複素数平面
複素数平面
2023九州大学 ４次方程式と複素平面上の三角形
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
(1)$x^4-2x^3+3x^2-2x+1=0$を解け.
(2)複素数平面上の$\triangle ABC$の頂点を表す複素数を$\alpha,\beta,\delta$とする.
$(\alpha-\beta)^4+(\beta-\delta)+(\delta-\alpha)^4=0$が成り立つとき,$\triangle ABC$はどのような三角形か.
2023九州大過去問
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(1)$x^4-2x^3+3x^2-2x+1=0$を解け.
(2)複素数平面上の$\triangle ABC$の頂点を表す複素数を$\alpha,\beta,\delta$とする.
$(\alpha-\beta)^4+(\beta-\delta)+(\delta-\alpha)^4=0$が成り立つとき,$\triangle ABC$はどのような三角形か.
2023九州大過去問
慶應（医）虚数係数の二次方程式の２解の距離
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$4Z^2+4Z-\sqrt3 i=0$の2つの解の複素数平面上の距離を求めよ.
慶應(医)過去問
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$4Z^2+4Z-\sqrt3 i=0$の2つの解の複素数平面上の距離を求めよ.
慶應(医)過去問
慈恵医大 複素数の基本問題
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#東京慈恵会医科大学#東京慈恵会医科大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\alpha=\cos\dfrac{2}{7}\pi+i\sin\dfrac{2}{7}\pi$
(1)$\alpha^7,\displaystyle \sum_{k=0}^6 {\alpha}_{k}$の値を求めよ.
(2)$\beta=\alpha^3+\alpha^5+\alpha^6$とするとき,$\beta+\bar{\beta},\beta\bar{\beta}$の値を求めよ.
(3)$\beta=a+bi,b$の正負を判定し$a,b$の値を求めよ.
慈恵医大過去問
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$\alpha=\cos\dfrac{2}{7}\pi+i\sin\dfrac{2}{7}\pi$
(1)$\alpha^7,\displaystyle \sum_{k=0}^6 {\alpha}_{k}$の値を求めよ.
(2)$\beta=\alpha^3+\alpha^5+\alpha^6$とするとき,$\beta+\bar{\beta},\beta\bar{\beta}$の値を求めよ.
(3)$\beta=a+bi,b$の正負を判定し$a,b$の値を求めよ.
慈恵医大過去問
大学入試問題#444「複素数の王道手筋」 神戸大学(1998) 文系 #複素数
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$z$：虚数
（1）
$z+\displaystyle \frac{1}{z}$が実数の時
$|z|$の値$a$を求めよ。
（2）
$|z|=a$のとき
$\omega=(z+\sqrt{ 2 }+\sqrt{ 2 }i)^4$において$|\omega|,\ argw$の範囲を求めよ。
出典：1998年神戸大学 入試問題
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$z$：虚数
（1）
$z+\displaystyle \frac{1}{z}$が実数の時
$|z|$の値$a$を求めよ。
（2）
$|z|=a$のとき
$\omega=(z+\sqrt{ 2 }+\sqrt{ 2 }i)^4$において$|\omega|,\ argw$の範囲を求めよ。
出典：1998年神戸大学 入試問題
藤田医科大 ドモアブルの定理
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#藤田医科大学#数C
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$(1+i)^n=(1-i)n$をみたす2023以下の自然数nの個数を答えよ.
2023藤田医科大過去問
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$(1+i)^n=(1-i)n$をみたす2023以下の自然数nの個数を答えよ.
