図形と方程式
図形と方程式
福田のわかった数学〜高校２年生037〜軌跡(4)反転の話その2
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(4) 反転の話(2)\\
動点Pが直線l:x+y=1 上を動く。\\
原点Oを端点とする半直線OP上で\\
OP・OQ=1\\
を満たす点Qの軌跡を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(4) 反転の話(2)\\
動点Pが直線l:x+y=1 上を動く。\\
原点Oを端点とする半直線OP上で\\
OP・OQ=1\\
を満たす点Qの軌跡を求めよ。
\end{eqnarray}
福田の数学〜慶應義塾大学2021年経済学部第１問〜2つの円に同時に外接する円の条件
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#図形と方程式#円と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 座標平面上の原点を中心とする半径2の円をC_1、中心の座標が(7,0)、半径3\\
の円をC_2とする。さらにrを正の実数とするとき、C_1とC_2に同時に外接する円で、\\
その中心の座標が(a,b)、半径がrであるものをC_3とする。ただし、2つの円が\\
外接するとは、それらが1点を共有し、中心が互いの外部にあるときをいう。\\
\\
(1)rの最小値は\boxed{\ \ ア\ \ }であり、aの最大値は\boxed{\ \ イ\ \ }となる。\\
\\
(2)aとbは関係式b^2=\boxed{\ \ ウエ\ \ }(a+\boxed{\ \ オカ\ \ })(a-4)を満たす。\\
\\
(3)C_3が直線x=-3に接するとき、a=\frac{\boxed{\ \ キク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}, |b|=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ コサシ\ \ }}}{\boxed{\ \ ス\ \ }}である。\\
\\
(4)点(a,b)と原点を通る直線と、点(a,b)と点(7,0)を通る直線が直交するとき、\\
|b|=\frac{\boxed{\ \ セソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }}となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 座標平面上の原点を中心とする半径2の円をC_1、中心の座標が(7,0)、半径3\\
の円をC_2とする。さらにrを正の実数とするとき、C_1とC_2に同時に外接する円で、\\
その中心の座標が(a,b)、半径がrであるものをC_3とする。ただし、2つの円が\\
外接するとは、それらが1点を共有し、中心が互いの外部にあるときをいう。\\
\\
(1)rの最小値は\boxed{\ \ ア\ \ }であり、aの最大値は\boxed{\ \ イ\ \ }となる。\\
\\
(2)aとbは関係式b^2=\boxed{\ \ ウエ\ \ }(a+\boxed{\ \ オカ\ \ })(a-4)を満たす。\\
\\
(3)C_3が直線x=-3に接するとき、a=\frac{\boxed{\ \ キク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}, |b|=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ コサシ\ \ }}}{\boxed{\ \ ス\ \ }}である。\\
\\
(4)点(a,b)と原点を通る直線と、点(a,b)と点(7,0)を通る直線が直交するとき、\\
|b|=\frac{\boxed{\ \ セソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }}となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学部過去問
福田のわかった数学〜高校２年生036〜軌跡(3)反転の話その１
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(3) 反転の話(1)\\
座標平面上で、点P(4,3)に対して\\
OP・OQ=1\\
となる点Qを半直線OP上にとる。\\
点Qの座標を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(3) 反転の話(1)\\
座標平面上で、点P(4,3)に対して\\
OP・OQ=1\\
となる点Qを半直線OP上にとる。\\
点Qの座標を求めよ。
\end{eqnarray}
福田の数学〜慶應義塾大学2021年環境情報学部第６問〜領域における最大
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}} ある国の有識者会議が、経済活性化に資する公共サービスの供給量xと、医療・\\
公衆衛生に関する公共サービスの供給量yの組み合わせの検討を行っている。供給量\\
(x,y)は、予算やマンパワー、既存の法律など、さまざまな要因により、その実現可能性\\
に制約を受け、次の不等式を満たすものとする。\\
\left\{\begin{array}{1}
