図形と方程式
図形と方程式
よく出る問題！放物線と直線が接するということは？【数学 入試問題】【京都大学】
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#図形と方程式#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
放物線$y=ax^2+bx+c$が3直線$y=x,y=2x-1,y=3x-3$のすべてと接するとき、$a,b,c$の値を求めよ。
京都大過去問
この動画を見る
放物線$y=ax^2+bx+c$が3直線$y=x,y=2x-1,y=3x-3$のすべてと接するとき、$a,b,c$の値を求めよ。
京都大過去問
対頂角が等しいのはなぜ？ 気付けば一瞬
福田の入試問題解説〜慶應義塾大学2022年理工学部第２問〜連立不等式の表す領域の面積と回転体の体積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$r$を正の実数とし、円$C_1:(x-2)^2+y^2=r^2$、楕円$C_2:\frac{x^2}{9}+y^2=1$を考える。
(1)円$C_1$と楕円$C_2$の共有点が存在するようなrの値の範囲は$\boxed{\ \ カ\ \ } \leqq r \leqq \boxed{\ \ キ\ \ }$である。
(2)$r=1$のとき、$C_1$と$C_2$の共有点の座標を全て求めると$\boxed{\ \ ク\ \ }$である。
これらの共有点のうちy座標が正となる点のy座標を$y_0$とする。連立不等式
$\left\{\begin{array}{1}
(x-2)^2+y^2 \leqq 1\\
0 \leqq y \leqq y_0\\
\end{array}\right.$
の表す領域の面積は$\boxed{\ \ ケ\ \ }$である。
(3)連立不等式
$\left\{\begin{array}{1}
(x-2)^2+y^2 \leqq 1\\
\displaystyle\frac{x^2}{9}+y^2 \geqq 1\\
y \geqq 0\\
\end{array}\right.$
の表す領域をDとする。Dをy軸のまわりに
1回転させてできる立体の体積は$\boxed{\ \ コ\ \ }$である。
2022慶應義塾大学理工学部過去問
この動画を見る
$r$を正の実数とし、円$C_1:(x-2)^2+y^2=r^2$、楕円$C_2:\frac{x^2}{9}+y^2=1$を考える。
(1)円$C_1$と楕円$C_2$の共有点が存在するようなrの値の範囲は$\boxed{\ \ カ\ \ } \leqq r \leqq \boxed{\ \ キ\ \ }$である。
(2)$r=1$のとき、$C_1$と$C_2$の共有点の座標を全て求めると$\boxed{\ \ ク\ \ }$である。
これらの共有点のうちy座標が正となる点のy座標を$y_0$とする。連立不等式
$\left\{\begin{array}{1}
(x-2)^2+y^2 \leqq 1\\
0 \leqq y \leqq y_0\\
\end{array}\right.$
の表す領域の面積は$\boxed{\ \ ケ\ \ }$である。
(3)連立不等式
$\left\{\begin{array}{1}
(x-2)^2+y^2 \leqq 1\\
\displaystyle\frac{x^2}{9}+y^2 \geqq 1\\
y \geqq 0\\
\end{array}\right.$
の表す領域をDとする。Dをy軸のまわりに
1回転させてできる立体の体積は$\boxed{\ \ コ\ \ }$である。
2022慶應義塾大学理工学部過去問
福田の数学〜筑波大学2022年理系第６問〜複素数平面上の点の軌跡と最小値
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$i$は虚数単位とする。次の条件$(\textrm{I}),(\textrm{II})$のどちらも満たす複素数z全体の集合を
Sとする。
$(\textrm{I})z$の虚部は正である。
$(\textrm{II})$複素数平面上の点$A(1),B(1-iz),C(z^2)$は一直線上にある。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)1でない複素数$\alpha$について、$\alpha$の虚部が正であることは、$\frac{1}{\alpha-1}$の虚部が
負であるための必要十分条件であることを示せ。
(2)集合Sを複素数平面上に図示せよ。
(3)$w=\frac{1}{z-1}$とする。zがSを動くとき、$|w+\frac{i}{\sqrt2}|$の最小値を求めよ。
2022筑波大学理系過去問
この動画を見る
$i$は虚数単位とする。次の条件$(\textrm{I}),(\textrm{II})$のどちらも満たす複素数z全体の集合を
Sとする。
$(\textrm{I})z$の虚部は正である。
$(\textrm{II})$複素数平面上の点$A(1),B(1-iz),C(z^2)$は一直線上にある。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)1でない複素数$\alpha$について、$\alpha$の虚部が正であることは、$\frac{1}{\alpha-1}$の虚部が
