数学(高校生)
数学(高校生)
福田の数学〜名古屋大学2024年文系第1問〜高次方程式と解と係数の関係
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 次の問いに答えよ。
(1)方程式$x^3$－$3x^2$－50=0 の実数解を求めよ。
(2)実数$p$, $q$が$p$+$q$=$pq$ を満たすとする。$X$=$pq$とおくとき、$p^3$+$q^3$を$X$で表せ。
(3)条件
$p^3$+$q^3$=50, $\displaystyle\frac{1}{p}$+$\displaystyle\frac{1}{q}$=1, $p$<$q$
を満たす0でない実数の組($p$, $q$)をすべて求めよ。
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$\Large\boxed{1}$ 次の問いに答えよ。
(1)方程式$x^3$－$3x^2$－50=0 の実数解を求めよ。
(2)実数$p$, $q$が$p$+$q$=$pq$ を満たすとする。$X$=$pq$とおくとき、$p^3$+$q^3$を$X$で表せ。
(3)条件
$p^3$+$q^3$=50, $\displaystyle\frac{1}{p}$+$\displaystyle\frac{1}{q}$=1, $p$<$q$
を満たす0でない実数の組($p$, $q$)をすべて求めよ。
#電気通信大学(2023) #不定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#電気通信大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
以下の不定積分を解け。
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{ 1-x^2 }} dx$
出典：2023年電気通信大学
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以下の不定積分を解け。
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{ 1-x^2 }} dx$
出典：2023年電気通信大学
福田のおもしろ数学149〜cos1°は有理数か
単元：
#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\cos 1°$ は有理数か？
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$\cos 1°$ は有理数か？
大学入試問題#831「教科書の章末問題」 #山形大学(2010) #三角関数
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#山形大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\sin\displaystyle \frac{19}{12}\pi$の値を求めよ
出典：2010年山形大学
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$\sin\displaystyle \frac{19}{12}\pi$の値を求めよ
出典：2010年山形大学
福田の数学〜名古屋大学2024年理系第4問〜反復試行の確率と漸化式と定積分の計算
単元：
#数A#場合の数と確率#確率#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 袋の中にいくつかの赤玉の白玉が入っている。すべての玉に対する赤玉の割合を$p$(0≦$p$≦1)とする。袋から無作為に玉を一つ取り出して袋に戻す試行を行う。
試行を$n$回行うとき、赤玉を$k$回以上取り出す確率を$f(k)$とおく。
(1)$n$≧2に対して、$f(1)$と$f(2)$を求めよ。
(2)$k$=1,2,...,$n$に対して、等式
$f(k)$=$\displaystyle\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\int_0^px^{k-1}(1-x)^{n-k}dx$
を示せ。
(3)自然数$k$に対して、定積分$I$=$\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}x^k(1-x)^kdx$ を求めよ。
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$\Large\boxed{4}$ 袋の中にいくつかの赤玉の白玉が入っている。すべての玉に対する赤玉の割合を$p$(0≦$p$≦1)とする。袋から無作為に玉を一つ取り出して袋に戻す試行を行う。
試行を$n$回行うとき、赤玉を$k$回以上取り出す確率を$f(k)$とおく。
(1)$n$≧2に対して、$f(1)$と$f(2)$を求めよ。
(2)$k$=1,2,...,$n$に対して、等式
$f(k)$=$\displaystyle\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\int_0^px^{k-1}(1-x)^{n-k}dx$
を示せ。
(3)自然数$k$に対して、定積分$I$=$\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}x^k(1-x)^kdx$ を求めよ。
２次不等式はこの手順通りに考えれば解けちゃう!? #数学 #高校数学 #不等式
#福島大学(2021) #定積分 #Shorts
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#福島大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\ x\ log(\sin\ x) dx$
出典：2021年福島大学
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$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\ x\ log(\sin\ x) dx$
出典：2021年福島大学
【高校数学】２次不等式はこれでマスター！この手順通りに考えれば解けちゃう【数学のコツ】
#岩手大学(2015) #定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岩手大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \displaystyle \frac{2x^2}{\sqrt{ 1-x^2 }} dx$
出典：2015年岩手大学
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$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \displaystyle \frac{2x^2}{\sqrt{ 1-x^2 }} dx$
