数学(高校生)
数学(高校生)
大学入試問題#905「基本変形の王道」 #信州大学教育学部(2024) #定積分
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#信州大学#数Ⅲ
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x\cos 2x-\cos3x\sin4x) dx$
出典：2024年信州大学教育学部
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$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x\cos 2x-\cos3x\sin4x) dx$
出典：2024年信州大学教育学部
よく間違える二次関数の変域
単元：
#数Ⅰ#２次関数#2次方程式と2次不等式#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$-1\leqq x\leqq 2$のとき、$x^2$の範囲を求めよ。
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$-1\leqq x\leqq 2$のとき、$x^2$の範囲を求めよ。
#高専数学_12#定積分#元高専教員
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{1}{3x^2+1} dx$
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$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{1}{3x^2+1} dx$
#茨城大学2024#定積分_2#元高校教員
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ#茨城大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{-1}^{1} x^3(x+2)^2 dx$
出典：2024年茨城大学後期
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$\displaystyle \int_{-1}^{1} x^3(x+2)^2 dx$
出典：2024年茨城大学後期
福田のおもしろ数学225〜楕円と直線の交点を使った線分の長さの積の最小値
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#数A#図形の性質#平面上の曲線#方べきの定理と２つの円の関係#2次曲線#数学(高校生)#数C
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
点 $\mathrm{P}(2,1)$ を通る直線が楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$ と異なる2点 $\mathrm{Q}, \, \mathrm{R}$ で交わっている。$\mathrm{PQ} \cdot \mathrm{PR}$ の最小値を求めよ。
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点 $\mathrm{P}(2,1)$ を通る直線が楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$ と異なる2点 $\mathrm{Q}, \, \mathrm{R}$ で交わっている。$\mathrm{PQ} \cdot \mathrm{PR}$ の最小値を求めよ。
大学入試問題#904「解き方いろいろ」 #お茶の水女子大学(2013) #積分方程式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#お茶の水女子大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$x \gt 0$で
$f(x)+\displaystyle \int_{1}^{x} \displaystyle \frac{f(t)}{t}dt=3x^2-2x$を満たす多項式$f(x)$を求めよ。
出典：2013年お茶の水女子大学
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$x \gt 0$で
$f(x)+\displaystyle \int_{1}^{x} \displaystyle \frac{f(t)}{t}dt=3x^2-2x$を満たす多項式$f(x)$を求めよ。
出典：2013年お茶の水女子大学
大学入試問題#616「これは理系が解くと逆にはまるかも」 名古屋大学(1963)
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$x \gt y$とする
$x+y=6,\ xy=4$のとき
$\displaystyle \frac{\sqrt{ x }-\sqrt{ y }}{\sqrt{ x }+\sqrt{ y }}$の値を求めよ。
出典：1963年名古屋大学 入試問題
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$x \gt y$とする
$x+y=6,\ xy=4$のとき
$\displaystyle \frac{\sqrt{ x }-\sqrt{ y }}{\sqrt{ x }+\sqrt{ y }}$の値を求めよ。
出典：1963年名古屋大学 入試問題
福田の数学〜中央大学2024理工学部第1問〜3つの関数の大小関係と絶対不等式
単元：
#数Ⅰ#２次関数#2次関数とグラフ#微分とその応用#積分とその応用#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a$ を $1$ 以上の実数、$b$ を実数とし、関数 $f(x), \, g(x), \, h(x)$ を以下で定める。
$\displaystyle f(x)=-|2|x|-1|, \quad g(x)=ax+b, \quad h(x)=e^x$
$(1)$ すべての実数 $x$ に対して $f(x) \leq g(x)$ が成り立つ。$(a, \, b)$ の範囲は、条件 $a \geq 1$ の下では、$b \geq 1$ のとき $a \leq \fbox{ア}$ であり、$\frac{1}{2} \leq b \leq 1$ のとき $a \leq \fbox{イ}$ である。$b < \frac{1}{2}$ のとき条件を満たす $a$ は存在しない。
$(2)$ 実数$p$ に対し、$x=p$ における $y=h(x)$ の接線の方程式は $y=\fbox{ウ}$ である。したがって $a=e^p$ のとき、すべての実数 $x$ に対して $g(x) \leq h(x)$ が成り立つのは $b \leq \fbox{エ}$ のときであり、これは $a$ と $b$ の関係式として $b \leq \fbox{オ}$
$(3)$ すべての実数 $x$ に対し、$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ が成り立つような $(a, \, b)$ 全体のなす領域を $D$ とする。$D$ における $a$ の最大値は $\fbox{カ}$ である。また、$D$ の面積は $\fbox{キ}$ である。
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$a$ を $1$ 以上の実数、$b$ を実数とし、関数 $f(x), \, g(x), \, h(x)$ を以下で定める。
$\displaystyle f(x)=-|2|x|-1|, \quad g(x)=ax+b, \quad h(x)=e^x$
$(1)$ すべての実数 $x$ に対して $f(x) \leq g(x)$ が成り立つ。$(a, \, b)$ の範囲は、条件 $a \geq 1$ の下では、$b \geq 1$ のとき $a \leq \fbox{ア}$ であり、$\frac{1}{2} \leq b \leq 1$ のとき $a \leq \fbox{イ}$ である。$b < \frac{1}{2}$ のとき条件を満たす $a$ は存在しない。
$(2)$ 実数$p$ に対し、$x=p$ における $y=h(x)$ の接線の方程式は $y=\fbox{ウ}$ である。したがって $a=e^p$ のとき、すべての実数 $x$ に対して $g(x) \leq h(x)$ が成り立つのは $b \leq \fbox{エ}$ のときであり、これは $a$ と $b$ の関係式として $b \leq \fbox{オ}$
$(3)$ すべての実数 $x$ に対し、$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ が成り立つような $(a, \, b)$ 全体のなす領域を $D$ とする。$D$ における $a$ の最大値は $\fbox{カ}$ である。また、$D$ の面積は $\fbox{キ}$ である。
#高専数学_11#定積分#元高専教員
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{4} \displaystyle \frac{dx}{x^2-4x+8}$
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$\displaystyle \int_{0}^{4} \displaystyle \frac{dx}{x^2-4x+8}$
#茨城大学2024_1#定積分
