = x e^{1 - x}

,

y = x e^{x - 1}

(2)

y = x^{2}

,

y = x e^{1 - x}

(3)

y = e^{x}

,

y = e^{3 x}

,

y = e^{2 - x}

(4)

y = (x - e) l o g x

,

y = 0

(5)

y = s i n x

,

y = s i n 2 x (0 ≦ x ≦ 2 π)

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【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分部分積分 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
定積分

\int_{0}^{1} x^{2} e^{2 x} d x

を求めよ。

定積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (a x - \sin x)^{2} d x

を最小にする実数

a

の値を求めよ。

定積分

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 x} \sin x d x

を求めよ。

自然数

n

について、

I_{n} = \int_{1}^{e} (\log x)^{n} d x

とする。
(1)

I_{1}

を求めよ。
(2)

I_{n + 1}

を

I_{n}

を用いて表せ。
(3)

I_{4}

を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分置換積分 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の定積分を求めよ。
(1)

\int_{- 1}^{0} (x + 2) \sqrt{3 x + 4} d x

(2)

\int_{0}^{4} \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}} d x

(3)

\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x

(4)

\int_{1}^{3} \frac{d x}{x \sqrt{x + 1}}

(5)

\int_{1}^{2} \frac{d x}{e^{x} - 1}

(6)

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{3} x}{\cos^{2} x} d x

次の定積分を求めよ。ただし、

a

は正の定数とする。
(1)

\int_{0}^{1} \sqrt{2 x - x^{2}} d x

(2)

\int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{\sqrt{2 x - x^{2}}}

(3)

\int_{1}^{\frac{a}{2}} \frac{d x}{(a^{2} - x^{2})^{\frac{3}{2}}}

(4)

\int_{1}^{2} \frac{d x}{x^{2} - 2 x + 2}

(5)

\int_{3}^{5} \frac{d x}{x^{2} - 4 x + 4}

(6)

\int_{6}^{12} \frac{d x}{x^{2} - 3 x - 10}

(7)

\int_{0}^{a} \frac{d x}{(x^{2} + a^{2})^{2}}

(8)

\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{2 x + 1}{x^{2} + 1} d x

次のことが成り立つことを証明せよ。
(1)

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (a + b - x) d x

(2)

\int_{- a}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} {f (x) + f (- x)} d x

(3)

\int_{0}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{a}{2}} {f (x) + f (a - x)} d x

(4)

f (a + x) = f (a - x)

のとき

\int_{a - b}^{a + b} f (x) d x = 2 \int_{a}^{a + b} f (x) d x

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【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分置換積分、部分積分 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次を求めよ
(1)

\int_{0}^{1} \sqrt{e^{1 - t}} d t

(2)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos 2 θ}{\sin θ + \cos θ} d θ

(3)

\int_{0}^{π} \sin^{4} x d x

(4)

\int_{1}^{2} \frac{\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}}{x} d x

次を求めよ
(1)

\int_{0}^{π} | \cos 2 θ | d θ

(2)

\int_{0}^{π} | \sin x + \cos x | d x

m, n

は正の整数とする。次の定積分を求めよ。
(1)

\int_{0}^{π} \cos m x \cos n x d x

(2)

\int_{0}^{π} \sin m x \sin n x d x

(3)

\int_{0}^{π} \sin m x \cos n x d x

定積分

\int_{0}^{π} (1 - a \sin x - b \sin 2 x)^{2} d x

を最小にする定数

a, b

の値を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】不定積分置換積分、部分積分3 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の不定積分を求めよ。
(1)

\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^{3}} + 1} d x

(2)

\int \frac{d x}{x \sqrt{x + 1}}

(3)

\int \log | x^{2} - 1 | d x

(4)

\int \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- x}} d x

次の不定積分を求めよ。
(1)

\int \tan^{4} x d x

(2)

\int \frac{d x}{\sin 2 x}

(3)

\int \frac{1}{1 - \sin x} d x

(4)

\int (\sin^{3} x - \cos^{3} x) d x

次の不定積分を求めよ。
(1)

\int e^{x} \cos x d x

(2)

\int e^{- x} \sin x d x

次の不定積分を求めよ。
(1)

\int \sin x \log (\cos x) d x

(2)

\int x \tan^{2} x d x

(3)

\int \frac{1}{1 - e^{x}} d x

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【数Ⅲ】【積分とその応用】不定積分置換積分、部分積分2 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の不定積分を求めよ。
(1)

\int \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + 1} d x

(2)

\int \frac{x^{4}}{x^{2} - 1} d x

(1)次の等式が成り立つように、定数

a, b, c

の値を定めよ。

\frac{3 x + 2}{x (x + 1)^{2}} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x + 1} + \frac{c}{(x + 1)^{2}}

