面積・体積・長さ・速度
面積・体積・長さ・速度
福田の数学〜慶應義塾大学2021年医学部第１問(2)〜回転体の体積と極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)0 \lt \alpha \lt 1,m \gt 0とする。曲線y=x^{\alpha}-mx(x \geqq 0)とx軸で囲まれた図形\\
をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積をVとする。mを固定してa \to +0\\
とするときのVの極限値をmの式で表すと、\lim_{a \to +0}V=\boxed{\ \ (え)\ \ }となる。\\
また、\alphaを固定してm \to \inftyとするときm^3Vが0でない数に収束するならば\\
\alpha=\boxed{\ \ (お)\ \ }である。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学医学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)0 \lt \alpha \lt 1,m \gt 0とする。曲線y=x^{\alpha}-mx(x \geqq 0)とx軸で囲まれた図形\\
をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積をVとする。mを固定してa \to +0\\
とするときのVの極限値をmの式で表すと、\lim_{a \to +0}V=\boxed{\ \ (え)\ \ }となる。\\
また、\alphaを固定してm \to \inftyとするときm^3Vが0でない数に収束するならば\\
\alpha=\boxed{\ \ (お)\ \ }である。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学医学部過去問
【数Ⅲ】積分法：楕円で構成された図形の面積
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#チャート式#青チャートⅢ#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
【高校数学 数学Ⅲ 積分法の応用】
2つの楕円$x^2＋3y^2=4・・・①、3x^2＋y^2=4・・・②$がある。
（１）2つの楕円の4つの交点の座標を求めよ。
（２）2つの楕円の内部の重なった部分の面積を求めよ。
（出典元）青チャート数学Ⅲより
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【高校数学 数学Ⅲ 積分法の応用】
2つの楕円$x^2＋3y^2=4・・・①、3x^2＋y^2=4・・・②$がある。
（１）2つの楕円の4つの交点の座標を求めよ。
（２）2つの楕円の内部の重なった部分の面積を求めよ。
（出典元）青チャート数学Ⅲより
福田の数学〜早稲田大学2021年教育学部第１問(2)〜ねじれの位置にある線分の回転
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ (2)座標空間に$2$点$A(0,-1,1)$と$B(-1,0,0)$をとる。線分$AB$を$z$軸の周りに
1回転してできる面と2つの平面$z=0,z=1$とで囲まれた部分の体積を求めよ。
2021早稲田大学教育学部過去問
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${\Large\boxed{1}}$ (2)座標空間に$2$点$A(0,-1,1)$と$B(-1,0,0)$をとる。線分$AB$を$z$軸の周りに
1回転してできる面と2つの平面$z=0,z=1$とで囲まれた部分の体積を求めよ。
2021早稲田大学教育学部過去問
数学「大学入試良問集」【12−2 微分と直方体の体積】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#朝日大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
縦$x$、横$y$、高さ$z$の和が12、表面積が90であるような直方体を考える。
（1）$y+z$および$yz$を$x$の式で表せ。
（2）このような直方体が存在するための$x$の範囲を求めよ。
（3）このような直方体のうち体積が最大であるものを求めよ。
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縦$x$、横$y$、高さ$z$の和が12、表面積が90であるような直方体を考える。
（1）$y+z$および$yz$を$x$の式で表せ。
（2）このような直方体が存在するための$x$の範囲を求めよ。
（3）このような直方体のうち体積が最大であるものを求めよ。
【数Ⅲ】積分法：①逆関数を用いた積分！ 曲線y=e^x,x=1,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
曲線$y=e^x,x=1$,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ
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曲線$y=e^x,x=1$,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ
【数Ⅲ】積分法：②バウムクーヘン型積分！ 曲線y=e^x,x=1,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
曲線$y=e^x,x=1$,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ
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曲線$y=e^x,x=1$,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ
数検準1級2次過去問（7番 微分積分）
単元：
#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
7⃣ $y=(1+logx)logx$
とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
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7⃣ $y=(1+logx)logx$
とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
【数Ⅲ-177(最終回)】速度と道のり②(平面運動編)
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#微分法#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(速度と道のり②・平面運動編)
ポイント
平面上を運動する点$P$の座標$(x,y)$が、時刻$t$の関数$x=f(t)$、$y=g(t)$で表されるとき、 点$P$が時刻$t=a$から$t=b$までの間に通過する道のり$S$は
$S=$ ①
②
平面上を動く点$P$の時刻における座標$(x,y)$が$x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$で与えられている。
