図形の性質

気がつけば爽快！！　 B

単元： #数学(中学生)#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
BD:DC=?
＊図は動画内参照

2021西大和学園高等学校

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共通テスト2021年数学詳しい解説〜共通テスト2021年IA第５問〜平面幾何

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と２つの円の関係#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

第 5 問

△ A B C

において、

A B = 3

,　

B C = 4

,　

A C = 5

とする。

∠ B A C

の二等分線と辺

B C

との交点を

D

とすると

B D = \frac{ア}{イ}

,　

A D = \frac{ウ \sqrt{エ}}{オ}

である。
また、

∠ B A C

の二等分線と

△ A B C

の外接円

O

との交点で点

A

とは異なる
点を

E

とする。

△ A E C

に着目すると

A E = カ \sqrt{キ}

である。

△ A B C

の2辺

A B

と

A C

の両方に接し、外接円

O

に内接する円の中心を

P

とする。円

P

の半径を

r

とする。さらに、円

P

と外接円

O

との接点を

F

とし、直線

P F

と外接円

O

との交点で点

F

とは異なる点を

G

とする。
このとき

A P = \sqrt{ク} r

,　

P G = ケ - r

と表せる。したがって、方べきの定理により

r = \frac{コ}{サ}

である。

△ A B C

の内心を

Q

とする。内接円

Q

の半径は

シ

で、

A Q = \sqrt{ス}

である。また、円

P

と辺

A B

との接点を

H

とすると、

A H = \frac{セ}{ソ}

である。
以上から、点

H

に関する次の

(a), (b)

の正誤の組合せとして正しいもの
は

タ

である。

(a)

点

H

は3点

B, D, Q

を通る円の周上にある。

(b)

点

H

は3点

B, E, Q

を通る円の周上にある。

タ

の解答群
(※選択肢は動画参照)

2021共通テスト過去問

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円錐台　内接球　2021 C

単元： #数学(中学生)#数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
球を除いた体積=?
＊図は動画内参照

2021専修大学松戸高等学校

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2021昭和秀英　正四角錐の外接球

単元： #数学(中学生)#数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
底面の一辺が2の正方形、他の辺は

\sqrt{5}

の正四角すい
5点ABCDEを通る球の体積を求めよ。
＊図は動画内参照

2021昭和学院秀英高等学校

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瞬殺！！三角形の面積二等分　慶應義塾

単元： #数学(中学生)#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
△OABの面積を二等分するx軸に平行な直線の式を求めよ。
＊図は動画内参照

慶應義塾高等学校

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函館ラ・サール　面積比

単元： #数学(中学生)#中２数学#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#三角形と四角形#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
△ECF：台形ABCD=?
＊図は動画内参照

函館ラ・サール高等学校

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二つの円　角の二等分線　C

単元： #数学(中学生)#数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
ADは

∠ B A C

を二等分することを示せ
＊図は動画内参照

慶應義塾志木高等学校

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バーゼル問題　出題されてから91年後にオイラーが解決

単元： #数A#図形の性質#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
これを解け.

n \to \infty

とする.

\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ･ ･ ･ ･ + \frac{1}{n^{2}} = \frac{?}{6}

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三平方の定理不要！西大和学園　B

単元： #数学(中学生)#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
DF=?
＊図は動画内参照

西大和学園高等学校

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良問！広島県！

単元： #数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
△ABDの面積=?
＊図は動画内参照

広島県

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円と三平方　中央大附属　C

単元： #数学(中学生)#中３数学#数A#図形の性質#三平方の定理#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
正方形の1辺の長さ=l
半径=r
lをrで表せ
＊図は動画内参照

中央大学附属高等学校

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京都大　角の二等分線の定理

単元： #数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
角の二等分線の定理を証明せよ.

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京都大　東大医学部卒パスラボ宇佐見さん３度目登場

単元： #数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
三角形のうち面積が最大のとき,

\cos ∠ B

を求めよ.

京大過去問

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東大　座標上の鋭角三角形

単元： #数A#図形の性質#平面上の曲線#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a, b

は実数であり,

b \neq 0

である.

O (0, 0) . P (1, 0), Q (a, b)

(1)

△ O P Q

が鋭角三角形になる

a, b

の条件を不等式で表せ.
(2)

m, n

整数,

a, b

は(1)の条件を満たすとき,

(m + n a)^{2} - (m + n a) + n^{2} b^{2} ≧ 0

を示せ.

1998東大過去問

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京都大　三角形の辺の長さ

単元： #数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a, c

は素数である.

b

が整数のとき,

△ A B C

は正三角形であることを示せ

1990京都大過去問

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【数A】図形の性質：正八面体とその内接球の半径の出し方とその過程における注意点を解説！

単元： #数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
正八面体とその内接球の半径の出し方とその過程における注意点を解説！

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【数学A】接弦定理の覚え方と証明【このやり方なら、来週も忘れない】

単元： #数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#数学(高校生)

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
【数学A】接弦定理の覚え方と証明紹介動画です

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３次関数　三角形の面積最大　お茶の水女子大

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#お茶の水女子大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 8 x

,3点

O, A (3, f (3))

,

P (t, f (t)), 0 < t ≦ 4, t \neq 3

である.