2023藤田医科大過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題075〜浜松医科大学2017年度医学部第１問〜複素数の実部と虚部
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#関数と極限#複素数平面#図形への応用#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#浜松医科大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 以下の問いに答えよ。
(1)|z| ≦ |z-($\sqrt 3 + i$)|, |z-$\bar{z}$| ≦ 1および|z-$2i$| ≦ 2を同時にみたす複素数zに対応する点の領域を複素数平面上に図示せよ。
(2)(1)で得られた領域内の点に対応する複素数のうち、実部が最大となるものを$\alpha$、実部と虚部の和が最大となるものを$\beta$とするとき、$\alpha$と$\beta$を求めよ。
(3)次の式で定義される$w_n$の実部を$R_n$とするとき、無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}R_n$の和を求めよ。
$w_n=\displaystyle\frac{\{1+(2-\sqrt 3)i\}(\sqrt 3+i)^{3(n-1)}}{2^{4(n-1)}}$ $(n=1,2,3,\dots)$
2017浜松医科大学医学部過去問
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$\Large\boxed{1}$ 以下の問いに答えよ。
(1)|z| ≦ |z-($\sqrt 3 + i$)|, |z-$\bar{z}$| ≦ 1および|z-$2i$| ≦ 2を同時にみたす複素数zに対応する点の領域を複素数平面上に図示せよ。
(2)(1)で得られた領域内の点に対応する複素数のうち、実部が最大となるものを$\alpha$、実部と虚部の和が最大となるものを$\beta$とするとき、$\alpha$と$\beta$を求めよ。
(3)次の式で定義される$w_n$の実部を$R_n$とするとき、無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}R_n$の和を求めよ。
$w_n=\displaystyle\frac{\{1+(2-\sqrt 3)i\}(\sqrt 3+i)^{3(n-1)}}{2^{4(n-1)}}$ $(n=1,2,3,\dots)$
2017浜松医科大学医学部過去問
長崎大（医、他）虚数方程式
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#長崎大学#数C#数Ⅲ
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$Z^4=-8-8\sqrt{3}i$
これを解け.
長崎大(医,他)過去問
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$Z^4=-8-8\sqrt{3}i$
これを解け.
長崎大(医,他)過去問
大学入試問題#419「複素数の基本的な性質を網羅！」 東海大学医学部2017 #複素数
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#東海大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\alpha=\displaystyle \frac{2+\sqrt{ 5 }i}{3}$のとき
$27(1+\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\displaystyle \frac{1}{\alpha^2}+\displaystyle \frac{1}{\alpha^3})$の値を求めよ
出典：2017年東海大学医学部 入試問題
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$\alpha=\displaystyle \frac{2+\sqrt{ 5 }i}{3}$のとき
$27(1+\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\displaystyle \frac{1}{\alpha^2}+\displaystyle \frac{1}{\alpha^3})$の値を求めよ
出典：2017年東海大学医学部 入試問題
大学入試問題#416「工夫して計算」 早稲田大学2008 #式変形
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$x$：実数
$x^3+\displaystyle \frac{1}{x^3}=52$を満たすとき
$x^4+\displaystyle \frac{1}{x^4}$の値を求めよ
出典：2008年早稲田大学 入試問題
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$x$：実数
$x^3+\displaystyle \frac{1}{x^3}=52$を満たすとき
$x^4+\displaystyle \frac{1}{x^4}$の値を求めよ
出典：2008年早稲田大学 入試問題
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題040〜上智大学2019年度TEAP理系第２問〜複素数平面上で正三角形となる条件
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
複素数平面において、円周$|z|=1$上の異なる3点$z_1,z_2,z_3$を考える。
このとき、次の条件pとqは同値であることを示せ。
$p：z_1,z_2,z_3$を頂点とする三角形が正三角形である。
$q：z_1+z_2+z_3=0$
2019上智大過去問
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複素数平面において、円周$|z|=1$上の異なる3点$z_1,z_2,z_3$を考える。