2x+5y \leqq 405 \ldots(1)\\
x^2+75y \leqq 6075 \ldots(2)\\
x \geqq 0 \ldots(3)\\
y \geqq 0 \ldots(4)\\
\end{array}\right.\\
\\
供給量(x,y)をx軸とy軸の2次元座標で表すと、実現可能な供給量の組合せ\\
(x,y)の値域は、0 \leqq x \leqq \boxed{\ \ アイ\ \ }の範囲で(1)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域と、\\
\boxed{\ \ アイ\ \ } \leqq x \leqq \sqrt{\boxed{\ \ オカ\ \ }}の範囲で(2)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域の2つ\\
からなることがわかる。\\
いま、有識者会議の目標がxyの最大化であるとすると、供給量の組合せを\\
(x,y)=(\boxed{\ \ キク\ \ },\boxed{\ \ ケコ\ \ })とする結論を得る。\\
次に、情勢の変化に伴って、上記の(1),(2),(3),(4)に新たな不等式\\
x+y \leqq 93 \ldots(5)\\
が加わったとすると、実現可能な(x,y)の領域は、0 \leqq x \leqq \boxed{\ \ サシ\ \ }の範囲で\\
(1)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域と、\boxed{\ \ サシ\ \ } \leqq x \leqq \boxed{\ \ スセ\ \ }の範囲で\\
(5)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域と、\boxed{\ \ スセ\ \ } \leqq x \leqq \boxed{\ \ ウエ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ オカ\ \ }}の範囲で\\
(2)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域の3つに分けることができる。\\
また、政府の方針にそって、有識者会議の目標がx^2yの最大化に変更されたとすると、\\
供給量の組合せを\\
(x,y)=(\boxed{\ \ ソタ\ \ },\boxed{\ \ チツ\ \ })\\
とする結論を導くことになる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学環境情報学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}} ある国の有識者会議が、経済活性化に資する公共サービスの供給量xと、医療・\\
公衆衛生に関する公共サービスの供給量yの組み合わせの検討を行っている。供給量\\
(x,y)は、予算やマンパワー、既存の法律など、さまざまな要因により、その実現可能性\\
に制約を受け、次の不等式を満たすものとする。\\
\left\{\begin{array}{1}
2x+5y \leqq 405 \ldots(1)\\
x^2+75y \leqq 6075 \ldots(2)\\
x \geqq 0 \ldots(3)\\
y \geqq 0 \ldots(4)\\
\end{array}\right.\\
\\
供給量(x,y)をx軸とy軸の2次元座標で表すと、実現可能な供給量の組合せ\\
(x,y)の値域は、0 \leqq x \leqq \boxed{\ \ アイ\ \ }の範囲で(1)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域と、\\
\boxed{\ \ アイ\ \ } \leqq x \leqq \sqrt{\boxed{\ \ オカ\ \ }}の範囲で(2)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域の2つ\\
からなることがわかる。\\
いま、有識者会議の目標がxyの最大化であるとすると、供給量の組合せを\\
(x,y)=(\boxed{\ \ キク\ \ },\boxed{\ \ ケコ\ \ })とする結論を得る。\\
次に、情勢の変化に伴って、上記の(1),(2),(3),(4)に新たな不等式\\
x+y \leqq 93 \ldots(5)\\
が加わったとすると、実現可能な(x,y)の領域は、0 \leqq x \leqq \boxed{\ \ サシ\ \ }の範囲で\\
(1)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域と、\boxed{\ \ サシ\ \ } \leqq x \leqq \boxed{\ \ スセ\ \ }の範囲で\\
(5)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域と、\boxed{\ \ スセ\ \ } \leqq x \leqq \boxed{\ \ ウエ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ オカ\ \ }}の範囲で\\
(2)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域の3つに分けることができる。\\