△ O A P

の面積が最大となる

t

の値を求めよ.

1987お茶の水女子大過去問

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19神奈川県教員採用試験（数学：三角形の最小値）

単元： #数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#その他#数学(高校生)#その他

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

y = x^{2} + 2

上の点

P

と原点

O

と点

A (3, 3)

で

△ O A P

の面積の最小値を求めよ.

19神奈川県教員採用試験（数学：三角形の最小値）過去問

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嵐の方程式　5-1=0 をオイラーの公式を使って　よさまつが証明するよ

単元： #数A#数Ⅱ#図形の性質#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
オイラーの公式　説明動画です

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最速。2020年センター試験解説。福田の入試問題解説〜2020年センター試験IA第５問〜平面図形、チェバの定理、メネラウスの定理、方べきの定理

単元： #数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#方べきの定理と２つの円の関係#センター試験・共通テスト関連#センター試験#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

第 5 問

△ A B C

において、辺

B C

を

7 : 1

に内分する点を

D

とし、辺

A C

を

7 : 1

に
内分する点を

E

とする。線分

A D

と線分

B E

の交点を

F

とし、直線

C F

と辺

A B

の交点を

G

とすると

\frac{G B}{A G} = ア, \frac{F D}{A F} = \frac{イ}{ウ},

\frac{F C}{G F} = \frac{エ}{オ}

である。したがって

\frac{△ C D G の 面 積}{△ B F G の 面 積} = \frac{カ}{キ ク}

となる。

4点

B, D, F, G

が同一円周上にあり、かつ

F D = 1

のとき

A B = ケ コ

である。さらに、

A E = 3 \sqrt{7}

とするとき、

A E ・ A C = サ シ

であり

∠ A E G = ス

である。

ス

に当てはまるものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。
⓪

∠ B G E

①

∠ A D B

②

∠ A B C

③

∠ B A D

2020センター試験過去問

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最速。2020年センター試験解説。福田の入試問題解説〜2020年センター試験IIB第４問〜空間ベクトルと四面体の体積

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#空間ベクトル#空間ベクトル#センター試験・共通テスト関連#センター試験#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

第 4 問

点

O

を原点とする座標空間に2点

A (3, 3, - 6),

B (2 + 2 \sqrt{3},

2 - 2 \sqrt{3}, - 4)

をとる。3点

O, A, B

の定める平面を

α

とする。また、

α

に含まれる点

C

は

\vec{O A} ⊥ \vec{O C},

\vec{O B} ・ \vec{O C} = 24

\dots

①

を満たすとする。

(1)　

| \vec{O A} | = ア \sqrt{イ},

| \vec{O B} | = ウ \sqrt{エ}

であり、

\vec{O A} ・ \vec{O B} = オ カ

である。

(2)点

C

は平面

α

上にあるので、実数

s,

t

を用いて、

\vec{O C} = s \vec{O A} + t \vec{O B}

と
表すことができる。このとき、①から

s = \frac{キ ク}{ケ},

t = コ

である。
したがって、

| \vec{O C} | = サ \sqrt{シ}

である。

(3)

\vec{C B} = (ス, セ, ソ タ)

である。したがって、平面

α

上の
四角形

O A B C

は

チ

。

チ

に当てはまるものを、次の⓪～④のうちから一つ選べ。
ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。

⓪正方形である
①正方形ではないが、長方形である
②長方形ではないが、平行四辺形である
③平行四辺形ではないが、台形である
④台形ではない

\vec{O A} ⊥ \vec{O C}

であるので、四角形

O A B C

の面積は

ツ テ

である。

(4)

\vec{O A} ⊥ \vec{O D},

\vec{O C} ・ \vec{O D} = 2 \sqrt{6}

かつ

z

座標が1であるような点

D

の座標は

(ト + \frac{\sqrt{ナ}}{ニ},

ヌ + \frac{\sqrt{ネ}}{ノ}, 1)

である。このとき

∠ C O D = ハ ヒ °

である。
3点

O, C, D

の定める平面を

β

とする。

α

と

β

は垂直であるので、三角形

A B C

を底面とする四面体

D A B C

の高さは

\sqrt{フ}

である。したがって、
四面体

D A B C

の体積は

ヘ \sqrt{ホ}

　である。

2020センター試験過去問

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最速。2020年センター試験解説。福田の入試問題解説〜2020年センター試験IIB第１問〜三角関数、指数対数関数、図形と方程式

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#図形と方程式#三角関数#指数関数と対数関数#指数関数#センター試験・共通テスト関連#センター試験#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