このとき、次の条件pとqは同値であることを示せ。
$p：z_1,z_2,z_3$を頂点とする三角形が正三角形である。
$q：z_1+z_2+z_3=0$
2019上智大過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題029〜九州大学2016年度理系第５問〜ドモアブルの定理と三角関数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#三角関数#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)$\theta$を$0 \leqq \theta \lt 2\pi$を満たす実数、iを虚数単位とし、$z=\cos\theta+i\sin\theta$で
表される複素数とする。このとき、整数nに対して次の式を証明せよ。
$\cos n\theta=\frac{1}{2}\left(z^n+\frac{1}{z^n}\right), \sin n\theta=-\frac{i}{2}\left(z^n-\frac{1}{z^n}\right)$
(2)次の方程式を満たす実数$x(0 \leqq x \lt 2\pi)$を求めよ。
$\cos x+\cos2x-\cos3x=1$
(3)次の式を証明せよ。
$\sin^220°+\sin^240°+\sin^260°+\sin^280°=\frac{9}{4}$
2016九州大学理系過去問
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以下の問いに答えよ。
(1)$\theta$を$0 \leqq \theta \lt 2\pi$を満たす実数、iを虚数単位とし、$z=\cos\theta+i\sin\theta$で
表される複素数とする。このとき、整数nに対して次の式を証明せよ。
$\cos n\theta=\frac{1}{2}\left(z^n+\frac{1}{z^n}\right), \sin n\theta=-\frac{i}{2}\left(z^n-\frac{1}{z^n}\right)$
(2)次の方程式を満たす実数$x(0 \leqq x \lt 2\pi)$を求めよ。
$\cos x+\cos2x-\cos3x=1$
(3)次の式を証明せよ。
$\sin^220°+\sin^240°+\sin^260°+\sin^280°=\frac{9}{4}$
2016九州大学理系過去問
複素数平面！円が１と−１を通るということは・・・【京都大学】【数学 入試問題】
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
複素数$a$に対してその共役な複素数$\bar{ a }$で表す。
$a$を実数でない複素数とする。複素数平面内の円$C$が$1,-1,a$を通るならば,$C$は-$\displaystyle \frac{1}{\bar{ a }}$も通ることを示せ。
京都大過去問
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複素数$a$に対してその共役な複素数$\bar{ a }$で表す。
$a$を実数でない複素数とする。複素数平面内の円$C$が$1,-1,a$を通るならば,$C$は-$\displaystyle \frac{1}{\bar{ a }}$も通ることを示せ。
京都大過去問
北里大学2021年医学部第１問(2)。複素数平面でド・モアブルの定理を利用した偏角、絶対値の計算や正三角形の残りの頂点を求める
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
(2)iを虚数単位とし、$z_1=\frac{(\sqrt3+i)^{17}}{(1+i)^{19}(1-\sqrt3i)^7}, z_2=-1+i$とする。
$z_1$の偏角$\theta$のうち、$\\0 \leqq \theta \lt 2\pi$を満たすものは$\theta=\boxed{オ}$であり、$|z_1|=\boxed{カ}$である。
複素数平面上で$z_1,z_2$を表す点をそれぞれA,Bとする。このとき線分ABを
1辺とする正三角形ABCの、頂点Cを表す複素数の実部は0または$\boxed{キ}$である。
a,bを正の整数とし、複素数$\frac{(\sqrt3+i)^7}{(1+i)^a(1-\sqrt3i)^b}$の偏角の一つが$\frac{\pi}{12}$であるとき、
a+bの最小値は$\boxed{ク}$である。
2021北里大学医学部過去問
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(2)iを虚数単位とし、$z_1=\frac{(\sqrt3+i)^{17}}{(1+i)^{19}(1-\sqrt3i)^7}, z_2=-1+i$とする。
$z_1$の偏角$\theta$のうち、$\\0 \leqq \theta \lt 2\pi$を満たすものは$\theta=\boxed{オ}$であり、$|z_1|=\boxed{カ}$である。
複素数平面上で$z_1,z_2$を表す点をそれぞれA,Bとする。このとき線分ABを
1辺とする正三角形ABCの、頂点Cを表す複素数の実部は0または$\boxed{キ}$である。
a,bを正の整数とし、複素数$\frac{(\sqrt3+i)^7}{(1+i)^a(1-\sqrt3i)^b}$の偏角の一つが$\frac{\pi}{12}$であるとき、
a+bの最小値は$\boxed{ク}$である。
2021北里大学医学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題015〜東京大学2016年度理系数学第４問〜複素数平面上の三角形が鋭角三角形になる条件
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#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
zを複素数とする。複素数平面上の3点$A(I),B(z),C(z^2)$が
鋭角三角形をなすようなzの範囲を定め、図示せよ。
2016東京大学理系過去問
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zを複素数とする。複素数平面上の3点$A(I),B(z),C(z^2)$が
