積分とその応用
積分とその応用
大学入試問題#581「最後まで落ち着いて！」 東京帝国大学(1940) #不定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{3x^2-3x+2}{x^3-3x^2+x-3} dx$
出典：1940年東京帝国大学 入試問題
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{3x^2-3x+2}{x^3-3x^2+x-3} dx$
出典：1940年東京帝国大学 入試問題
福田の数学〜筑波大学2023年理系第4問〜定積分と不等式と回転体の体積
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#体積・表面積・回転体・水量・変化のグラフ#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ a, bを実数とし、$f(x)$=$x$+$a\sin x$, $g(x)$=$b\cos x$とする。
(1)定積分$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}$$f(x)g(x)dx$ を求めよ。
(2)不等式$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}$$\left\{f(x)+g(x)\right\}^2dx$≧$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}$$\left\{f(x)\right\}^2dx$ が成り立つことを示せ。
(3)曲線$y$=|$f(x)$+$g(x)$|、2直線$x$=$-\pi$, $x$=$\pi$、および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積をVとする。このとき不等式
V≧$\displaystyle\frac{2}{3}r^2$$(r^2-6)$
が成り立つことを示せ。さらに、等号が成立するときのa, bを求めよ。
2023筑波大学理系過去問
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$\Large\boxed{4}$ a, bを実数とし、$f(x)$=$x$+$a\sin x$, $g(x)$=$b\cos x$とする。
(1)定積分$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}$$f(x)g(x)dx$ を求めよ。
(2)不等式$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}$$\left\{f(x)+g(x)\right\}^2dx$≧$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}$$\left\{f(x)\right\}^2dx$ が成り立つことを示せ。
(3)曲線$y$=|$f(x)$+$g(x)$|、2直線$x$=$-\pi$, $x$=$\pi$、および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積をVとする。このとき不等式
V≧$\displaystyle\frac{2}{3}r^2$$(r^2-6)$
が成り立つことを示せ。さらに、等号が成立するときのa, bを求めよ。
2023筑波大学理系過去問
大学入試問題#580「これは落としたくない」 東邦大学医学部(2017) #定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東邦大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{1-x}{1+x^3} dx$
出典：2017年東邦大学医学部 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{1-x}{1+x^3} dx$
出典：2017年東邦大学医学部 入試問題
大学入試問題#579「技のかけ方は好みでしょうか」 京都帝国大学(1939) #不定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{\sin^4\ x}{\cos^3\ x} dx$
出典：1939年京都帝国大学 入試問題
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{\sin^4\ x}{\cos^3\ x} dx$
出典：1939年京都帝国大学 入試問題
大学入試問題#578「定数aにかまっていられない」 京都帝国大学(1939) #定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{3a} \displaystyle \frac{2x}{(x^2-a^2)^{\frac{2}{3}}} dx$
出典：1939年京都帝国大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{3a} \displaystyle \frac{2x}{(x^2-a^2)^{\frac{2}{3}}} dx$
出典：1939年京都帝国大学 入試問題
東邦大学医学部医学科(2015) #Shorts #King_property #キングプロパティ
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東邦大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$I=\displaystyle \int_{-2}^{2} \displaystyle \frac{x^22^{-x}}{2^x+2^{-x}} dx$
出典：2015年東邦大学医学部医学科
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$I=\displaystyle \int_{-2}^{2} \displaystyle \frac{x^22^{-x}}{2^x+2^{-x}} dx$
出典：2015年東邦大学医学部医学科
大学入試問題#576「逆に閃かないと苦戦」 京都帝国大学(1938) #不定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{\sin\theta+\cos\theta}{3+\sin2\theta} d\theta$
出典：1938年京都帝国大学 入試問題
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{\sin\theta+\cos\theta}{3+\sin2\theta} d\theta$
出典：1938年京都帝国大学 入試問題
大学入試問題#575「こんな感じかな？で解けるはず」 大阪教育大学(2014) #定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#大阪教育大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} e^{3x}\sin^2\ x\ \sin(x+\displaystyle \frac{\pi}{4})\ dx$
出典：2014年大阪教育大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} e^{3x}\sin^2\ x\ \sin(x+\displaystyle \frac{\pi}{4})\ dx$
出典：2014年大阪教育大学 入試問題
福田の数学〜神戸大学2023年理系第5問〜媒介変数表示で表された曲線と面積
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#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#神戸大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ 媒介変数表示
$x$=$\sin t$, $y$=$\cos(t-\frac{\pi}{6})\sin t$ (0≦$t$≦$\pi$)
で表される曲線をCとする。以下の問いに答えよ。
(1)$\frac{dx}{dt}$=0 または $\frac{dy}{dt}$=0 となる$t$の値を求めよ。
(2)Cの概形を$xy$平面上に描け。