また、政府の方針にそって、有識者会議の目標がx^2yの最大化に変更されたとすると、\\
供給量の組合せを\\
(x,y)=(\boxed{\ \ ソタ\ \ },\boxed{\ \ チツ\ \ })\\
とする結論を導くことになる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学環境情報学部過去問
福田の数学〜慶應義塾大学2021年環境情報学部第５問〜空間の領域に位置する直方体の体積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}} xyz空間において、直方体ABCD-EFGHがz \geqq x^2+y^2\\
(0 \leqq z \leqq 1)を満たす立体の周辺および内部に存在する。この\\
直方体の面ABCD,EFGHはxy平面に平行であり、頂点A,B,C,D\\
は平面z=1上に、頂点E,F,G,Hは曲面z=x^2+y^2上に存在する。\\
\\
(1)直方体ABCD-EFGHの面ABCDおよびEFGHが1辺の長さa\\
の正方形のとき、正の実数であるaの取り得る値の範囲は\\
0 \lt a \lt \sqrt{\boxed{\ \ アイ\ \ }}であり、この直方体の体積は\frac{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}a^4+\boxed{\ \ キク\ \ }a^2\\
である。\\
\\
(2)直方体ABCD-EFGHの面ABFEおよびDCGHが1辺の長さb\\
の正方形のとき、正の実数であるbの取り得る値の範囲は\\
0 \lt b \lt \boxed{\ \ ケコ\ \ }+\boxed{\ \ サシ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ スセ\ \ }}であり、この直方体の体積は\\
b^2\sqrt{\boxed{\ \ ソタ\ \ }b^2+\boxed{\ \ チツ\ \ }b+\boxed{\ \ テト\ \ }}である。\\
\\
(3)直方体ABCD-EFGHの全ての面が1辺の長さcの正方形のとき、すなわち\\
直方体ABCD-EFGHが立方体のとき、正の実数であるcの値は\\
\boxed{\ \ ナニ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}であり、立方体ABCD-EFGHの体積は\\
\boxed{\ \ ノハヒ\ \ }+\boxed{\ \ フヘ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ホマ\ \ }}である。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}} xyz空間において、直方体ABCD-EFGHがz \geqq x^2+y^2\\
(0 \leqq z \leqq 1)を満たす立体の周辺および内部に存在する。この\\
直方体の面ABCD,EFGHはxy平面に平行であり、頂点A,B,C,D\\
は平面z=1上に、頂点E,F,G,Hは曲面z=x^2+y^2上に存在する。\\
\\
(1)直方体ABCD-EFGHの面ABCDおよびEFGHが1辺の長さa\\
の正方形のとき、正の実数であるaの取り得る値の範囲は\\
0 \lt a \lt \sqrt{\boxed{\ \ アイ\ \ }}であり、この直方体の体積は\frac{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}a^4+\boxed{\ \ キク\ \ }a^2\\
である。\\
\\
(2)直方体ABCD-EFGHの面ABFEおよびDCGHが1辺の長さb\\
の正方形のとき、正の実数であるbの取り得る値の範囲は\\
0 \lt b \lt \boxed{\ \ ケコ\ \ }+\boxed{\ \ サシ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ スセ\ \ }}であり、この直方体の体積は\\
b^2\sqrt{\boxed{\ \ ソタ\ \ }b^2+\boxed{\ \ チツ\ \ }b+\boxed{\ \ テト\ \ }}である。\\
\\
(3)直方体ABCD-EFGHの全ての面が1辺の長さcの正方形のとき、すなわち\\
直方体ABCD-EFGHが立方体のとき、正の実数であるcの値は\\
\boxed{\ \ ナニ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}であり、立方体ABCD-EFGHの体積は\\
\boxed{\ \ ノハヒ\ \ }+\boxed{\ \ フヘ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ホマ\ \ }}である。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校２年生035〜軌跡(2)動点に連動して動く点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(2) 2つの動点を考える\\
定点O(0,0),\ A(1,1)と\\
円C:x^2+y^2=2\\
上を動く動点P(x,y)がある。\\