鋭角三角形をなすようなzの範囲を定め、図示せよ。
2016東京大学理系過去問
福田の数学〜北里大学2022年医学部第１問(1)〜複素数平面上の点の軌跡
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
1 (1)iを虚数単位とし、$α= -2+2i,β=3+i$とする。
このとき、$α^5$の値は[ア]である。
zは等式 $2|z-α| = |z-β|$を満たす複素数全体を動くとする。
このとき、複素数平面上の点P(z) が描く図形は円であり、その中心を表す複素数は[イ]である。
また、 |z| の最大値は[ウ]である。
2022北里大学医学部過去問
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1 (1)iを虚数単位とし、$α= -2+2i,β=3+i$とする。
このとき、$α^5$の値は[ア]である。
zは等式 $2|z-α| = |z-β|$を満たす複素数全体を動くとする。
このとき、複素数平面上の点P(z) が描く図形は円であり、その中心を表す複素数は[イ]である。
また、 |z| の最大値は[ウ]である。
2022北里大学医学部過去問
福田の数学〜中央大学2022年理工学部第４問〜複素数平面上の共線条件と正三角形になる条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#複素数平面#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$t$を実数とし、xの3次式f(x) を
$f(x) = x^3 + (1-2t)x^2+(4-2t)x+4$
により定める。以下の問いに答えよ。
(1) 3次式f(x) を実数係数の2次式と1次式の積に因数分解し、$f(x) = 0$ が虚数の
解をもつようなtの範囲を求めよ。
実数tが (1) で求めた範囲にあるとき、方程式 $f(x) = 0$ の異なる2つの虚数解を
α, βとし、実数解をγとする。ただし、$α$の虚部は正、$β$の虚部は負とする。
以下、$α, β, γ$を複素数平面上の点とみなす。
(2) $α, β, γ$をtを用いて表せ。また、実数tが (1) で求めた範囲を動くとき、点$α$
が描く図形を複素数平面上に図示せよ。
(3) 3点$α, β, γ$が一直線上にあるようなtの値を求めよ。
(4)3点$α, β, γ$が正三角形の頂点となるようなtの値を求めよ。
2022中央大学理工学部過去問
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$t$を実数とし、xの3次式f(x) を
$f(x) = x^3 + (1-2t)x^2+(4-2t)x+4$
により定める。以下の問いに答えよ。
(1) 3次式f(x) を実数係数の2次式と1次式の積に因数分解し、$f(x) = 0$ が虚数の
解をもつようなtの範囲を求めよ。
実数tが (1) で求めた範囲にあるとき、方程式 $f(x) = 0$ の異なる2つの虚数解を
α, βとし、実数解をγとする。ただし、$α$の虚部は正、$β$の虚部は負とする。
以下、$α, β, γ$を複素数平面上の点とみなす。
(2) $α, β, γ$をtを用いて表せ。また、実数tが (1) で求めた範囲を動くとき、点$α$
が描く図形を複素数平面上に図示せよ。
(3) 3点$α, β, γ$が一直線上にあるようなtの値を求めよ。
(4)3点$α, β, γ$が正三角形の頂点となるようなtの値を求めよ。
2022中央大学理工学部過去問
福田の数学〜中央大学2022年理工学部第4問〜複素数平面上の共線条件と正三角形になる条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#複素数平面#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
中央大学2022年理工学部第4問解説です
tを実数とし、 xの3次式f(x) を
ƒ(x) = x³ + (1 − 2t)x² + (4 − 2t)x +4
により定める。以下の問いに答えよ。
(1) 3 次式f(x) を実数係数の2次式と1次式の積に因数分解し、f(x)=0 が虚数の
解をもつようなtの範囲を求めよ。
実数t が (1) で求めた範囲にあるとき、 方程式 f(x) = 0 の異なる2つの虚数解を
a,βとし、実数解をγとする。ただし、αの虚部は正、βの虚部は負とする。
以下、α, β,γを複素数平面上の点とみなす。
(2) α, β,γをtを用いて表せ。また、実数t が (1) で求めた範囲を動くとき、点α
が描く図形を複素数平面上に図示せよ。
(3) 3点 α, β, γが一直線上にあるようなtの値を求めよ。
(4) 3点 α, β, γが正三角形の頂点となるようなtの値を求めよ。
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中央大学2022年理工学部第4問解説です
tを実数とし、 xの3次式f(x) を
ƒ(x) = x³ + (1 − 2t)x² + (4 − 2t)x +4
により定める。以下の問いに答えよ。
(1) 3 次式f(x) を実数係数の2次式と1次式の積に因数分解し、f(x)=0 が虚数の
解をもつようなtの範囲を求めよ。
実数t が (1) で求めた範囲にあるとき、 方程式 f(x) = 0 の異なる2つの虚数解を
a,βとし、実数解をγとする。ただし、αの虚部は正、βの虚部は負とする。
以下、α, β,γを複素数平面上の点とみなす。
(2) α, β,γをtを用いて表せ。また、実数t が (1) で求めた範囲を動くとき、点α
が描く図形を複素数平面上に図示せよ。
(3) 3点 α, β, γが一直線上にあるようなtの値を求めよ。
(4) 3点 α, β, γが正三角形の頂点となるようなtの値を求めよ。
暗算？
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#複素数平面#複素数#複素数平面#数学(高校生)#数C
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ x^2-\sqrt3x+1=0$のとき,
$x^{30}+\dfrac{1}{x^{30}}$の値を求めよ.