第 1 問

[1](1)

0 ≦ θ < 2 π

のとき

\sin θ > \sqrt{3} \cos (θ - \frac{π}{3})

\dots

①
となる

θ

の値の範囲を求めよう。
加法定理を用いると

\sqrt{3} \cos (θ - \frac{π}{3}) =

\frac{\sqrt{ア}}{イ} \cos θ + \frac{ウ}{イ} \sin θ

である。よって、三角関数の合成を用いると、①は

\sin (θ + \frac{π}{エ}) < 0

と変形できる。したがって、求める範囲は

\frac{オ}{カ} π < θ < \frac{キ}{ク} π

である。

(2)

0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}

とし、

k

を実数とする。

\sin θ

と

\cos θ

は

x

の2次方程式

25 x^{2} - 35 x + k = 0

の解であるとする。このとき、解と係数の関係に
より

\sin θ + \cos θ

と

\sin θ \cos θ

の値を考えれば、

k = ケ コ

で
あることがわかる。

さらに、

θ

が

\sin θ ≧ \cos θ

を満たすとすると、

\sin θ = \frac{サ}{シ},

\cos θ = \frac{ス}{セ}

である。このとき、

θ

は

ソ

を満たす。

ソ

に当てはまるものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
⓪

0 ≦ θ < \frac{π}{12}

①

\frac{π}{12} ≦ θ < \frac{π}{6}

②

\frac{π}{6} ≦ θ < \frac{π}{4}

③

\frac{π}{4} ≦ θ < \frac{π}{3}

④

\frac{π}{3} ≦ θ < \frac{5}{12} π

⑤

\frac{5}{12} π ≦ θ ≦ \frac{π}{2}

[2](1)

t

は正の実数であり、

t^{\frac{1}{3}} - t^{- \frac{1}{3}} = - 3

を満たすとする。このとき

t^{\frac{2}{3}} + t^{- \frac{2}{3}} = タ チ

である。さらに

t^{\frac{1}{2}} + t^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{ツ テ},

t - t^{- 1} = ト ナ ニ

である。

(2)

x, y

は正の実数とする。連立方程式

\begin{array}{r} {\begin{cases} \log_{3} (x \sqrt{y}) ≦ 5 \dots ② \\ \log_{81} \frac{y}{x^{3}} ≦ 1 \dots ③ \end{cases} \end{array}

について考える。

X = \log_{3} x,

Y = \log_{3} y

とおくと、②は

ヌ X + Y ≦ ネ ノ

\dots

④
と変形でき、③は

ハ X - Y ≧ ヒ フ

\dots

⑤
と変形できる。

X, Y

が④と⑤を満たすとき、

Y

の取り得る最大の整数の値は

ヘ

である。また、

x, y

が②,③と

\log_{3} y = ヘ

を同時に
満たすとき、xの取り得る最大の整数の値は

ホ

である。

2020センター試験過去問

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光文社新書「中学の知識でオイラー公式がわかる」Vol.19　ド・モアブルの定理によるアプローチ

単元： #数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
ド・モアブルの定理によるアプローチ

(\cos θ + i \sin θ)^{n} = \cos n θ + i \sin n θ

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光文社新書「中学の知識でオイラー公式がわかる」Vol.1６　ド・モアブルの定理

単元： #数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
ド・モアブルの定理の解説動画です

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光文社新書「中学の知識でオイラー公式がわかる」Vol.10 弧度法を使う理由

単元： #数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
弧度法を使う理由説明動画です

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光文社新書「中学の知識でオイラーの公式がわかる」Vol.1序章

単元： #数A#図形の性質#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

e^{i θ} \cos θ + i \sin θ

θ = π

e^{i π} = - 1

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【高校数学】立体の問題のポイント・重要公式集【コツさえつかめば怖くない！】

単元： #数A#図形の性質#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#数学(高校生)

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
【高校数学】立体の問題のポイント・重要公式集
-----------------

球の中に正四面体ABCDが内接している。
正四面体ABCDの一辺の長さをaとし、球の半径をRとするとき、Rをaを用いて示しなさい。

正四面体ABCDに球が内接している。
このとき、球の半径rをaを用いて表しなさい。

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【数学A】外心・内心・チェバとかが誰でも嫌でも頭に入る動画

単元： #数A#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
【数学A】外心・内心・チェバなど　解説動画です

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中央大（法）正多角形の内角

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
1つの内角の比が

4 : 5

となる正多角形の組を求めよ

出典：2001年中央大学法学部　過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 図形の性質

気がつけば爽快！！ B

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円錐台 内接球 2021 C

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３次関数 三角形の面積最大 お茶の水女子大

19神奈川県教員採用試験（数学：三角形の最小値）

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光文社新書「中学の知識でオイラー公式がわかる」Vol.19 ド・モアブルの定理によるアプローチ

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