図形への応用

【数C】【複素数平面】複素数と図形8 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
複素数平面上の2点

A, B

を表す複素数をそれぞれ

α = 1 - 2 i, β = 3 + 2 i

とするとき
線分

A B

を1辺とする正三角形の他の頂点

C

を表す複素数

γ

を求めよ｡

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【数C】【複素数平面】複素数と図形7 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
原点を

O, α = 2 - i, β = 3 + (2 a - 1) i

を表す点をそれぞれ

A, B

とするとき､

∠ A O B = \frac{π}{4}

を満たす実数

a

の値を求めよ｡

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【数C】【複素数平面】複素数と図形6 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
複素数平面上の異なる4点

A (α), B (β), C (γ), D (δ)

について次のことが成り立つことを証明せよ｡

2直線

A B, C D

が垂直に交わる ⇔

\frac{(δ - γ)}{(β - α)}

が純虚数

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【数C】【複素数平面】複素数と図形5 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
点

z

が､点

- 1

を通り実軸に垂直な直線上を動くとき､
点

w = \frac{1}{z}

はどのような図形を描くか｡

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【数C】【複素数平面】複素数と図形3 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
点

z

が､原点

O

を中心とする半径1の円上を動くとき､次の点

w

はどのような図形を描くか｡
(1)

w = \frac{1 + i}{z}

(2)

w = \frac{6 z - 1}{2 z - 1}

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【数C】【複素数平面】複素数と図形2 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の方程式を満たす点

z

全体の集合はどのような図形か｡
(1)

z + \bar{z} = 2

(2)

z - \bar{z} = 2 i

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【数C】【複素数平面】複素数と図形1 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
三角形の各辺の中点が

α = - 1 + i, β = 1 + 2 i, γ = 2

であるとき､この三角形の3つの頂点を表す複素数を求めよ｡

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頭の体操に　四天王寺

単元： #複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：

S - T = 3 {c m}^{2}

A P = ?

＊図は動画内参照

四天王寺高等学校

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福田の数学〜東京大学2018年理系第5問〜複素数平面上の点の軌跡

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
複素数平面上の原点を中心とする半径 1 の円を C とする。
点 P(z) は C 上にあり、点 A(I) とは異なるとする。
点 P における円 C の接線に関して、点 A と対称な点を Q(u) とする。

ω = \frac{1}{1 - u}

とおき

ω

と共役な複素数を

\overset{―}{ω}

で表す。

（１）uと

\frac{\overset{―}{ω}}{ω}

をzについての整数として表し、絶対値の値

\frac{| ω + \overset{―}{ω} - 1 |}{| ω |}

を求めよ。
（２）Cのうち実部が

\frac{1}{2}

以下の複素数平面で表される部分をCとする。点Ｐ(z)がＣ’上を動くときの点Ｒ(

ω

)の軌跡を求めよ。
　　

ω = x + y i

(x,yは実数)とおく。

2018東大理系過去問

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数学どうにかしたい人へ

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#式と証明#複素数と方程式#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#データの分析#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#データの分析#整数の性質#場合の数#確率#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と２つの円の関係#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#図形と方程式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#円と方程式#軌跡と領域#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#接線と増減表・最大値・最小値#数列#確率分布と統計的な推測#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学的帰納法#確率分布#統計的な推測#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#複素数平面#図形への応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数列の極限#関数の極限#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#不定積分・定積分#面積、体積#媒介変数表示と極座標#速度と近似式#数学(高校生)#数B#数C#数Ⅲ

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
数学が共通テストのみの人の勉強法紹介動画です

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自治医大　三次方程式の解

単元： #数Ⅱ#複素数と方程式#複素数平面#複素数#複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
2023自治医科大学過去問題
kは実数

x^{3} - 6 x^{2} + k x - 7 = 0

の3つの解は複素数平面で1辺の長さが

\sqrt{3}

の正三角形の頂点となる
kの値

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福田の数学〜筑波大学2023年理系第6問〜複素数平面上の点の軌跡とアポロニウスの円