(3)Cの$y$≦0 の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
2023神戸大学理系過去問
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$\Large\boxed{5}$ 媒介変数表示
$x$=$\sin t$, $y$=$\cos(t-\frac{\pi}{6})\sin t$ (0≦$t$≦$\pi$)
で表される曲線をCとする。以下の問いに答えよ。
(1)$\frac{dx}{dt}$=0 または $\frac{dy}{dt}$=0 となる$t$の値を求めよ。
(2)Cの概形を$xy$平面上に描け。
(3)Cの$y$≦0 の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
2023神戸大学理系過去問
大学入試問題#574「なにかありそう」 東京帝国大学(1938) #不定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{1+\sin\ x}{\sin\ x(1+\cos\ x)}\ dx$
出典：1938年東京帝国大学 入試問題
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{1+\sin\ x}{\sin\ x(1+\cos\ x)}\ dx$
出典：1938年東京帝国大学 入試問題
大学入試問題#573「沼にはまらないように！！」 京都帝国大学(1937) #不定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{dx}{x(a^3+x^3)}$
出典：1937年京都帝国大学 入試問題
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{dx}{x(a^3+x^3)}$
出典：1937年京都帝国大学 入試問題
大学入試問題#572「初手どうすべきか」 By 英語orドイツ語さん #不定積分
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#積分とその応用#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int (log\ x+\displaystyle \frac{1}{x})log(x+1) dx$
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$\displaystyle \int (log\ x+\displaystyle \frac{1}{x})log(x+1) dx$
大学入試問題#569「これは至高の積分」 By Picmin3daisukiさん #不定積分
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#積分とその応用#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x\ \cos\ 2x}{2\sin(x+\displaystyle \frac{\pi}{4})+\cos(x-\displaystyle \frac{\pi}{4})-\cos(3x+\displaystyle \frac{\pi}{4})}\ dx$
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x\ \cos\ 2x}{2\sin(x+\displaystyle \frac{\pi}{4})+\cos(x-\displaystyle \frac{\pi}{4})-\cos(3x+\displaystyle \frac{\pi}{4})}\ dx$
大学入試問題#568「素直に正面突破」 東京帝国大学(1968) #広義積分
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#大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{ \infty } \displaystyle \frac{xe^{-x}}{(1+e^{-x})^2}\ dx$
出典：1938年東京帝国大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{ \infty } \displaystyle \frac{xe^{-x}}{(1+e^{-x})^2}\ dx$
出典：1938年東京帝国大学 入試問題
大学入試問題#567「定数aの処理の難しさ」 東京大学1938 #不定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int x^2(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}\ dx$
出典：1938年東京帝国大学 入試問題
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$\displaystyle \int x^2(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}\ dx$
出典：1938年東京帝国大学 入試問題
大学入試問題#566「計算力勝負」 京都帝国大学(1936) #不定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x^3}{x^2-3x+2}\ dx$
出典：1936年京都帝国大学 入試問題
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x^3}{x^2-3x+2}\ dx$
出典：1936年京都帝国大学 入試問題
大学入試問題#565「これは落とせない」 京都帝国大学(1935) #不定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{e^x-1}{e^x+1}\ dx$
出典：1935年京都帝国大学 入試問題
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{e^x-1}{e^x+1}\ dx$
出典：1935年京都帝国大学 入試問題
大学入試問題#564「構想力が鍛えられる問題！」 東京帝国大学(1934) #不定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{3x+4}{\sqrt{ x^2+2x+5 }}\ dx$
出典：1934年東京帝国大学 入試問題
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{3x+4}{\sqrt{ x^2+2x+5 }}\ dx$
出典：1934年東京帝国大学 入試問題
大学入試問題#563「一度は解きたい問題」 東京帝国大学(1934) 曲線の長さ
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
曲線$y=\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}$の$x=0$から$x=a$までの長さを求めよ。
出典：1934年東京帝国大学 入試問題
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曲線$y=\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}$の$x=0$から$x=a$までの長さを求めよ。
出典：1934年東京帝国大学 入試問題
大学入試問題#562「証明問題じゃなきゃ解けるのか？」 東京帝国大学1937 #定積分
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#数列#数学的帰納法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$n$：正の整数
$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \displaystyle \frac{\sin(2n-1)x}{\sin\ x}\ dx=\pi$を示せ
出典：1937年東京帝国大学 入試問題
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$n$：正の整数
$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \displaystyle \frac{\sin(2n-1)x}{\sin\ x}\ dx=\pi$を示せ