(2)不定積分

\int \frac{3 x + 2}{x (x + 1)^{2}} d x

を求めよ。

次の不定積分を求めよ。
(1)

\int \frac{d x}{x (x^{2} - 1)}

(2)

\int \frac{d x}{x^{2} (x + 2)}

(3)

\int \frac{d x}{x (x^{2} + 1)}

(4)

\int \frac{x^{2} + 1}{x^{4} - 5 x^{2} + 4} d x

(5)

\int \frac{3 x + 2}{x (x + 1)^{3}} d x

(6)

\int \frac{x^{4}}{x^{3} - 3 x + 2} d x

次の不定積分を求めよ。
(1)

\int \frac{d x}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}}

(2)

\int \frac{x}{\sqrt{3 x + 4} - 2} d x

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【数Ⅲ】【積分とその応用】不定積分置換積分、部分積分1 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の不定積分を求めよ。
(1)

\int x \sqrt[3]{1 + x} d x

(2)

\int \sin x \cos^{4} x d x

(3)

\int \frac{d x}{\cos^{4} x}

(4)

\int (2 x + 1) e^{x^{2} + x + 5} d x

(5)

\int \frac{e^{2 x}}{(e^{x} + 2)^{2}} d x

(6)

\int \frac{\log x}{x (\log x - 1)^{2}} d x

次の不定積分を求めよ。
(1)

\int \frac{x}{\cos^{2} x} d x

(2)

\int x \log (x - 2) d x

次の不定積分を求めよ。
(1)

\int x \log (x^{2} - 2) d x

(2)

\int e^{x} \log (e^{x} + 1) d x

不定積分

\int (\log x)^{3} d x

を求めよ。

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福田のおもしろ数学380〜定積分の計算

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{π / 2} l o g (c o s x) d x

を計算せよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】体積の2等分 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
a＞0とする。曲線y=a²-x²(-a≦x≦a)とx軸で囲まれた部分を、軸の周りに1回転させてできる立体の体積を、曲線y=kx²をy軸の周りに1回転させてできる曲面で2等分したい。定数kの値を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】回転体の体積が最大になるとき ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
0≦t≦π/2とする。曲線y=sinxおよび3直線x=t、x=2t, y=0で囲まれた部分を、x軸の周りに1回転させてできる立体の体積をV(t)とする。V(t)が最大になるの値をαとするとき、cosαを求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】媒介変数表示の回転体の体積 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線x=tanθ、y=cos2θ(-π/4≦θ≦π/4)とx軸で囲まれた部分を、x軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】回転軸をまたぐ回転体の体積 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の曲線や直線で囲まれた部分を、x軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。
(1)y=2-x²、y=x
(2)y=sinx、y=sin2x(π/3≦x≦π)

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【数Ⅲ】【積分とその応用】y=1周りの回転体の体積 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の曲線や直線で囲まれた部分を、直線y=1の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。

(1)

y = 2 \sin x

(0 ≦ x ≦ π)

、

y = 1

(2)

x = \sqrt{x}

、

x = 0

、

y = 1

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【数Ⅲ】【積分とその応用】y軸周りの回転体の体積3 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
y=log x、原点を通るこの曲線の接線、およびx軸で囲まれた部分を、y軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ

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【数Ⅲ】【積分とその応用】y軸周りの回転体の体積2 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線y=cosx(0≦x≦π)とy軸、および直線y=−1で囲まれた部分を、y軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】y軸周りの回転体の体積1 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の曲線や直線で囲まれた部分を、y軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。
(1)

y = x^{2}

,

x + \sqrt{y} = 2

,

x = 0

(2)

y = x^{2} - 4 x + 5

,

y = 2 x

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 積分とその応用

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積13 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積15 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積14 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積12 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積11 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積10 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積8 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積7 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積5 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積9 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積6 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積4 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積3 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積2 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積1 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分部分積分 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分置換積分 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分置換積分、部分積分 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】不定積分置換積分、部分積分3 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】不定積分置換積分、部分積分2 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】不定積分置換積分、部分積分1 ※問題文は概要欄

福田のおもしろ数学380〜定積分の計算

【数Ⅲ】【積分とその応用】体積の2等分 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】回転体の体積が最大になるとき ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】媒介変数表示の回転体の体積 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】回転軸をまたぐ回転体の体積 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】y=1周りの回転体の体積 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】y軸周りの回転体の体積3 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】y軸周りの回転体の体積2 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】y軸周りの回転体の体積1 ※問題文は概要欄