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$ x^2-\sqrt3x+1=0$のとき,
$x^{30}+\dfrac{1}{x^{30}}$の値を求めよ.
福田の数学〜上智大学2022年理工学部第３問〜複素数平面上の点列と三角形の相似
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#相似な図形#数列#漸化式#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
複素数からなる数列${z_n}$を、次の条件で定める。
$z_1=0,\ \ \ z_{n+1}=(1+i)z_n-i \ \ \ (i=1,2,3, \ \ ...)$
正の整数nに対し、z_nに対応する負素数平面上の点をA_nとおく。
(1)$z_2=\boxed{ツ }+\boxed{ツ }\ i, \ \ \ z_3=\boxed{ト}+$
$\boxed{ナ}\ i,\ \ \ z_4=\boxed{二}+\boxed{ヌ}\ i $である。
(2)$r \gt 0,\ 0 \leqq θ \lt 2\pi$ を用いて、$1+i=r(\cos θ+i\sin θ)$のように$1+i$を極形式で
表すとき、$r=\sqrt{\boxed{ネ}},\ θ=\frac{\boxed{ノ }}{\boxed{ハ}}\pi$である。
(3)すべての正の整数nに対する$\triangle PA_nA_{n+1}$が互いに相似になる点Pに対応する
複素数は、$\boxed{ヒ}+\boxed{フ }\ i$である。
(4)$|z_n| \gt 1000$となる最小のnは$n=\boxed{へ}$である。
(5)$A_{2022+k}$が実軸上にある最小の正の整数kは$k=\boxed{ホ}$である。
2022上智大学理工学部過去問
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複素数からなる数列${z_n}$を、次の条件で定める。
$z_1=0,\ \ \ z_{n+1}=(1+i)z_n-i \ \ \ (i=1,2,3, \ \ ...)$
正の整数nに対し、z_nに対応する負素数平面上の点をA_nとおく。
(1)$z_2=\boxed{ツ }+\boxed{ツ }\ i, \ \ \ z_3=\boxed{ト}+$
$\boxed{ナ}\ i,\ \ \ z_4=\boxed{二}+\boxed{ヌ}\ i $である。
(2)$r \gt 0,\ 0 \leqq θ \lt 2\pi$ を用いて、$1+i=r(\cos θ+i\sin θ)$のように$1+i$を極形式で
表すとき、$r=\sqrt{\boxed{ネ}},\ θ=\frac{\boxed{ノ }}{\boxed{ハ}}\pi$である。
(3)すべての正の整数nに対する$\triangle PA_nA_{n+1}$が互いに相似になる点Pに対応する
複素数は、$\boxed{ヒ}+\boxed{フ }\ i$である。
(4)$|z_n| \gt 1000$となる最小のnは$n=\boxed{へ}$である。
(5)$A_{2022+k}$が実軸上にある最小の正の整数kは$k=\boxed{ホ}$である。
2022上智大学理工学部過去問
福岡教育大 複素平面の基本
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ z=a+bi(a \gt 0,b \gt 0）z^2+\dfrac{1}{z^2}=1$を満たす.
(1)zを極形式で表せ$(0 \lt \theta \lt 2\pi)$
(2)$z^{100}+\dfrac{1}{z^{100}}$の値を求めよ.
(3)$z,z^2,z^{100}+\dfrac{1}{z^{100}}$の三点でできる三角形の面積を求めよ.
福岡教育大過去問
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$ z=a+bi(a \gt 0,b \gt 0）z^2+\dfrac{1}{z^2}=1$を満たす.