このとき、$t=0$から$t=\pi$までの間に点$P$の動いた道のりを求めよ。
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数Ⅲ(速度と道のり②・平面運動編)
ポイント
平面上を運動する点$P$の座標$(x,y)$が、時刻$t$の関数$x=f(t)$、$y=g(t)$で表されるとき、 点$P$が時刻$t=a$から$t=b$までの間に通過する道のり$S$は
$S=$ ①
②
平面上を動く点$P$の時刻における座標$(x,y)$が$x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$で与えられている。
このとき、$t=0$から$t=\pi$までの間に点$P$の動いた道のりを求めよ。
【数Ⅲ-176】速度と道のり①(直線運動編)
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#微分法#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(速度と道のり①・直線運動編)
ポイント
数直線上を運動する点Pの速度$v$が時刻$t$の関数$v=f(t)$で表されるとき、$t=a$から$t=b$までのPの位置の変化$S$、Pの道のり$l$は
位置の変化$S=$ ①
道のり$l=$ ➁
Q
$x$軸上を運動する点の、時刻$t$における位置を$f(t)$、速度を$v(t)$とすると、$v(t)=4t-t^2$と表されるという。
$f(1)=5$のとき、次の問いに答えよ。
③時刻$t$における位置$f(t)$を求めよ。
④$t=2$から$t=5$までに点が動いた道のりを求めよ。
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数Ⅲ(速度と道のり①・直線運動編)
ポイント
数直線上を運動する点Pの速度$v$が時刻$t$の関数$v=f(t)$で表されるとき、$t=a$から$t=b$までのPの位置の変化$S$、Pの道のり$l$は
位置の変化$S=$ ①
道のり$l=$ ➁
Q
$x$軸上を運動する点の、時刻$t$における位置を$f(t)$、速度を$v(t)$とすると、$v(t)=4t-t^2$と表されるという。
$f(1)=5$のとき、次の問いに答えよ。
③時刻$t$における位置$f(t)$を求めよ。
④$t=2$から$t=5$までに点が動いた道のりを求めよ。
12愛知県教員採用試験（数学：3番 ひたすら積分）
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
3⃣
$C_1:y=ax^3$と$C_2:y=logx$は接する。
$C_1,C_2$とx軸で囲まれた図形のx軸中心の回転体の体積Vを求めよ。
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3⃣
$C_1:y=ax^3$と$C_2:y=logx$は接する。
$C_1,C_2$とx軸で囲まれた図形のx軸中心の回転体の体積Vを求めよ。
重積分⑧-1【一般の変数変換】（高専数学 微積II，数検1級1次解析対応）
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#図形と方程式#円と方程式#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学検定#数学検定1級#数学(高校生)#数Ⅲ#高専(高等専門学校)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
楕円面$\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
で囲まれる立体の体積Vを求めよ $(a,b,c > 0)$
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楕円面$\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
で囲まれる立体の体積Vを求めよ $(a,b,c > 0)$
16兵庫県教員採用試験（数学：3番 微積）
単元：
#積分とその応用#定積分#面積・体積・長さ・速度#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
3⃣直線$l_1:y=kx+2k$が曲線$C:y=x^3-3x+2$の変曲点を通るとき、$l_1$とCで囲まれた面積を求めよ。
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3⃣直線$l_1:y=kx+2k$が曲線$C:y=x^3-3x+2$の変曲点を通るとき、$l_1$とCで囲まれた面積を求めよ。
【数Ⅲ-175】曲線の長さ②(媒介変数表示編)
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#微分法#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(曲線の長さ②・媒介変数表示編)
ポイント
曲線$x=f(t)$、$y=g(t) (a \leqq t \leqq b)$ の長さ$L$は $L=$①
②曲線$x=a\cos^3θ、y=a \sin^3θ (0 \leqq θ \leqq \frac{\pi}{2})$の長さを求めよ。
ただし$a \gt 0$とする。
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数Ⅲ(曲線の長さ②・媒介変数表示編)
ポイント
曲線$x=f(t)$、$y=g(t) (a \leqq t \leqq b)$ の長さ$L$は $L=$①
②曲線$x=a\cos^3θ、y=a \sin^3θ (0 \leqq θ \leqq \frac{\pi}{2})$の長さを求めよ。
ただし$a \gt 0$とする。
重積分⑦-2【極座標による変数変換】（高専数学 微積II，数検1級1次解析対応）
単元：
#大学入試過去問(数学)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#平面上の曲線#積分とその応用#2次曲線#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学検定#数学検定1級#数学(高校生)#数C#数Ⅲ#高専(高等専門学校)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$x^2+y^2+z^2=4a^2$ , $z \geqq 0$
$(x-a)^2+y^2=a^2$ , $z \geqq 0$
xy平面 (a>0)で囲まれた体積Vを求めよ。
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$x^2+y^2+z^2=4a^2$ , $z \geqq 0$
$(x-a)^2+y^2=a^2$ , $z \geqq 0$
xy平面 (a>0)で囲まれた体積Vを求めよ。
重積分⑦-1【極座標による変数変換】（高専数学 微積II，数検1級1次解析対応）
単元：
#大学入試過去問(数学)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#積分とその応用#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学検定#数学検定1級#数学(高校生)#数Ⅲ#高専(高等専門学校)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