出典：2015年岩手大学
福田のおもしろ数学148〜円の面積
単元：
#数A#数Ⅱ#図形の性質#図形と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
左図(※動画参照)で4つの四角形はすべて面積が$16 \textrm{cm}^2$の正方形です。
円の面積を求めて下さい。
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左図(※動画参照)で4つの四角形はすべて面積が$16 \textrm{cm}^2$の正方形です。
円の面積を求めて下さい。
大学入試問題#830「たまには、こんな問題でも」 #筑波大学(2016) #極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \displaystyle \frac{\cos4x-2\cos\ 2x+1}{x^2}$
出典：2016年筑波大学
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$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \displaystyle \frac{\cos4x-2\cos\ 2x+1}{x^2}$
出典：2016年筑波大学
福田の数学〜名古屋大学2024年理系第3問〜空間内の平面上の領域と原点との距離の最小
単元：
#空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 座標空間の3点A(3,1,3), B(4,2,2), C(4,0,1)の定める平面を$H$とする。
また、
$\overrightarrow{AP}$=$s\overrightarrow{AB}$+$t\overrightarrow{AC}$ ($s$, $t$は非負の実数)
を満たすすべての点Pからなる領域を$K$とする。
(1)内積$\overrightarrow{AB}・\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}・\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB}・\overrightarrow{AC}$を求めよ。
(2)原点O(0,0,0)から平面$H$に下ろした垂線の足をQとする。$\overrightarrow{AQ}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$で表せ。
(3)領域$K$上の点Pに対して、線分QP上の点で$\overrightarrow{AR}$=$r\overrightarrow{AC}$ ($r$は非負の実数)を満たす点Rが存在することを示せ。
(4)領域$K$において原点Oからの距離が最小となる点Sの座標を求めよ。
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$\Large\boxed{4}$ 座標空間の3点A(3,1,3), B(4,2,2), C(4,0,1)の定める平面を$H$とする。
また、
$\overrightarrow{AP}$=$s\overrightarrow{AB}$+$t\overrightarrow{AC}$ ($s$, $t$は非負の実数)
を満たすすべての点Pからなる領域を$K$とする。
(1)内積$\overrightarrow{AB}・\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}・\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB}・\overrightarrow{AC}$を求めよ。
(2)原点O(0,0,0)から平面$H$に下ろした垂線の足をQとする。$\overrightarrow{AQ}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$で表せ。
(3)領域$K$上の点Pに対して、線分QP上の点で$\overrightarrow{AR}$=$r\overrightarrow{AC}$ ($r$は非負の実数)を満たす点Rが存在することを示せ。
(4)領域$K$において原点Oからの距離が最小となる点Sの座標を求めよ。
#上智大学(2005) #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$f(x)=x^2+x+2\displaystyle \int_{0}^{1} f(t) dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ
出典：2005年上智大学
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$f(x)=x^2+x+2\displaystyle \int_{0}^{1} f(t) dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ
出典：2005年上智大学
#福島大学(2020) #不定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#福島大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int 2\ x\ log|x+1|dx$
出典：2020年福島大学
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$\displaystyle \int 2\ x\ log|x+1|dx$
出典：2020年福島大学
福田のおもしろ数学147〜3変数の不定方程式の一般解
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
35x+91y+65z=3 を満たす整数x, y, zを求めよ。
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35x+91y+65z=3 を満たす整数x, y, zを求めよ。
大学入試問題#829「綺麗な詰将棋！」 #筑波大学(2016) #定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{x-1}{x^3+1} dx$
出典：2016年筑波大学
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$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{x-1}{x^3+1} dx$
出典：2016年筑波大学
ルートの方程式 むりっすぅ
福田の数学〜名古屋大学2024年理系第2問〜3次方程式の共通解と複素数平面
単元：