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

6

i

を虚数単位とする。複素数平面に関する以下の問いに答えよ。
(1)等式|

z

+2|=2|

z

-1| を満たす点

z

の全体が表す図形は円であることを示し、その中心と半径を求めよ。
(2)等式

{| z + 2 | - 2 | z - 1 |}

| z + 6 i |

=

3 {| z + 2 | - 2 | z - 1 |}

| z - 2 i |

を満たす点

z

の全体が表す図形をSとする。このときSを複素数平面上に図示せよ。
(3)点

z

が(2)における図形S上を動くとき、

w

=

\frac{1}{z}

で定義される点

w

が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

2023筑波大学理系過去問

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【数Ⅲ】複素数平面：複素数で表された方程式が示す図形とは？

単元： #複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の方程式を満たす点Z全体が表す図形を答えよ。

（１）

| \bar{z} - i | = 1

（２）

| z - 3 + i | = | z + 1 |

（３）

| z - i | = 2 | z - 1 |

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産業医科大　三角比の計算

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#産業医科大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\cos \frac{2}{7} π + \cos \frac{4}{7} π + \cos \frac{8}{7} π = ?

\sin \frac{2}{7} π + \sin \frac{4}{7} π + \sin \frac{8}{7} π = ?

これらを求めよ。

産業医科大過去問

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福田の数学〜慶應義塾大学2023年医学部第4問PART1〜円に内接する円の性質

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#複素数平面#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#図形と方程式#円と方程式#微分とその応用#複素数平面#図形への応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

座標平面において原点Oを中心とする半径1の円を

C_{1}

とし、

C_{1}

の内部にある第1象限の点Pの極座標を(r, θ)とする。さらに点Pを中心とする円

C_{2}

が

C_{1}

上の点Qにおいて

C_{1}

に内接し、x軸上の点Rにおいてx軸に接しているとする。
また、極座標が(1, π)である

C_{1}

上の点をAとし、直線AQのy切片をtとする。
(1)rをθの式で表すとr=

あ

となり、tの式で表すとr=

い

となる。
(2)円

C_{2}

と同じ半径をもち、x軸に関して円

C_{2}

と対称な位置にある円

C_{2}^{'}

の中心P'とする。三角形POP'の面積はθ=

う

のとき最大値

え

をとる。θ=

う

は条件t=

お

と同値である。
(3)円

C_{1}

に内接し、円

C_{2}

と

C_{2}^{'}

の両方に外接する円のうち大きい方を

C_{3}

とする。円

C_{3}

の半径bをtの式で表すとb=

か

となる。
(4)3つの円

C_{2}

,

C_{2}^{'}

,

C_{3}

の周の長さの和はθ=

き

の最大値

く

をとる。

2023慶應義塾大学看護医療学部過去問

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福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第４問〜複素数平面上の点の軌跡

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#微分とその応用#複素数平面#図形への応用#色々な関数の導関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

複素数平面上に2点A(1), B(

\sqrt{3} i

)がある。ただし、

i

は虚数単位である。
複素数zに対し

w

=

\frac{3}{z}

で表される点

w

を考える。以下の問いに答えよ。
(1)z=1,

\frac{1 + \sqrt{3} i}{2}

,

\sqrt{3} i

のときのwをそれぞれ計算せよ。
(2)実数tに対し、z=(1-t)+t

\sqrt{3} i

とする。

α

=

\frac{3 - \sqrt{3} i}{2}

について、

α z

の実部を求め、さらに(

w - α

)(

\bar{w - α}

)を求めよ。
(3)wと原点を結んでできる線分Lを考える。zが線分AB上を動くとき、線分Lが通過する範囲を図示し、その面積を求めよ。

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福田の数学〜北海道大学2023年理系第１問〜複素数平面上の図形の列

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#関数と極限#複素数平面#図形への応用#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

複素数平面上における図形

C_{1}

,

C_{2}

, ...,

C_{n}

, ...は次の条件(A)と(B)を満たすとする。ただし、

i

は虚数単位とする。
(A)

C_{1}

は原点Oを中心とする半径2の円である。
(B)自然数nに対して、zが

C_{n}

上を動くとき2w=z+1+

i

で定まるwの描く図形が

C_{n + 1}

である。
(1)すべての自然数nに対して、

C_{n}

は円であることを示し、その中心を表す複素数

α_{n}

と半径

r_{n}

を求めよ。
(2)

C_{n}

上の点とOとの距離の最小値を

d_{n}

とする。このとき、

d_{n}

を求めよ。
また、

lim_{n \to \infty} d_{n}

を求めよ。

2023北海道大学理系過去問

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複素数平面の基本⑬3点が一直線上にあるとき、なす角が垂直のときを考える