出典：1937年東京帝国大学 入試問題
大学入試問題#561「不定積分だと難易度爆上げ」 東京帝国大学(1930) #不定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{dx}{x\sqrt{ 1-x^2 }}$
出典：1930年東京帝国大学 入試問題
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{dx}{x\sqrt{ 1-x^2 }}$
出典：1930年東京帝国大学 入試問題
大学入試問題#560「初手が大事」 同志社大学(2016) #不定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#同志社大学
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \sqrt{ e^{2x}+1 }\ dx$
出典：2016年同志社大学 入試問題
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$\displaystyle \int \sqrt{ e^{2x}+1 }\ dx$
出典：2016年同志社大学 入試問題
大学入試問題#559「解法色々」 筑波大学(2020) #定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2x\ \cos2x\ dx$
出典：2020年筑波大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2x\ \cos2x\ dx$
出典：2020年筑波大学 入試問題
大学入試問題#557「類題多数」 関西大学(2011) #定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#関西大学
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{dx}{e^x+2e^{-x}+3}$
出典：2011年関西大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{dx}{e^x+2e^{-x}+3}$
出典：2011年関西大学 入試問題
大学入試問題#556「技はかかりそうだけど、正面突破」 東京帝国大学大正14年 #定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle \frac{x+\sin\ x}{1+\cos\ x} dx$
出典：大正14年東京大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle \frac{x+\sin\ x}{1+\cos\ x} dx$
出典：大正14年東京大学 入試問題
大学入試問題#555「不定積分だと難易度があがりがち」 東京帝国大学(1928) #不定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{dx}{x(x^2+1)^2}$
出典：1928年東京帝国大学 入試問題
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{dx}{x(x^2+1)^2}$
出典：1928年東京帝国大学 入試問題
大学入試問題#554「受験生の心を折にきてる。」 東邦大学医学部(2013) #定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東邦大学
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{x^2+1}{x^4+1} dx$
出典：2013年東邦大学医学部 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{x^2+1}{x^4+1} dx$
出典：2013年東邦大学医学部 入試問題
大学入試問題#553「誘導なかったら、萎える」 東邦大学医学部(2013) #定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東邦大学
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ますただ
問題文全文(内容文)：
（1）
$\alpha=\displaystyle \frac{\pi}{4},\beta=\displaystyle \frac{3\pi}{4}$のとき
$\tan\displaystyle \frac{\alpha}{2}+\tan\displaystyle \frac{\beta}{2}$の値を求めよ
（2）
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{dx}{x^2-\sqrt{ 2 }x+1}$
出典：2013年東邦大学医学部 入試問題
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（1）
$\alpha=\displaystyle \frac{\pi}{4},\beta=\displaystyle \frac{3\pi}{4}$のとき
$\tan\displaystyle \frac{\alpha}{2}+\tan\displaystyle \frac{\beta}{2}$の値を求めよ
（2）
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{dx}{x^2-\sqrt{ 2 }x+1}$
出典：2013年東邦大学医学部 入試問題
福田の数学〜名古屋大学2023年理系第２問〜回転体の体積と関数の増減と最大
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#微分とその応用#積分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#面積、体積#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 0＜b＜a とする。xy平面において、原点を中心とする半径rの円Cと点(a, 0)を中心とする半径bの円Dが2点で交わっている。
(1)半径rの満たすべき条件を求めよ。
(2)CとDの交点のうちy座標が正のものをPとする。Pのx座標h(r)を求めよ。
(3)点Q(r, 0)と点R(a-b, 0)をとる。Dの内部にあるCの弧PQ、線分QR、および線分RPで囲まれる図形をAとする。xyz空間においてAをx軸の周りに1回転して得られる立体の体積V(r)を求めよ。ただし答えにh(r)を用いてもよい。
(4)(3)の最大値を与えるrを求めよ。また、そのrをr(a)とおいたとき、
$\displaystyle\lim_{a \to \infty}(r(a)-a)$を求めよ。
2023名古屋大学理系過去問
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$\Large\boxed{2}$ 0＜b＜a とする。xy平面において、原点を中心とする半径rの円Cと点(a, 0)を中心とする半径bの円Dが2点で交わっている。
(1)半径rの満たすべき条件を求めよ。
(2)CとDの交点のうちy座標が正のものをPとする。Pのx座標h(r)を求めよ。
(3)点Q(r, 0)と点R(a-b, 0)をとる。Dの内部にあるCの弧PQ、線分QR、および線分RPで囲まれる図形をAとする。xyz空間においてAをx軸の周りに1回転して得られる立体の体積V(r)を求めよ。ただし答えにh(r)を用いてもよい。
(4)(3)の最大値を与えるrを求めよ。また、そのrをr(a)とおいたとき、
$\displaystyle\lim_{a \to \infty}(r(a)-a)$を求めよ。
2023名古屋大学理系過去問
大学入試問題#552「解き方いろいろ」 岡山県立大学(2023) #定積分
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#岡山県立大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{ 1-x^2 }} dx$
出典：2023年岡山県立大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{ 1-x^2 }} dx$
出典：2023年岡山県立大学 入試問題