負であるための必要十分条件であることを示せ。
(2)集合Sを複素数平面上に図示せよ。
(3)$w=\frac{1}{z-1}$とする。zがSを動くとき、$|w+\frac{i}{\sqrt2}|$の最小値を求めよ。
2022筑波大学理系過去問
福田の数学〜東京医科歯科大学2022年理系第２問〜放物線に反射する直線の方程式と面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#三角関数#微分法と積分法#点と直線#円と方程式#微分とその応用#積分とその応用#接線と法線・平均値の定理#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#数学(高校生)#数Ⅲ#東京医科歯科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$xy$平面上の放物線$P:y^2=4x$上に異なる2点A,Bをとり、A,Bそれぞれに
おいてPへの接線と直交する直線を$n_A,\ n_B$とする。aを正の数として、点Aの座標
を$(a,\ \sqrt{4a})$とするとき、以下の各問いに答えよ。
(1)$\ n_A$の方程式を求めよ。
(2)直線ABと直線$y=\sqrt{4a}$とがなす角の2等分線の一つが、$n_A$に一致する
とき、直線ABの方程式をaを用いて表せ。
(3)(2)のとき、点Bを通る直線$r_B$を考える。$r_B$と直線ABとがなす角の
2等分線の一つが、$n_B$に一致するとき、$r_B$の方程式をaを用いて表せ。
(4)(3)のとき、直線ABと放物線Pで囲まれた図形の面積をS_1とし、Pと直線\\
$y=\sqrt{4a}$、直線$x=-1$および(3)の$r_B$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする。
aを変化させたとき、$\frac{S_1}{S_2}$の最大値を求めよ。
2022東京医科歯科大学理系過去問
この動画を見る
$xy$平面上の放物線$P:y^2=4x$上に異なる2点A,Bをとり、A,Bそれぞれに
おいてPへの接線と直交する直線を$n_A,\ n_B$とする。aを正の数として、点Aの座標
を$(a,\ \sqrt{4a})$とするとき、以下の各問いに答えよ。
(1)$\ n_A$の方程式を求めよ。
(2)直線ABと直線$y=\sqrt{4a}$とがなす角の2等分線の一つが、$n_A$に一致する
とき、直線ABの方程式をaを用いて表せ。
(3)(2)のとき、点Bを通る直線$r_B$を考える。$r_B$と直線ABとがなす角の
2等分線の一つが、$n_B$に一致するとき、$r_B$の方程式をaを用いて表せ。
(4)(3)のとき、直線ABと放物線Pで囲まれた図形の面積をS_1とし、Pと直線\\
$y=\sqrt{4a}$、直線$x=-1$および(3)の$r_B$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする。
aを変化させたとき、$\frac{S_1}{S_2}$の最大値を求めよ。
2022東京医科歯科大学理系過去問
福田の数学〜千葉大学2022年理系第３問〜折り返された放物線と直線の交点の個数と囲まれる面積の最小
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
次の問いに答えよ。
(1)aを実数とする。$y=ax$のグラフと$y=x|x-2|$のグラフの交点の個数が
最大となる$a$の範囲を求めよ。
(2)$0 \leqq a \leqq 2$とする。$S(a)$を$y=ax$のグラフと$y=x|x-2|$のグラフで
囲まれる図形の面積とする。$S(a)$をaの式で表せ。
(3)(2)で求めた$S(a)$を最小にするaの値を求めよ。
2022千葉大学理系過去問
この動画を見る
次の問いに答えよ。
(1)aを実数とする。$y=ax$のグラフと$y=x|x-2|$のグラフの交点の個数が
最大となる$a$の範囲を求めよ。
(2)$0 \leqq a \leqq 2$とする。$S(a)$を$y=ax$のグラフと$y=x|x-2|$のグラフで
囲まれる図形の面積とする。$S(a)$をaの式で表せ。
(3)(2)で求めた$S(a)$を最小にするaの値を求めよ。
2022千葉大学理系過去問
福田の数学〜神戸大学2022年文系第２問〜円が切り取る弦の中点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#円と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
aを正の実数とし、円$x^2+y^2=1$と直線$y=\sqrt ax-2\sqrt a$が異なる2点P,Q
で交わっているとする。線分PQの中点をR(s,t)とする。以下の問いに答えよ。
(1)aの取りうる値の範囲を求めよ。
(2)$s,t$の値をaを用いて表せ。
(3)aが(1)で求めた範囲を動くときにsのとりうる値の範囲を求めよ。
(4)tの値をsを用いて表せ。
2022神戸大学文系過去問
この動画を見る
aを正の実数とし、円$x^2+y^2=1$と直線$y=\sqrt ax-2\sqrt a$が異なる2点P,Q
で交わっているとする。線分PQの中点をR(s,t)とする。以下の問いに答えよ。
(1)aの取りうる値の範囲を求めよ。
(2)$s,t$の値をaを用いて表せ。