(1)zを極形式で表せ$(0 \lt \theta \lt 2\pi)$
(2)$z^{100}+\dfrac{1}{z^{100}}$の値を求めよ.
(3)$z,z^2,z^{100}+\dfrac{1}{z^{100}}$の三点でできる三角形の面積を求めよ.
福岡教育大過去問
福田の数学〜立教大学2022年理学部第４問〜複素数平面上の点列と三角形の面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
問題文全文(内容文)：
複素数$\alpha=\frac{\sqrt3\ i}{1+\sqrt3\ i}$に対して、複素数$z_n$を
$z_n=8\alpha^{n-1}\ \ \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ ...)$
によって定める。ただしiは虚数単位とする。複素数平面において、原点をOとし、
$z_n$の表す点を$P_n$とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$\alpha$の絶対値|$\alpha$と変革$\arg\alpha$をそれぞれ求めよ。
ただし、$0 \leqq \arg\alpha \lt 2\pi$とする。
(2)$z_2,\ z_3$の実部と虚部をそれぞれ求めよ。
(3)$z_n$の極形式をnを用いて表せ。
(4)$O,\ P_n,\ P_{n+1}$を頂点とする三角形の面積$S_n$を$n$を用いて表せ。
(5)(4)で定めた$S_n$に対して、無限級数$\sum_{n=1}^{\infty}S_n$の和Sを求めよ。
2022立教大学理工学部過去問
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複素数$\alpha=\frac{\sqrt3\ i}{1+\sqrt3\ i}$に対して、複素数$z_n$を
$z_n=8\alpha^{n-1}\ \ \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ ...)$
によって定める。ただしiは虚数単位とする。複素数平面において、原点をOとし、
$z_n$の表す点を$P_n$とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$\alpha$の絶対値|$\alpha$と変革$\arg\alpha$をそれぞれ求めよ。
ただし、$0 \leqq \arg\alpha \lt 2\pi$とする。
(2)$z_2,\ z_3$の実部と虚部をそれぞれ求めよ。
(3)$z_n$の極形式をnを用いて表せ。
(4)$O,\ P_n,\ P_{n+1}$を頂点とする三角形の面積$S_n$を$n$を用いて表せ。
(5)(4)で定めた$S_n$に対して、無限級数$\sum_{n=1}^{\infty}S_n$の和Sを求めよ。
2022立教大学理工学部過去問
福田の数学〜明治大学2022年理工学部第１問(1)〜整式と二項定理とドモアブルの定理
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#複素数平面#整式の除法・分数式・二項定理#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
(1)$f(x)=(x+2)(x-1)^{10}$とし、この式を展開して
$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{11}x^{11}$
と表す。ただし、$a_0,a_1,...,a_{11}$は定数である。
$(\textrm{a})$多項式$f(x)$を$x-2$で割った時の余りは$\boxed{ア}$である。
$(\textrm{b})a_{10}=-\ \boxed{イ}$である。
$(\textrm{c})a_0+a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}=\boxed{ウエオ}$である。
$(\textrm{d})\ \ \ \ f(i)=\boxed{カキ}-\boxed{クケ}\ i \ $である。ただし、$i$は虚数単位である。
2022明治大学理工学部過去問
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(1)$f(x)=(x+2)(x-1)^{10}$とし、この式を展開して
$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{11}x^{11}$
と表す。ただし、$a_0,a_1,...,a_{11}$は定数である。
$(\textrm{a})$多項式$f(x)$を$x-2$で割った時の余りは$\boxed{ア}$である。
$(\textrm{b})a_{10}=-\ \boxed{イ}$である。
$(\textrm{c})a_0+a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}=\boxed{ウエオ}$である。
$(\textrm{d})\ \ \ \ f(i)=\boxed{カキ}-\boxed{クケ}\ i \ $である。ただし、$i$は虚数単位である。
2022明治大学理工学部過去問
福田の数学〜明治大学2022年全学部統一入試理系第４問〜サイコロの目で決まる複素数の値に関する確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#複素数平面#確率#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$i$を虚数単位とし、$z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\ i\$とおく。