\triangle OAPの重心Gの軌跡を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(2) 2つの動点を考える\\
定点O(0,0),\ A(1,1)と\\
円C:x^2+y^2=2\\
上を動く動点P(x,y)がある。\\
\triangle OAPの重心Gの軌跡を求めよ。
\end{eqnarray}
福田の数学〜慶應義塾大学2021年医学部第３問〜見上げる角が等しい点の軌跡と２次曲線
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 水平な平面上の異なる2点A(0,1),Q(x,y)にそれぞれ高さh \gt 0,g \gt 0の塔が\\
平面に垂直に立っている。この平面上にあってA,Qとは異なる点Pから2つの\\
塔の先端を見上げる角度が等しくなる状況を考える。ただし、h ≠ gとする。\\
\\
(1)点Qの座標が(T,1) (ただしT \gt 0)のとき、2つの塔を見上げる角度が等しく\\
なるような点Pは、中心の座標が(\boxed{\ \ (あ)\ \ },\boxed{\ \ (い)\ \ })、半径が\boxed{\ \ (う)\ \ }の円周上にある。\\
\\
(2)2つの塔を見上げる角度が等しくなるような点Pのうち、y軸上にあるものが\\
ただ1つあるとする。このときhとgの間には不等式\boxed{\ \ (え)\ \ }が成り立ち、\\
点Q(x,y)は2直線y=\boxed{\ \ (お)\ \ }, y=\boxed{\ \ (か)\ \ }のいずれかの上にある。\\
\\
(3)2つの塔を見上げる角度が等しくなるような点Pのうち、x軸上にあるものが\\
ただ1つであるとする。このとき点Q(x,y)は方程式\\
\boxed{\ \ (き)\ \ }x^2+\boxed{\ \ (く)\ \ }x+\boxed{\ \ (け)\ \ }y^2+\boxed{\ \ (こ)\ \ }y=1\\
で表される2次曲線上Cの上にある。Cが楕円であるのはhとgの間に不等式\boxed{\ \ (さ)\ \ }\\
が成り立つときであり、そのときCの2つの焦点の座標は(\boxed{\ \ (し)\ \ },\boxed{\ \ (す)\ \ }),\\
(\boxed{\ \ (せ)\ \ },\boxed{\ \ (そ)\ \ })である。\boxed{\ \ (さ)\ \ }が成り立たないときCは双曲線となり、\\
その2つの焦点の座標は(\boxed{\ \ (た)\ \ },\boxed{\ \ (ち)\ \ }),(\boxed{\ \ (つ)\ \ },\boxed{\ \ (て)\ \ })である。\\
さらに\frac{h}{g}=\boxed{\ \ (と)\ \ }のときCは直角双曲線となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学医学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 水平な平面上の異なる2点A(0,1),Q(x,y)にそれぞれ高さh \gt 0,g \gt 0の塔が\\
平面に垂直に立っている。この平面上にあってA,Qとは異なる点Pから2つの\\
塔の先端を見上げる角度が等しくなる状況を考える。ただし、h ≠ gとする。\\
\\
(1)点Qの座標が(T,1) (ただしT \gt 0)のとき、2つの塔を見上げる角度が等しく\\
なるような点Pは、中心の座標が(\boxed{\ \ (あ)\ \ },\boxed{\ \ (い)\ \ })、半径が\boxed{\ \ (う)\ \ }の円周上にある。\\
\\
(2)2つの塔を見上げる角度が等しくなるような点Pのうち、y軸上にあるものが\\
ただ1つあるとする。このときhとgの間には不等式\boxed{\ \ (え)\ \ }が成り立ち、\\
点Q(x,y)は2直線y=\boxed{\ \ (お)\ \ }, y=\boxed{\ \ (か)\ \ }のいずれかの上にある。\\
\\
(3)2つの塔を見上げる角度が等しくなるような点Pのうち、x軸上にあるものが\\
ただ1つであるとする。このとき点Q(x,y)は方程式\\
\boxed{\ \ (き)\ \ }x^2+\boxed{\ \ (く)\ \ }x+\boxed{\ \ (け)\ \ }y^2+\boxed{\ \ (こ)\ \ }y=1\\
で表される2次曲線上Cの上にある。Cが楕円であるのはhとgの間に不等式\boxed{\ \ (さ)\ \ }\\
が成り立つときであり、そのときCの2つの焦点の座標は(\boxed{\ \ (し)\ \ },\boxed{\ \ (す)\ \ }),\\
(\boxed{\ \ (せ)\ \ },\boxed{\ \ (そ)\ \ })である。\boxed{\ \ (さ)\ \ }が成り立たないときCは双曲線となり、\\
その2つの焦点の座標は(\boxed{\ \ (た)\ \ },\boxed{\ \ (ち)\ \ }),(\boxed{\ \ (つ)\ \ },\boxed{\ \ (て)\ \ })である。\\
さらに\frac{h}{g}=\boxed{\ \ (と)\ \ }のときCは直角双曲線となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学医学部過去問
福田のわかった数学〜高校２年生034〜軌跡(1)アポロニウスの円