(3)aが(1)で求めた範囲を動くときにsのとりうる値の範囲を求めよ。
(4)tの値をsを用いて表せ。
2022神戸大学文系過去問
福田の数学〜神戸大学2022年理系第４問〜双曲線が直線から切り取る弦の中点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#図形と方程式#点と直線#軌跡と領域#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
aを正の実数とし、双曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$と直線$y=\sqrt ax+\sqrt a$が異なる2点P,Q
で交わっているとする。線分PQの中点をR(s,t)とする。以下の問いに答えよ。
(1)aの取りうる値の範囲を求めよ。
(2)s,tの値をaを用いて表せ。
(3)aが(1)で求めた範囲を動くときにsのとりうる値の範囲を求めよ。
(4)tの値をsを用いて表せ。
2022神戸大学理系過去問
この動画を見る
aを正の実数とし、双曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$と直線$y=\sqrt ax+\sqrt a$が異なる2点P,Q
で交わっているとする。線分PQの中点をR(s,t)とする。以下の問いに答えよ。
(1)aの取りうる値の範囲を求めよ。
(2)s,tの値をaを用いて表せ。
(3)aが(1)で求めた範囲を動くときにsのとりうる値の範囲を求めよ。
(4)tの値をsを用いて表せ。
2022神戸大学理系過去問
【数学IIB】図形と方程式まとめ（内分外分、直線の方程式、円の方程式、平行移動）
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#円と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】
問題文全文(内容文)：
中心（1,4）、半径3の円の方程式は？
この動画を見る
中心（1,4）、半径3の円の方程式は？
【良問】数IIの知識で解けます【山形大学】【数学 入試問題】
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#三角関数#点と直線#円と方程式#加法定理とその応用#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#山形大学#数Ⅲ
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$T=\dfrac{sin\theta cos\theta}{1+sin^2\theta}$とする。
$\theta$が$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$の範囲を動くとき、$T$の最大値を求めよ。
山形大過去問
この動画を見る
$T=\dfrac{sin\theta cos\theta}{1+sin^2\theta}$とする。
$\theta$が$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$の範囲を動くとき、$T$の最大値を求めよ。
山形大過去問
福田の数学〜大阪大学2022年理系第３問〜線分の通過範囲
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正の実数tに対し、座標平面上の2点$P(0,t)$と$Q(\frac{1}{t},0)$を考える。
tが$1 \leqq t \leqq 2$の範囲を動くとき、座標平面内で線分PQが通過する部分を図示せよ。
2022大阪大学理系過去問
この動画を見る
正の実数tに対し、座標平面上の2点$P(0,t)$と$Q(\frac{1}{t},0)$を考える。
tが$1 \leqq t \leqq 2$の範囲を動くとき、座標平面内で線分PQが通過する部分を図示せよ。
2022大阪大学理系過去問
福田の数学〜一橋大学2022年文系第４問〜立方体の内部の点と結んだ線分の通過範囲
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
tを実数とし、座標空間に点$A(t-1,t,t+1)$をとる。また、(0,0,0),(1,0,0),
(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)を頂点とする立方体を
Dとする。点PがDの内部及びすべての面上を動くとき、線分APの動く範囲を
Wとし、Wの体積をf(t)とする。
(1)f(-1)を求めよ。
(2)f(t)のグラフを描き、f(t)の最小値を求めよ。
2022一橋大学文系過去問
この動画を見る
tを実数とし、座標空間に点$A(t-1,t,t+1)$をとる。また、(0,0,0),(1,0,0),
(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)を頂点とする立方体を
Dとする。点PがDの内部及びすべての面上を動くとき、線分APの動く範囲を
Wとし、Wの体積をf(t)とする。
(1)f(-1)を求めよ。
(2)f(t)のグラフを描き、f(t)の最小値を求めよ。
2022一橋大学文系過去問
福田の数学〜一橋大学2022年文系第３問〜同値関係の証明と不等式の表す領域