さいころを3回ふり、出た目を順に$a,\ b,\ c$とする。
このとき、積$\ abc$が3の倍数となる確率は$\frac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウエ}}$である。
また、$z^{abc}=-1$となる確率は$\frac{\boxed{オカ}}{\boxed{キクケ}}$であり、
$z^{abc}=1$となる確率は$\frac{\boxed{コサシ}}{\boxed{スセソ}}$である。
2022明治大学全統理系過去問
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$i$を虚数単位とし、$z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\ i\$とおく。
さいころを3回ふり、出た目を順に$a,\ b,\ c$とする。
このとき、積$\ abc$が3の倍数となる確率は$\frac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウエ}}$である。
また、$z^{abc}=-1$となる確率は$\frac{\boxed{オカ}}{\boxed{キクケ}}$であり、
$z^{abc}=1$となる確率は$\frac{\boxed{コサシ}}{\boxed{スセソ}}$である。
2022明治大学全統理系過去問
福田の数学〜早稲田大学2022年人間科学部第７問〜複素数平面上の点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#円と方程式#軌跡と領域#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{7}}\ iを虚数単位とする。\alpha=-1+iとし、zは次の条件をともに満たす複素数とする。\\
条件1.\hspace{10pt}\frac{z-\alpha}{z-\bar{\alpha}}の実部は0である。\\
条件2.\hspace{10pt}zの虚部は0以上である。\\
このとき、複素数平面上でzがとりうる値全体の集合を表す図形Cと、実軸で\\
\\
囲まれる部分の面積は\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}\piである。\\
\\
また、w=\frac{iz}{z+1}で表される点wがとりうる値全体の集合を表す図形と、\\
図形Cで囲まれる部分の面積は\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }\ \pi+\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オ\ \ }}である。
\end{eqnarray}
2022早稲田大学人間科学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\large\boxed{7}}\ iを虚数単位とする。\alpha=-1+iとし、zは次の条件をともに満たす複素数とする。\\
条件1.\hspace{10pt}\frac{z-\alpha}{z-\bar{\alpha}}の実部は0である。\\
条件2.\hspace{10pt}zの虚部は0以上である。\\
このとき、複素数平面上でzがとりうる値全体の集合を表す図形Cと、実軸で\\
\\
囲まれる部分の面積は\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}\piである。\\
\\
また、w=\frac{iz}{z+1}で表される点wがとりうる値全体の集合を表す図形と、\\
図形Cで囲まれる部分の面積は\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }\ \pi+\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オ\ \ }}である。
\end{eqnarray}
2022早稲田大学人間科学部過去問
山形大 ナイスな問題
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#山形大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ \alpha=\cos36°+i\sin36°$とする.
(1)$(x-1)(x-\alpha)(x-\alpha^2)･･････(x-\alpha^9)$を計算せよ.
(2)$(x-1)(x-\alpha^2)(x-\alpha^4)(x-\alpha^6)(x-\alpha^8)$を計算せよ.
(3)$(x-\alpha)(x-\alpha^3)(x-\alpha^7)(x-\alpha^9)$を計算せよ.
(4)(3)を用いて\alpha+\dfrac{1}{\alpha}を計算せよ.
山形大過去問
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$ \alpha=\cos36°+i\sin36°$とする.
(1)$(x-1)(x-\alpha)(x-\alpha^2)･･････(x-\alpha^9)$を計算せよ.
(2)$(x-1)(x-\alpha^2)(x-\alpha^4)(x-\alpha^6)(x-\alpha^8)$を計算せよ.
(3)$(x-\alpha)(x-\alpha^3)(x-\alpha^7)(x-\alpha^9)$を計算せよ.
(4)(3)を用いて\alpha+\dfrac{1}{\alpha}を計算せよ.