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(1) アポロ二ウスの円\\
点O(0,0)に高さ6の、A(10,0)に高さ4\\
の塔がxy平面に垂直に立っている。\\
xy平面上で2本の塔を見上げる角が\\
等しい点Pの軌跡を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(1) アポロ二ウスの円\\
点O(0,0)に高さ6の、A(10,0)に高さ4\\
の塔がxy平面に垂直に立っている。\\
xy平面上で2本の塔を見上げる角が\\
等しい点Pの軌跡を求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校２年生033〜知って得する平行・垂直条件(2)
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 知って得する平行・垂直条件(2)\\
直線l:ax+by+c=0\\
とl上にない点A(x_0,y_0)がある。\\
(1)Aを通りlに平行な直線を求めよ。\\
(2)Aを通りlに垂直な直線を求めよ。\\
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 知って得する平行・垂直条件(2)\\
直線l:ax+by+c=0\\
とl上にない点A(x_0,y_0)がある。\\
(1)Aを通りlに平行な直線を求めよ。\\
(2)Aを通りlに垂直な直線を求めよ。\\
\end{eqnarray}
福田の数学〜早稲田大学2021年人間科学部第４問〜領域における最大最小
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 不等式(x-6)^2+(y-4)^2 \leqq 4 の表す領域を点P(x,y)が動くものとする。\\
このとき、x^2+y^2の最大値は\boxed{\ \ タ\ \ }+\boxed{\ \ チ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ツ\ \ }}、\frac{y}{x}の最小値は\frac{\boxed{\ \ テ\ \ }-\sqrt{\boxed{\ \ ト\ \ }}}{\boxed{\ \ ナ\ \ }}、\\
x+yの最大値は\boxed{\ \ ニ\ \ }+\boxed{\ \ ヌ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ネ\ \ }} となる。
\end{eqnarray}
2021早稲田大学人間科学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 不等式(x-6)^2+(y-4)^2 \leqq 4 の表す領域を点P(x,y)が動くものとする。\\
このとき、x^2+y^2の最大値は\boxed{\ \ タ\ \ }+\boxed{\ \ チ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ツ\ \ }}、\frac{y}{x}の最小値は\frac{\boxed{\ \ テ\ \ }-\sqrt{\boxed{\ \ ト\ \ }}}{\boxed{\ \ ナ\ \ }}、\\
x+yの最大値は\boxed{\ \ ニ\ \ }+\boxed{\ \ ヌ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ネ\ \ }} となる。
\end{eqnarray}
2021早稲田大学人間科学部過去問
福田のわかった数学〜高校２年生032〜知って得する平行・垂直条件(1)
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 知って得する平行・垂直条件(1)\\
2直線\\
ax-y-a+1=0 \ldots①\\
(a+2)x-ay+2a=0 \ldots②\\
が次の条件を満たすとき、定数aの値を求めよ。\\
\\
(1)平行である (2)垂直である
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 知って得する平行・垂直条件(1)\\
2直線\\
ax-y-a+1=0 \ldots①\\
(a+2)x-ay+2a=0 \ldots②\\
が次の条件を満たすとき、定数aの値を求めよ。\\
\\
(1)平行である (2)垂直である
\end{eqnarray}
福田の数学〜早稲田大学2021年人間科学部第２問(1)〜指数対数不等式の表す領域の面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#指数関数と対数関数#軌跡と領域#指数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} (1)次の連立不等式の表す領域の面積は\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ カ\ \ }}}{\boxed{\ \ キ\ \ }} である。\\
\left\{\begin{array}{1}
\displaystyle\log_4y+\log_{\frac{1}{4}}(x-2)+\log_4\frac{1}{8-x} \geqq -1\\
2^{y+x^2+11} \leqq 1024^{x-1}\\
\end{array}\right.