#複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ $c$を1より大きい実数とする。また、$i$を虚数単位として、$\alpha$=$\displaystyle\frac{1-i}{\sqrt 2}$ とおく。
複素数$z$に対して、
$P(z)$=$z^3$－$3z^2$+$(c+2)z$－$c$, $Q(z)$=$-\alpha^7z^3$+$3\alpha^6z^2$+$(c+2)\alpha z$－$c$
と定める。
(1)方程式$P(z)$=0を満たす複素数$z$をすべて求め、それらを複素数平面上に図示せよ。
(2)方程式$Q(z)$=0を満たす複素数$z$のうち実部が最大のものを求めよ。
(3)複素数$z$についての2つの方程式$P(z)$=0, $Q(z)$=0が共通解$\beta$を持つとする。そのときの$c$の値と$\beta$を求めよ。
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$\Large\boxed{2}$ $c$を1より大きい実数とする。また、$i$を虚数単位として、$\alpha$=$\displaystyle\frac{1-i}{\sqrt 2}$ とおく。
複素数$z$に対して、
$P(z)$=$z^3$－$3z^2$+$(c+2)z$－$c$, $Q(z)$=$-\alpha^7z^3$+$3\alpha^6z^2$+$(c+2)\alpha z$－$c$
と定める。
(1)方程式$P(z)$=0を満たす複素数$z$をすべて求め、それらを複素数平面上に図示せよ。
(2)方程式$Q(z)$=0を満たす複素数$z$のうち実部が最大のものを求めよ。
(3)複素数$z$についての2つの方程式$P(z)$=0, $Q(z)$=0が共通解$\beta$を持つとする。そのときの$c$の値と$\beta$を求めよ。
#立教大学(2010) #定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{2x^3}{1+x^2} dx$
出典：2010年立教大学
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$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{2x^3}{1+x^2} dx$
出典：2010年立教大学
#岩手大学(2019) #定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岩手大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{3} \displaystyle \frac{x}{(4-x)^3} dx$
出典：2019年岩手大学
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$\displaystyle \int_{0}^{3} \displaystyle \frac{x}{(4-x)^3} dx$
出典：2019年岩手大学
大学入試問題#828「式変形難しめの良問！」 #久留米大学医学部(2024) #数列
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#久留米大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{3k+5}{(3k-1)(3k+2)2^{k+1}}$
出典：2024年久留米大学医学部
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$\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{3k+5}{(3k-1)(3k+2)2^{k+1}}$
出典：2024年久留米大学医学部
福田の数学〜名古屋大学2024年理系第1問〜接線の本数と整数解
単元：
#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 関数$f(x)$=$\sqrt x$+$\displaystyle\frac{2}{\sqrt x}$ ($x$>0)に対して、$y$=$f(x)$のグラフを$C$とする。
(1)$f(x)$の極値を求めよ。
(2)$x$軸上の点P($t$, 0)から$C$にちょうど2本の接線を引くことができるとする。
そのような実数$t$の値の範囲を求めよ。
(3)(2)において、$C$の2つの接点の$x$座標を$\alpha$, $\beta$($\alpha$<$\beta$)とする。$\alpha$, $\beta$がともに整数であるような組($\alpha$, $\beta$)をすべて求めよ。
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$\Large\boxed{1}$ 関数$f(x)$=$\sqrt x$+$\displaystyle\frac{2}{\sqrt x}$ ($x$>0)に対して、$y$=$f(x)$のグラフを$C$とする。
(1)$f(x)$の極値を求めよ。
(2)$x$軸上の点P($t$, 0)から$C$にちょうど2本の接線を引くことができるとする。
そのような実数$t$の値の範囲を求めよ。
(3)(2)において、$C$の2つの接点の$x$座標を$\alpha$, $\beta$($\alpha$<$\beta$)とする。$\alpha$, $\beta$がともに整数であるような組($\alpha$, $\beta$)をすべて求めよ。
#東京都市大学(2010) #不定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int xe^{x^2} dx$
出典：2010年東京都市大学
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$\displaystyle \int xe^{x^2} dx$
出典：2010年東京都市大学
10回連続表なら次は裏なのか？
単元：
#数A#場合の数と確率#確率#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
下記質問の解説動画です
コインが10回連続表なら次は裏がでますか？
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下記質問の解説動画です
コインが10回連続表なら次は裏がでますか？
#岩手大学(2019) #極限 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岩手大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \displaystyle \frac{3x^2-1}{2x+1}\sin\displaystyle \frac{2}{x}$
出典：2019年岩手大学