単元： #複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
3点が一直線上にある条件、2直線が垂直に交わるときの条件

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複素数平面の基本⑫半直線のなす角を考える

単元： #複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
複素数平面における半直線のなす角を考える

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複素数平面の基本⑨垂直二等分線を考える

単元： #複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
複素数平面における垂直二等分線を考える

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慈恵医大　複素数の基本問題

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#東京慈恵会医科大学#東京慈恵会医科大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

α = \cos \frac{2}{7} π + i \sin \frac{2}{7} π

(1)

α^{7}, \sum_{k = 0}^{6} α_{k}

の値を求めよ.

(2)

β = α^{3} + α^{5} + α^{6}

とするとき,

β + \bar{β}, β \bar{β}

の値を求めよ.

(3)

β = a + b i, b

の正負を判定し

a, b

の値を求めよ.

慈恵医大過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題075〜浜松医科大学2017年度医学部第１問〜複素数の実部と虚部

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#関数と極限#複素数平面#図形への応用#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#浜松医科大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

以下の問いに答えよ。
(1)|z| ≦ |z-(

\sqrt{3} + i

)|, |z-

\bar{z}

| ≦ 1および|z-

2 i

| ≦ 2を同時にみたす複素数zに対応する点の領域を複素数平面上に図示せよ。
(2)(1)で得られた領域内の点に対応する複素数のうち、実部が最大となるものを

α

、実部と虚部の和が最大となるものを

β

とするとき、

α

と

β

を求めよ。
(3)次の式で定義される

w_{n}

の実部を

R_{n}

とするとき、無限級数

\sum_{n = 1}^{\infty} R_{n}

の和を求めよ。

w_{n} = \frac{{1 + (2 - \sqrt{3}) i} (\sqrt{3} + i)^{3 (n - 1)}}{2^{4 (n - 1)}}

(n = 1, 2, 3, \dots)

2017浜松医科大学医学部過去問

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複素数平面！円が１と−１を通るということは・・・【京都大学】【数学入試問題】

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数C

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：
複素数

a

に対してその共役な複素数

\bar{a}

で表す。

a

を実数でない複素数とする。複素数平面内の円

C

が

1, - 1, a

を通るならば,

C

は-

\frac{1}{\bar{a}}

も通ることを示せ。

京都大過去問

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福田の数学〜中央大学2022年理工学部第４問〜複素数平面上の共線条件と正三角形になる条件

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#複素数平面#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

t

を実数とし、xの3次式f(x) を

f (x) = x^{3} + (1 - 2 t) x^{2} + (4 - 2 t) x + 4

により定める。以下の問いに答えよ。
(1) 3次式f(x) を実数係数の2次式と1次式の積に因数分解し、

f (x) = 0

が虚数の
解をもつようなtの範囲を求めよ。

実数tが (1) で求めた範囲にあるとき、方程式

f (x) = 0

の異なる2つの虚数解を
α, βとし、実数解をγとする。ただし、

α

の虚部は正、

β

の虚部は負とする。
以下、

α, β, γ

を複素数平面上の点とみなす。
(2)

α, β, γ

をtを用いて表せ。また、実数tが (1) で求めた範囲を動くとき、点

α

が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

(3) 3点

α, β, γ

が一直線上にあるようなtの値を求めよ。

(4)3点

α, β, γ

が正三角形の頂点となるようなtの値を求めよ。

2022中央大学理工学部過去問

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福田の数学〜中央大学2022年理工学部第4問〜複素数平面上の共線条件と正三角形になる条件

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#複素数平面#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
中央大学2022年理工学部第4問解説です

tを実数とし、 xの3次式f(x) を
ƒ(x) = x³ + (1 − 2t)x² + (4 − 2t)x +4
により定める。以下の問いに答えよ。
(1) 3 次式f(x) を実数係数の2次式と1次式の積に因数分解し、f(x)=0 が虚数の
解をもつようなtの範囲を求めよ。
実数t が (1) で求めた範囲にあるとき、方程式 f(x) = 0 の異なる2つの虚数解を
a,βとし、実数解をγとする。ただし、αの虚部は正、βの虚部は負とする。
以下、α, β,γを複素数平面上の点とみなす。
(2) α, β,γをtを用いて表せ。また、実数t が (1) で求めた範囲を動くとき、点α
が描く図形を複素数平面上に図示せよ。
(3) 3点 α, β, γが一直線上にあるようなtの値を求めよ。
(4) 3点 α, β, γが正三角形の頂点となるようなtの値を求めよ。