変数変換(極座標)
$x=rcosθ$ $y=rsinθ$
$∬_D f(x,y)dxdy=∬_D f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ$
(1)$∬_D \sqrt{x^2+y^2}dxdy$
$D : 4 \leqq x^2+y^2 \leqq 9$
(2)$∬_D sin\sqrt{x^2+y^2}dxdy$
$D : x^2+y^2 \leqq x^2$
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変数変換(極座標)
$x=rcosθ$ $y=rsinθ$
$∬_D f(x,y)dxdy=∬_D f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ$
(1)$∬_D \sqrt{x^2+y^2}dxdy$
$D : 4 \leqq x^2+y^2 \leqq 9$
(2)$∬_D sin\sqrt{x^2+y^2}dxdy$
$D : x^2+y^2 \leqq x^2$
【数Ⅲ-174】曲線の長さ①(基本編)
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#微分法#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(曲線の長さ①・基本編)
ポイント
曲線$y=f(x) a \leqq x \leqq b$の長さ$L$は $L=$ ①
②$y=x \sqrt{x}(0 \leqq x \leqq \frac{4}{3})$の長さを求めよ。
③$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\log x(1 \leqq x \leqq e)$の長さを求めよ。
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数Ⅲ(曲線の長さ①・基本編)
ポイント
曲線$y=f(x) a \leqq x \leqq b$の長さ$L$は $L=$ ①
②$y=x \sqrt{x}(0 \leqq x \leqq \frac{4}{3})$の長さを求めよ。
③$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\log x(1 \leqq x \leqq e)$の長さを求めよ。
【数Ⅲ-173】積分と体積④(媒介変数表示編)
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(積分と体積④・媒介変数表示編)
①$0 \leqq θ \leqq \frac{\pi}{2}$の区間において、
曲線$x=\sinθ,y＝\sin2θ$と$x$軸で囲まれた図形を、$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ。
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数Ⅲ(積分と体積④・媒介変数表示編)
①$0 \leqq θ \leqq \frac{\pi}{2}$の区間において、
曲線$x=\sinθ,y＝\sin2θ$と$x$軸で囲まれた図形を、$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ。
重積分③【積分領域の工夫】（高専数学 微積II，数学検定1級解析）
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
ex1
$∬_D x^2y dx dy$
$D : x \geqq 0, y \geqq 0, x^2+y^2 \leqq 1 $
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ex1
$∬_D x^2y dx dy$
$D : x \geqq 0, y \geqq 0, x^2+y^2 \leqq 1 $
【数Ⅲ-172】積分と体積③(放物線と直線編)
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(積分と体積③・放物線と直線編)
Q
次の放物線と直線とで囲まれた図形を、$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ。
①放物線$y=-x^2+3x$、直線$y=x$
②放物線$y=x^2-2x$、直線$y=-x+2$
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数Ⅲ(積分と体積③・放物線と直線編)
Q
次の放物線と直線とで囲まれた図形を、$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ。
①放物線$y=-x^2+3x$、直線$y=x$
②放物線$y=x^2-2x$、直線$y=-x+2$
14奈良県教員採用試験（数学：2-(6) y軸回転体・バームクーヘン積分 ）
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
2⃣-(6)
$y=-x^2+4$とx軸で囲まれた部分をy軸を中心とした回転体の体積Vを求めよ。
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2⃣-(6)
$y=-x^2+4$とx軸で囲まれた部分をy軸を中心とした回転体の体積Vを求めよ。
13神奈川県教員採用試験（数学：11番 曲線の長さ）
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\boxed{11}$曲線$6y^2=x(2-x)^2 $ $(0 \leqq x \leqq 2)$
の長さlを求めよ。
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$\boxed{11}$曲線$6y^2=x(2-x)^2 $ $(0 \leqq x \leqq 2)$
の長さlを求めよ。
18愛知県教員採用試験（数学：9番 微分と曲線の長さ）
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
9⃣ $x=\sqrt 3 t^2 , y = \frac{1}{3}t^3-3t$ $(0 \leqq t \leqq 1)$
(1)$\frac{d^2y}{dx^2}$
(2)曲線の長さl
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9⃣ $x=\sqrt 3 t^2 , y = \frac{1}{3}t^3-3t$ $(0 \leqq t \leqq 1)$
(1)$\frac{d^2y}{dx^2}$
(2)曲線の長さl
【数Ⅲ-171】積分と体積②(断面積編)
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(積分と体積②、断面積編)
ポイント
座標が$x$の点を通る$x$軸に垂直な平面による立体の切り口の面積を$S(x)$とするとき、
2平面$x=a$、$x=b$の間にある立体の体積$V$は$V=$①。
②$xy$平面上に2点P$(x,0)$、Q$(x,\sin x)$をとり、PQを斜辺とする直角二等辺三角形PQRを、$x$軸に垂直な平面上に図のようにつくる。
Pが$x$軸上を原点oから点A$(\pi,0)$まで動くとき、この直角二等辺三角形が通過してできる立体の 体積を求めよ。