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$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \displaystyle \frac{3x^2-1}{2x+1}\sin\displaystyle \frac{2}{x}$
出典：2019年岩手大学
福田のおもしろ数学146〜3m＋5nで作れない自然数を求める
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$X$=$3m$+$5n$ ($m$, $n$は0以上の整数)の形で表せない自然数$X$を全て求めよ。
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$X$=$3m$+$5n$ ($m$, $n$は0以上の整数)の形で表せない自然数$X$を全て求めよ。
大学入試問題#827「とりま絶対値はずそ：0≦t≦π/2」 #筑波大学(2020) #定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin\ x-\sin\ t\ |\ dx$
出典：2020年筑波大学
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$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin\ x-\sin\ t\ |\ dx$
出典：2020年筑波大学
福田の数学〜慶應義塾大学2024年商学部第4問〜くじ引きと条件付き確率
単元：
#数A#場合の数と確率#確率#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ あるくじ引き店には、くじが10本入っている箱が5箱ある。5箱のうち4箱には当たりくじが1本、はずれくじが9本入っており、この4箱を「通常の箱」と呼ぶ。また、残りの1箱には当たりくじが5本、はずれくじが5本入っており、この箱を「有利な箱」と呼ぶ。通常の箱と有利な箱は見た目は同じであり、見分けることはできない。
(i)まず、Aが店に入り、5箱のうちの1箱を無作為に選び、その箱からくじを1本引いた。Aの選んだ箱が通常の箱であり、かつ、引いたくじがはずれである確率は$\frac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウエ}}$である。また、Aの選んだ箱が有利な箱であり、かつ、引いたくじがはずれである確率は$\frac{\boxed{オ}}{\boxed{カキ}}$である。したがって、Aの引いたくじがはずれであったときに、Aの選んだ箱が有利な箱である確率は$\frac{\boxed{ク}}{\boxed{ケコ}}$である。
(ii)(i)の後、Aは引いたくじをもとの箱に戻し、よくかき混ぜたあと、同じ箱からもう一度くじを1本引いた。Aの引いたくじが1回目、2回目ともにはずれであったときに、Aの選んだ箱が有利な箱である確率は$\frac{\boxed{サシ}}{\boxed{スセソ}}$である。
(iii)(ii)の後、Aは引いたくじをもとの箱に戻して店を出た。その後、BとCが店に入った。Bは5箱のうち1箱を無作為に選び、CはBが選ばなかった4箱の中から1箱を無作為に選んだ。BはAと同じように、自分の選んだ箱からくじを1本引き、それをもとの箱に戻し、よくかき混ぜた後、同じ箱からもう一度くじを1本引いた。また、Cは自分の選んだ箱からくじを1本引いた。Bの引いたくじが1回目、2回目ともにはずれであり、かつ、Cが引いたくじが当たりであったときに、Bの選んだ箱が有利な箱である確率は$\frac{\boxed{タチ}}{\boxed{ツテト}}$であり、Cの選んだ箱が有利な箱である確率は$\frac{\boxed{ナニヌ}}{\boxed{ネノハ}}$である。
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$\Large\boxed{4}$ あるくじ引き店には、くじが10本入っている箱が5箱ある。5箱のうち4箱には当たりくじが1本、はずれくじが9本入っており、この4箱を「通常の箱」と呼ぶ。また、残りの1箱には当たりくじが5本、はずれくじが5本入っており、この箱を「有利な箱」と呼ぶ。通常の箱と有利な箱は見た目は同じであり、見分けることはできない。
(i)まず、Aが店に入り、5箱のうちの1箱を無作為に選び、その箱からくじを1本引いた。Aの選んだ箱が通常の箱であり、かつ、引いたくじがはずれである確率は$\frac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウエ}}$である。また、Aの選んだ箱が有利な箱であり、かつ、引いたくじがはずれである確率は$\frac{\boxed{オ}}{\boxed{カキ}}$である。したがって、Aの引いたくじがはずれであったときに、Aの選んだ箱が有利な箱である確率は$\frac{\boxed{ク}}{\boxed{ケコ}}$である。
(ii)(i)の後、Aは引いたくじをもとの箱に戻し、よくかき混ぜたあと、同じ箱からもう一度くじを1本引いた。Aの引いたくじが1回目、2回目ともにはずれであったときに、Aの選んだ箱が有利な箱である確率は$\frac{\boxed{サシ}}{\boxed{スセソ}}$である。
(iii)(ii)の後、Aは引いたくじをもとの箱に戻して店を出た。その後、BとCが店に入った。Bは5箱のうち1箱を無作為に選び、CはBが選ばなかった4箱の中から1箱を無作為に選んだ。BはAと同じように、自分の選んだ箱からくじを1本引き、それをもとの箱に戻し、よくかき混ぜた後、同じ箱からもう一度くじを1本引いた。また、Cは自分の選んだ箱からくじを1本引いた。Bの引いたくじが1回目、2回目ともにはずれであり、かつ、Cが引いたくじが当たりであったときに、Bの選んだ箱が有利な箱である確率は$\frac{\boxed{タチ}}{\boxed{ツテト}}$であり、Cの選んだ箱が有利な箱である確率は$\frac{\boxed{ナニヌ}}{\boxed{ネノハ}}$である。
この手があったか！分母の有理化
単元：
#数学(中学生)#中３数学#平方根#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\frac{21}{\sqrt 7}=$
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$\frac{21}{\sqrt 7}=$
#岩手大学(2018) #定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岩手大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{1}^{e} x^3log\ x\ dx$
出典：2018年岩手大学
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$\displaystyle \int_{1}^{e} x^3log\ x\ dx$
出典：2018年岩手大学