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福田の数学〜上智大学2022年理工学部第３問〜複素数平面上の点列と三角形の相似

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#相似な図形#数列#漸化式#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
複素数からなる数列

z_{n}

を、次の条件で定める。

z_{1} = 0, z_{n + 1} = (1 + i) z_{n} - i (i = 1, 2, 3, . . .)

正の整数nに対し、z_nに対応する負素数平面上の点をA_nとおく。
(1)

z_{2} = ツ + ツ i, z_{3} = ト +

ナ i, z_{4} = 二 + ヌ i

である。
(2)

r > 0, 0 ≦ θ < 2 π

を用いて、

1 + i = r (\cos θ + i \sin θ)

のように

1 + i

を極形式で
表すとき、

r = \sqrt{ネ}, θ = \frac{ノ}{ハ} π

である。
(3)すべての正の整数nに対する

△ P A_{n} A_{n + 1}

が互いに相似になる点Pに対応する
複素数は、

ヒ + フ i

である。
(4)

| z_{n} | > 1000

となる最小のnは

n = へ

である。
(5)

A_{2022 + k}

が実軸上にある最小の正の整数kは

k = ホ

である。

2022上智大学理工学部過去問

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福岡教育大　複素平面の基本

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

z = a + b i (a > 0, b > 0 ） z^{2} + \frac{1}{z^{2}} = 1

を満たす.

(1)zを極形式で表せ

(0 < θ < 2 π)

(2)

z^{100} + \frac{1}{z^{100}}

の値を求めよ.

(3)

z, z^{2}, z^{100} + \frac{1}{z^{100}}

の三点でできる三角形の面積を求めよ.

福岡教育大過去問

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福田の数学〜早稲田大学2022年人間科学部第７問〜複素数平面上の点の軌跡

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#円と方程式#軌跡と領域#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

7 i

を虚数単位とする。

α = - 1 + i

とし、zは次の条件をともに満たす複素数とする。
条件1.

\frac{z - α}{z - \bar{α}}

の実部は0である。
条件2.zの虚部は0以上である。
このとき、複素数平面上でzがとりうる値全体の集合を表す図形Cと、実軸で
囲まれる部分の面積は

\frac{ア}{イ} π

である。
また、

w = \frac{i z}{z + 1}

で表される点wがとりうる値全体の集合を表す図形と、
図形Cで囲まれる部分の面積は

\frac{ウ π + エ}{オ}

である。

2022早稲田大学人間科学部過去問

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福田の数学〜神戸大学2022年理系第２問〜無限等比級数の図形への応用

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#関数と極限#図形への応用#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
mを3以上の自然数、

θ = \frac{2 π}{m}

,　

C_{1}

を半径1の円とする。
円

C_{1}

に内接する(全ての頂点が

C_{1}

上にある)正m角形を

P_{1}

とし、

P_{1}

に内接する(

P_{1}

の全ての辺と接する)円を

C_{2}

とする。
同様に、nを自然数とするとき、円

C_{n}

に内接する正m角形を

P_{n}

とし、

P_{n}

に内接する円を

C_{n + 1}

とする。

C_{n}

の半径を

r_{n}, C_{n}

の内側
で

P_{n}

の外側の部分の面積を

s_{n}

とし、

f (m) = \sum_{n = 1}^{\infty} s_{n}

とする。以下の問いに答えよ。
(1)

r_{n}, s_{n}

の値を

θ, n

を用いて表せ。
(2)

f (m)

の値を

θ

を用いて表せ。
(3)極限値

lim_{m \to \infty} f (m)

を求めよ。
ただし必要があれば

lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^{3}} = \frac{1}{6}

を用いてよい。

2022神戸大学理系過去問

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福田の数学〜大阪大学2022年理系第１問〜複素数平面上の点の軌跡

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
rを正の実数とする。
複素数平面上で点Zが点3/2を中心とする半径rの円周上を動くとき、

Z + w = Z w

を満たす点wが描く図形を求めよ。

2022大阪大学理系過去問

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