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ#茨城大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^5x\cos x$ $dx$
出典：2024年茨城大学
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$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^5x\cos x$ $dx$
出典：2024年茨城大学
福田のおもしろ数学224〜3次式が素数となる整数nを求める
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$n^3-7n+9$が素数となるような整数$n$をすべて求めよ。
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$n^3-7n+9$が素数となるような整数$n$をすべて求めよ。
大学入試問題#903「記述の仕方が問われる」 #信州大学後期(2024)
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#信州大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$a_1=3$とする
$\displaystyle \frac{1}{4}a_n+\displaystyle \frac{3}{2} \lt a_n+1 \lt \displaystyle \frac{1}{3}a_n+\displaystyle \frac{4}{3}$
を満たすとき、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n$を求めよ
出典：2024年信州大学後期
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$a_1=3$とする
$\displaystyle \frac{1}{4}a_n+\displaystyle \frac{3}{2} \lt a_n+1 \lt \displaystyle \frac{1}{3}a_n+\displaystyle \frac{4}{3}$
を満たすとき、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n$を求めよ
出典：2024年信州大学後期
福田の数学〜中央大学2024経済学部第3問〜数列と漸化式
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
3.
座標平面上に曲線 $C$ : $y = x ^ 2 - 2x$ がある。$C$上の点$P_n (a_n, a_n²-2a_n) \ ( n = 1 , 2, 3, ･･･) $について、 $a_{1} = 4$ とし、 $a_{n + 1}$ は$C$の$P_n$における接線と$x$軸との交点の$x$座標であるとする。このとき、$a_n$は$1$より大きいことが分かっている。以下の設問に答えよ。
(1) $a_{n+ 1}$を$a_n$を用いて表せ。
(2) $b_{n}= \dfrac{a_n-2}{a_n}$とするとき、 $b_{n+ 1}$ を$b_n$を用いて表せ。
(3) $b_n$を$n$を用いて表せ。
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3.
座標平面上に曲線 $C$ : $y = x ^ 2 - 2x$ がある。$C$上の点$P_n (a_n, a_n²-2a_n) \ ( n = 1 , 2, 3, ･･･) $について、 $a_{1} = 4$ とし、 $a_{n + 1}$ は$C$の$P_n$における接線と$x$軸との交点の$x$座標であるとする。このとき、$a_n$は$1$より大きいことが分かっている。以下の設問に答えよ。
(1) $a_{n+ 1}$を$a_n$を用いて表せ。
(2) $b_{n}= \dfrac{a_n-2}{a_n}$とするとき、 $b_{n+ 1}$ を$b_n$を用いて表せ。
(3) $b_n$を$n$を用いて表せ。
直角三角形の中に直角
単元：
#数学(中学生)#中１数学#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#平面図形#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
次の図のxを求めよ。
（図は動画参照）
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次の図のxを求めよ。
（図は動画参照）
#高専数学_10#不定積分#元高専教員
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#不定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x}{(x-2)^2} dx$
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x}{(x-2)^2} dx$
#福島大学2024#元高校教員
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#福島大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\sqrt{ 2023\times2025+1 }$の値を求めよ。
出典：2024年福島大学
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$\sqrt{ 2023\times2025+1 }$の値を求めよ。
出典：2024年福島大学
福田のおもしろ数学223〜合成関数でできた方程式の解と不動点
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$f(x)=|x-1|$のとき、$f(f(x))=f(f(f(x)))$を満たす$x$をすべて求めよ。
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$f(x)=|x-1|$のとき、$f(f(x))=f(f(f(x)))$を満たす$x$をすべて求めよ。
大学入試問題#902「いやーこれはしんどかった」 #東京理科大学(2010)
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京理科大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
点$(x,y)$は$x^2+y^2=1$を満たしているとき
$\displaystyle \frac{2x+y+1}{3x+y+5}$の最大値と最小値を求めよ。
出典：2010年東京理科大学
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点$(x,y)$は$x^2+y^2=1$を満たしているとき
$\displaystyle \frac{2x+y+1}{3x+y+5}$の最大値と最小値を求めよ。
出典：2010年東京理科大学
ポイントは実数 摂南大
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#複素数#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$x^2-6xy+10y^2-6y+9=0$
$x=? ,y=?$
$(ただしx,yは実数)$
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$x^2-6xy+10y^2-6y+9=0$
$x=? ,y=?$
$(ただしx,yは実数)$
ポイントは実数 摂南大
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#数Ⅰ#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$x^2-6xy+10y^2-6y+9=0$
$x=? y=?$
(ただし、$x,y$は実数）
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$x^2-6xy+10y^2-6y+9=0$
$x=? y=?$
(ただし、$x,y$は実数）
ポイントは実数 摂南大
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#数Ⅰ#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#数学(高校生)
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数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$x^2-6xy+10y^2-6y+9=0$
のときの$x,y$を求めよ。
$(ただしx,yは実数)$
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$x^2-6xy+10y^2-6y+9=0$
のときの$x,y$を求めよ。
$(ただしx,yは実数)$
福田の数学〜中央大学2024経済学部第2問〜2つの国のGDPの比較と常用対数
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#数Ⅱ#指数関数と対数関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
2.