山形大過去問
福田の数学〜筑波大学2022年理系第６問〜複素数平面上の点の軌跡と最小値
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}}\ iは虚数単位とする。次の条件(\textrm{I}),(\textrm{II})のどちらも満たす複素数z全体の集合を\\
Sとする。\\
(\textrm{I})zの虚部は正である。\\
(\textrm{II})複素数平面上の点A(1),B(1-iz),C(z^2)は一直線上にある。\\
このとき、以下の問いに答えよ。\\
(1)1でない複素数\alphaについて、\alphaの虚部が正であることは、\frac{1}{\alpha-1}の虚部が\\
負であるための必要十分条件であることを示せ。\\
(2)集合Sを複素数平面上に図示せよ。\\
(3)w=\frac{1}{z-1}とする。zがSを動くとき、|w+\frac{i}{\sqrt2}|の最小値を求めよ。
\end{eqnarray}
2022筑波大学理系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}}\ iは虚数単位とする。次の条件(\textrm{I}),(\textrm{II})のどちらも満たす複素数z全体の集合を\\
Sとする。\\
(\textrm{I})zの虚部は正である。\\
(\textrm{II})複素数平面上の点A(1),B(1-iz),C(z^2)は一直線上にある。\\
このとき、以下の問いに答えよ。\\
(1)1でない複素数\alphaについて、\alphaの虚部が正であることは、\frac{1}{\alpha-1}の虚部が\\
負であるための必要十分条件であることを示せ。\\
(2)集合Sを複素数平面上に図示せよ。\\
(3)w=\frac{1}{z-1}とする。zがSを動くとき、|w+\frac{i}{\sqrt2}|の最小値を求めよ。
\end{eqnarray}
2022筑波大学理系過去問
基本問題
単元：
#複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ x+\dfrac{1}{x}-\sqrt2$のとき,
x^{2023}+\dfrac{1}{x^{2023}}$の値を求めよ.
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$ x+\dfrac{1}{x}-\sqrt2$のとき,
x^{2023}+\dfrac{1}{x^{2023}}$の値を求めよ.
藤田医科大学 式の最小値
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#複素数平面#複素数#複素数平面#数学(高校生)#藤田医科大学#数C
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ a,b,c,dは実数である.
$\dfrac{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}{(ac+bd)^2}$の最小値を求めよ.
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$ a,b,c,dは実数である.
$\dfrac{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}{(ac+bd)^2}$の最小値を求めよ.
問題の背景を探る ハンガリーJr数学Olympic
単元：
#複素数平面#円#三角関数#複素数#数学オリンピック
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ a^2+b^2=81$
$x^2+y^2=121$
$ax+by=99$
$ay-bx=?$
これを解け.
ハンガリーjr数学オリンピック過去問
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$ a^2+b^2=81$
$x^2+y^2=121$
$ax+by=99$
$ay-bx=?$
これを解け.
ハンガリーjr数学オリンピック過去問
福田の数学〜神戸大学2022年理系第２問〜無限等比級数の図形への応用
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#関数と極限#図形への応用#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ mを3以上の自然数、\theta=\frac{2\pi}{m}, C_1を半径1の円とする。\hspace{100pt}\\
円C_1に内接する(全ての頂点がC_1上にある)正m角形をP_1とし、\\
P_1に内接する(P_1の全ての辺と接する)円をC_2とする。\\
同様に、nを自然数とするとき、円C_nに内接する正m角形をP_nとし、\\
P_nに内接する円をC_{n+1}とする。C_nの半径をr_n,C_nの内側\\
でP_nの外側の部分の面積をs_nとし、f(m)=\sum_{n=1}^{\infty}s_nとする。以下の問いに答えよ。\\
(1)r_n,s_nの値を\theta,nを用いて表せ。\\
(2)f(m)の値を\thetaを用いて表せ。\\
(3)極限値\lim_{m \to \infty}f(m)を求めよ。\\
ただし必要があれば\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6}を用いてよい。
\end{eqnarray}
2022神戸大学理系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ mを3以上の自然数、\theta=\frac{2\pi}{m}, C_1を半径1の円とする。\hspace{100pt}\\
円C_1に内接する(全ての頂点がC_1上にある)正m角形をP_1とし、\\
P_1に内接する(P_1の全ての辺と接する)円をC_2とする。\\
同様に、nを自然数とするとき、円C_nに内接する正m角形をP_nとし、\\
P_nに内接する円をC_{n+1}とする。C_nの半径をr_n,C_nの内側\\
でP_nの外側の部分の面積をs_nとし、f(m)=\sum_{n=1}^{\infty}s_nとする。以下の問いに答えよ。\\
(1)r_n,s_nの値を\theta,nを用いて表せ。\\
(2)f(m)の値を\thetaを用いて表せ。\\
(3)極限値\lim_{m \to \infty}f(m)を求めよ。\\
ただし必要があれば\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6}を用いてよい。
\end{eqnarray}
2022神戸大学理系過去問