\end{eqnarray}
2021早稲田大学人間科学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} (1)次の連立不等式の表す領域の面積は\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ カ\ \ }}}{\boxed{\ \ キ\ \ }} である。\\
\left\{\begin{array}{1}
\displaystyle\log_4y+\log_{\frac{1}{4}}(x-2)+\log_4\frac{1}{8-x} \geqq -1\\
2^{y+x^2+11} \leqq 1024^{x-1}\\
\end{array}\right.
\end{eqnarray}
2021早稲田大学人間科学部過去問
福田のわかった数学〜高校２年生031〜円と放物線の位置関係(3)
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 円と放物線の位置関係(3)\\
\left\{\begin{array}{1}
円\ x^2+(y-a)^2=r^2 (a \gt 0,r \gt 0) \ldots①\\
放物線\ y=\displaystyle\frac{1}{2}x^2 \ldots②\\
\end{array}\right.\\
が次の条件を満たすときaの範囲、rをaで表せ。\\
\\
(1)原点Oで接し、かつ他に共有点を持たない。\\
(2)異なる2点で接する。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 円と放物線の位置関係(3)\\
\left\{\begin{array}{1}
円\ x^2+(y-a)^2=r^2 (a \gt 0,r \gt 0) \ldots①\\
放物線\ y=\displaystyle\frac{1}{2}x^2 \ldots②\\
\end{array}\right.\\
が次の条件を満たすときaの範囲、rをaで表せ。\\
\\
(1)原点Oで接し、かつ他に共有点を持たない。\\
(2)異なる2点で接する。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校２年生030〜円と放物線の位置関係(2)
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 円と放物線の位置関係(2)\\
\\
\left\{\begin{array}{1}
円\ x^2+(y-r)^2=r^2 (r \gt 0)\\
放物線\ y=x^2
\end{array}\right.\\
\\
の共有点が原点のみとなるrの範囲
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 円と放物線の位置関係(2)\\
\\
\left\{\begin{array}{1}
円\ x^2+(y-r)^2=r^2 (r \gt 0)\\
放物線\ y=x^2
\end{array}\right.\\
\\
の共有点が原点のみとなるrの範囲
\end{eqnarray}
【数Ⅱ】図形と方程式：5分で学ぶファクシミリ論法
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
教材：
#チャート式#黄チャートⅡ・B#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
ファクシミリ論法を5分で解説！
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ファクシミリ論法を5分で解説！
福田のわかった数学〜高校２年生029〜円と放物線の位置関係(1)
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 円と放物線の位置関係(1)\\
\left\{\begin{array}{1}
円\ x^2+y^2=r^2 (r \gt 0)\\
放物線\ y=x^2-1
\end{array}\right.\\
\\
の共有点の個数を調べよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 円と放物線の位置関係(1)\\
\left\{\begin{array}{1}
円\ x^2+y^2=r^2 (r \gt 0)\\
放物線\ y=x^2-1
\end{array}\right.\\
\\
の共有点の個数を調べよ。
\end{eqnarray}
福田の数学〜早稲田大学2021年教育学部第３問〜グラフの通過範囲とx固定法
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 実数aが0 \leqq a \leqq 1を満たしながら動くとき、座標平面において3次関数\\
y=x^3-2ax+a^2 (0 \leqq x \leqq 1)のグラフが通過する領域をAとする。このとき、\\
次の問いに答えよ。\\
(1)直線x=\frac{1}{2}とAの共通部分に属する点のy座標の取り得る範囲を求めよ。\\
(2)Aに属する点のy座標の最小値を求めよ。\\
(3)Aの面積を求めよ。
\end{eqnarray}
2021早稲田大学教育学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 実数aが0 \leqq a \leqq 1を満たしながら動くとき、座標平面において3次関数\\