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数Ⅲ(積分と体積②、断面積編)
ポイント
座標が$x$の点を通る$x$軸に垂直な平面による立体の切り口の面積を$S(x)$とするとき、
2平面$x=a$、$x=b$の間にある立体の体積$V$は$V=$①。
②$xy$平面上に2点P$(x,0)$、Q$(x,\sin x)$をとり、PQを斜辺とする直角二等辺三角形PQRを、$x$軸に垂直な平面上に図のようにつくる。
Pが$x$軸上を原点oから点A$(\pi,0)$まで動くとき、この直角二等辺三角形が通過してできる立体の 体積を求めよ。
【数Ⅲ-170】積分と体積①(基本編)
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(積分と体積①・基本編)
ポイント
曲線$y=f(x)$と$x$軸と$x=a$、$x=b(a<b)$で囲まれた部分を
$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$は①。
②$y=e^x$、$x$軸、$x=1$、$x=2$で囲まれた部分を、$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積
③$x=y^2-1$、$y$軸で囲まれた部分を、$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積
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数Ⅲ(積分と体積①・基本編)
ポイント
曲線$y=f(x)$と$x$軸と$x=a$、$x=b(a<b)$で囲まれた部分を
$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$は①。
②$y=e^x$、$x$軸、$x=1$、$x=2$で囲まれた部分を、$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積
③$x=y^2-1$、$y$軸で囲まれた部分を、$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積
09奈良県教員採用試験（数学：4番 積分）
単元：
#関数と極限#積分とその応用#数列の極限#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
4⃣ $a_n = 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \cdots + \frac{1}{n} - logn$
(1)$a_n>0$を示せ。
(2)$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n $が存在することを示せ。
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4⃣ $a_n = 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \cdots + \frac{1}{n} - logn$
(1)$a_n>0$を示せ。
(2)$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n $が存在することを示せ。
15東京都教員採用試験（数学：3番 積分）
単元：
#数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
3⃣$C_1:y=sin2x,C_2:y=k sinx$
$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ , $0 < k <2$
(1)$C_1$とx軸で囲まれた図形の面積
(2)$C_1$と$C_2$の原点以外の支点のx座標をαとする。cosαを求めよ。
(3)$C_1$とx軸で囲まれた部分の面積を$C_2$が2等分するときkの値を求めよ。
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3⃣$C_1:y=sin2x,C_2:y=k sinx$
$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ , $0 < k <2$
(1)$C_1$とx軸で囲まれた図形の面積
(2)$C_1$と$C_2$の原点以外の支点のx座標をαとする。cosαを求めよ。
(3)$C_1$とx軸で囲まれた部分の面積を$C_2$が2等分するときkの値を求めよ。
12神奈川県教員採用試験（数学：10番 x軸回転体）
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\boxed {10}$ y=logx,、x軸、x=eで囲まれた図形をx軸を中心とする回転体の体積Vを求めよ。
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$\boxed {10}$ y=logx,、x軸、x=eで囲まれた図形をx軸を中心とする回転体の体積Vを求めよ。
11奈良県教員採用試験（数学：高校3番 逆関数と積分）
単元：
#数Ⅱ#指数関数と対数関数#指数関数#対数関数#関数と極限#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
3⃣高 $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ $(x \geqq 0)$の逆関数をg(x)
(1)g(x)を求めよ。
(2)y=g(x),x=2,x軸で囲まれた面積
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3⃣高 $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ $(x \geqq 0)$の逆関数をg(x)
(1)g(x)を求めよ。
(2)y=g(x),x=2,x軸で囲まれた面積
08京都府教員採用試験（数学：2番 積分による面積比較）
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
2⃣ $1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots +\frac{1}{n} > log(n+1)$を示せ。
$n \in \mathbb{N}$
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2⃣ $1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots +\frac{1}{n} > log(n+1)$を示せ。
$n \in \mathbb{N}$
16京都府教員採用試験（数学：高1番 積分）
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
1⃣（高）
$2(\sqrt{n+1}-1)<1+\frac{1}{\sqrt 2}+\cdots +\frac{1}{\sqrt n}$を示せ
$n \in \mathbb{ N }$
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1⃣（高）
$2(\sqrt{n+1}-1)<1+\frac{1}{\sqrt 2}+\cdots +\frac{1}{\sqrt n}$を示せ
$n \in \mathbb{ N }$