今年A国のGDP(国内総生産)はB国のGDPの$2$倍である。いま、A国の GDPは1年ごとに$4$%減少し、B国のGDPは$8$%増加すると仮定するとき、以下の問いに答えよ。ただし、 $\log_{10}2 = 0.301$, $\log_{10}3 = 0.4771$ とする。
(1) 今年のA国のGDPを$x$とするとき、n年後のA国とB国のGDPをそれぞれ、$x$と$n$を用いて表せ。
(2) B国のGDPが始めてA国のGDPより大きくなるのは今年から何年後か。答は整数で求めよ。
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2.
今年A国のGDP(国内総生産)はB国のGDPの$2$倍である。いま、A国の GDPは1年ごとに$4$%減少し、B国のGDPは$8$%増加すると仮定するとき、以下の問いに答えよ。ただし、 $\log_{10}2 = 0.301$, $\log_{10}3 = 0.4771$ とする。
(1) 今年のA国のGDPを$x$とするとき、n年後のA国とB国のGDPをそれぞれ、$x$と$n$を用いて表せ。
(2) B国のGDPが始めてA国のGDPより大きくなるのは今年から何年後か。答は整数で求めよ。
#高専数学_9#不定積分#元高専教員
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#不定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
下記の不定積分を解け。
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 4-x^2 }} dx$
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下記の不定積分を解け。
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 4-x^2 }} dx$
#千葉大学2016#定積分#元高校教員
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
以下の定積分を解け。
$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos^3x$ $dx$
出典：2016年千葉大学
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以下の定積分を解け。
$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos^3x$ $dx$
出典：2016年千葉大学
福田のおもしろ数学222〜条件付きの不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a \geq b \geq c, \, x \geq y \geq z, \, x+y+z=0$ のとき、$ax+by+cz \geq 0$ を示せ。
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$a \geq b \geq c, \, x \geq y \geq z, \, x+y+z=0$ のとき、$ax+by+cz \geq 0$ を示せ。
大学入試問題#901「基本だけど初手大事」 #電気通信大学(2024)
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{4} \sqrt{ 2-\sqrt{ x} }$ $dx$
出典：2024年電気通信大学
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$\displaystyle \int_{0}^{4} \sqrt{ 2-\sqrt{ x} }$ $dx$
出典：2024年電気通信大学
福田の数学〜中央大学2024経済学部第1問(6)〜定積分で表された関数
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
関数 $f(x)$ は
$\displaystyle f(x)=x^2 \int^{2}_{0} f'(t) dt +Ax, \quad f(1)=1$
を満たしている。ただし、$A$ は定数である。このとき、$f(x)$ が最大になる $x$ を求めよ。
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関数 $f(x)$ は
$\displaystyle f(x)=x^2 \int^{2}_{0} f'(t) dt +Ax, \quad f(1)=1$
を満たしている。ただし、$A$ は定数である。このとき、$f(x)$ が最大になる $x$ を求めよ。
分数式の計算
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2-x}=$？
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$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2-x}=$？
#高専_8#不定積分#元高専教員
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#不定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
以下の不定積分を解け。
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x^3}{x-1}$ $dx$
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以下の不定積分を解け。
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x^3}{x-1}$ $dx$
#千葉大学2021#不定積分#元高専教員
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
以下の不定積分を解け。
$\displaystyle \int x log(x^2-1) dx$
出典：2021年千葉大学
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以下の不定積分を解け。
$\displaystyle \int x log(x^2-1) dx$
出典：2021年千葉大学