y=x^3-2ax+a^2 (0 \leqq x \leqq 1)のグラフが通過する領域をAとする。このとき、\\
次の問いに答えよ。\\
(1)直線x=\frac{1}{2}とAの共通部分に属する点のy座標の取り得る範囲を求めよ。\\
(2)Aに属する点のy座標の最小値を求めよ。\\
(3)Aの面積を求めよ。
\end{eqnarray}
2021早稲田大学教育学部過去問
福田のわかった数学〜高校２年生028〜定点通過（直線群、円群）
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 定点通過(直線群・円群)\\
放物線y=x^2+5x-4 と\\
y=-x^2+ax+2 の2つの交点を\\
通る直線をlとする。lが点(2,3)を\\
通るときaの値とlの方程式を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 定点通過(直線群・円群)\\
放物線y=x^2+5x-4 と\\
y=-x^2+ax+2 の2つの交点を\\
通る直線をlとする。lが点(2,3)を\\
通るときaの値とlの方程式を求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校２年生027〜定点通過（直線群、円群）
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 定点通過(直線群・円群)\\
2つの円\ x^2+y^2-4x-2y=0 \ldots①\\
x^2+y^2-x+y-6=0 \ldots②\\
の交点をA,Bとするとき、次を求めよ。\\
(1)直線AB (2)A,B,(6,0)を通る円
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 定点通過(直線群・円群)\\
2つの円\ x^2+y^2-4x-2y=0 \ldots①\\
x^2+y^2-x+y-6=0 \ldots②\\
の交点をA,Bとするとき、次を求めよ。\\
(1)直線AB (2)A,B,(6,0)を通る円
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校２年生026〜円が直線から切り取る弦の長さ
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 円が直線から切り取る弦の長さ
円$x^2+y^2=13$ が直線
$kx+2y-4k=0$
から切り取る弦の長さが$2\sqrt5$であるとき、
定数kの値を求めよ。
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数学$\textrm{II}$ 円が直線から切り取る弦の長さ
円$x^2+y^2=13$ が直線
$kx+2y-4k=0$
から切り取る弦の長さが$2\sqrt5$であるとき、
定数kの値を求めよ。
福田のわかった数学〜高校２年生025〜2つの円の位置関係
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 2つの円の位置関係
円$C_1:x^2+y^2=1$
円$C_2:x^2+y^2-6x+8y+k=0$
が接するとき、定数$k$の値と接点の座標を求めよ。
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数学$\textrm{II}$ 2つの円の位置関係
円$C_1:x^2+y^2=1$
円$C_2:x^2+y^2-6x+8y+k=0$
が接するとき、定数$k$の値と接点の座標を求めよ。
福田のわかった数学〜高校２年生024〜2つの円の共通接線の求め方
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 2つの円の共通接線
円$C_1:(x-1)^2+y^2=1$
円$C_2:(x-4)^2+y^2=4$
の共通接線の方程式を求めよ。
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数学$\textrm{II}$ 2つの円の共通接線
円$C_1:(x-1)^2+y^2=1$
円$C_2:(x-4)^2+y^2=4$
の共通接線の方程式を求めよ。
福田のわかった数学〜高校２年生023〜円の外部から引いた接線の求め方
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#微分法と積分法#円と方程式#接線と増減表・最大値・最小値#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 円と接線
点$A(2,4)$から
円$C:(x+2)^2+(y-2)^2=10$
へ引いた接線の方程式を求めよ。
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数学$\textrm{II}$ 円と接線
点$A(2,4)$から
円$C:(x+2)^2+(y-2)^2=10$
へ引いた接線の方程式を求めよ。
福田のわかった数学〜高校２年生022〜円の外部から引いた接線の求め方
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 円の方程式
円$C:x^2+y^2=4$ の接線で$(2,3)$を通るものと
そのときの接点を次の3通りの方法で求めよ。
(1)接線の公式$x_1x+y_1=r^2$ を利用
(2)点と直線の距離の公式を利用
(3)判別式を利用
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数学$\textrm{II}$ 円の方程式
円$C:x^2+y^2=4$ の接線で$(2,3)$を通るものと
そのときの接点を次の3通りの方法で求めよ。
(1)接線の公式$x_1x+y_1=r^2$ を利用
(2)点と直線の距離の公式を利用
(3)判別式を利用
福田のわかった数学〜高校２年生021〜円の接線と極線に関するまとめ
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 円の方程式
円$C:x^2+y^2=r^2$と点$P(x_1,y_1)$に対して
$x_1x+y_1y=r^2$
は次のそれぞれの場合にどんな直線か。
(1)点$P$が$C$上 (2)点$P$が$C$の外部
(3)点$P$が$C$の内部、ただし原点を除く
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数学$\textrm{II}$ 円の方程式
円$C:x^2+y^2=r^2$と点$P(x_1,y_1)$に対して
$x_1x+y_1y=r^2$
は次のそれぞれの場合にどんな直線か。
(1)点$P$が$C$上 (2)点$P$が$C$の外部
(3)点$P$が$C$の内部、ただし原点を除く
福田のわかった数学〜高校２年生020〜円の極線の公式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#図形と方程式#恒等式・等式・不等式の証明#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 円の方程式
円$x^2+y^2=r^2$と円の内部の点$(a,b)$に対して
$ax+by=r^2$
はどんな直線を表すか説明せよ。
ただし、$(a,b)≠(0,0)$とする。
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数学$\textrm{II}$ 円の方程式
円$x^2+y^2=r^2$と円の内部の点$(a,b)$に対して
$ax+by=r^2$
はどんな直線を表すか説明せよ。
ただし、$(a,b)≠(0,0)$とする。
福田のわかった数学〜高校２年生019〜円の極線の公式の証明
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 円の方程式
円$x^2+y^2=r^2$ に円外の点$(a,b)$から
2本の接線を引く。
このとき2接点$P,Q$を結ぶ直線は
$ax+by=r^2$
となることを証明せよ。
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数学$\textrm{II}$ 円の方程式
円$x^2+y^2=r^2$ に円外の点$(a,b)$から
2本の接線を引く。
このとき2接点$P,Q$を結ぶ直線は
$ax+by=r^2$
となることを証明せよ。
福田のわかった数学〜高校２年生018〜円の接線の公式の証明
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
円 $\ x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(a,b)$における接線は $ax +by=r^2 $
となることを証明せよ。
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円 $\ x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(a,b)$における接線は $ax +by=r^2 $
となることを証明せよ。
福田のわかった数学〜高校２年生017〜折れ線の長さの最小値2
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 直線の方程式
原点中心,半径$r$の円$C$上に2点$A,B$を、
$\theta=\angle AOB \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$となるようにとり、劣弧$AB$
上に点$R$,線分$OA,OB$上にそれぞれ$P,Q$をとる。
$PQ+QR+RP$の最小値を$r,\theta$で表せ。
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数学$\textrm{II}$ 直線の方程式
原点中心,半径$r$の円$C$上に2点$A,B$を、
$\theta=\angle AOB \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$となるようにとり、劣弧$AB$
上に点$R$,線分$OA,OB$上にそれぞれ$P,Q$をとる。
$PQ+QR+RP$の最小値を$r,\theta$で表せ。
福田のわかった数学〜高校２年生016〜折れ線の長さの最小値
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 直線の方程式
2点$A(5,1),B(2,8)$と$x$軸上、$y$軸上に
それぞれ2点$P,Q$がある。
$AP+PQ+QB$を最小にする点$P,Q$は?
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数学$\textrm{II}$ 直線の方程式
2点$A(5,1),B(2,8)$と$x$軸上、$y$軸上に
それぞれ2点$P,Q$がある。
$AP+PQ+QB$を最小にする点$P,Q$は?