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#式と証明#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#図形と方程式#恒等式・等式・不等式の証明#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
次の問いに答えよ。
(1)実数x,yについて、$「|x-y| \leqq x+y」$であることの必要十分条件は
「$x \geqq 0$かつ$y \geqq 0$ 」であることを示せ。
(2)次の不等式で定まるxy平面上の領域を図示せよ。
$|1+y-2x^2-y^2| \leqq 1-y-y^2$
2022一橋大学文系過去問
この動画を見る
次の問いに答えよ。
(1)実数x,yについて、$「|x-y| \leqq x+y」$であることの必要十分条件は
「$x \geqq 0$かつ$y \geqq 0$ 」であることを示せ。
(2)次の不等式で定まるxy平面上の領域を図示せよ。
$|1+y-2x^2-y^2| \leqq 1-y-y^2$
2022一橋大学文系過去問
福田の数学〜大阪大学2022年理系第１問〜複素数平面上の点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
rを正の実数とする。
複素数平面上で点Zが点3/2を中心とする半径rの円周上を動くとき、
$Z+w=Zw$
を満たす点wが描く図形を求めよ。
2022大阪大学理系過去問
この動画を見る
rを正の実数とする。
複素数平面上で点Zが点3/2を中心とする半径rの円周上を動くとき、
$Z+w=Zw$
を満たす点wが描く図形を求めよ。
2022大阪大学理系過去問
【数Ⅱ】領域内の点の最大値・最小値【具体例を作って方針を立てよう】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
不等式$x^2+y^2 \leqq 9$,$y \geqq \dfrac{1}{3}x-1$で表される領域をDとする.
領域D内の点$(x,y)$について,-$x+y$の最大値･最小値を求めよ.
この動画を見る
不等式$x^2+y^2 \leqq 9$,$y \geqq \dfrac{1}{3}x-1$で表される領域をDとする.
領域D内の点$(x,y)$について,-$x+y$の最大値･最小値を求めよ.
福田の数学〜東北大学2022年文系第３問〜領域における最大
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
a,bを正の実数とし、xy平面上の直線$l:ax;by-2=0$を考える。
(1)直線lと原点の距離が2以上であり、直線lと直線x=1の交点のy座標が
2以上であるような点(a,b)の取りうる範囲Dを求め、ab平面上に図示せよ。
(2)点(a,b)が(1)で求めた領域Dを動くとする。このとき、
$3a+2b$を最大にするa,bの値と$3a+2b$の最大値を求めよ。
2022東北大学文系過去問
この動画を見る
a,bを正の実数とし、xy平面上の直線$l:ax;by-2=0$を考える。
(1)直線lと原点の距離が2以上であり、直線lと直線x=1の交点のy座標が
2以上であるような点(a,b)の取りうる範囲Dを求め、ab平面上に図示せよ。
(2)点(a,b)が(1)で求めた領域Dを動くとする。このとき、
$3a+2b$を最大にするa,bの値と$3a+2b$の最大値を求めよ。
2022東北大学文系過去問
【数Ⅱ】三角形の重心の軌跡【除外点に注意しよう】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
点Qが円$x^2+y^2=9$上を動くとき,
点$A(4,0)$と点Qを結ぶ線分AQの中点Pの軌跡を求めよ.
この動画を見る
点Qが円$x^2+y^2=9$上を動くとき,
点$A(4,0)$と点Qを結ぶ線分AQの中点Pの軌跡を求めよ.
福田の数学〜東京工業大学2022年理系第３問〜直角三角形の頂点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\alphaは0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}$を満たす実数とする。
$\angle A=\alpha$および$\angle P=\frac{\pi}{2}$を満たす直角三角形APB
が、次の2つの条件$(\textrm{a}),(\textrm{b})$を満たしながら、時刻t=0から時刻$t=\frac{\pi}{2}$まで
xy平面上を動くとする。
$(\textrm{a})$時刻tでの点A,Bの座標は、それぞれ$A(\sin t,0),B(0, \cos t)$である。
$(\textrm{b})$点Pは第一象限内にある。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)点Pはある直線上を動くことを示し、その直線の方程式を$\alpha$を用いて表せ。
(2)時刻$t=0$から時刻$t=\frac{\pi}{2}$までの間に点Pが動く道のりを$\alpha$を用いて表せ。
(3)xy平面内において、連立不等式
$x^2-x+y^2 \lt 0, x^2+y^2-y \lt 0$
により定まる領域をDとする。このとき、点Pは領域Dには入らないことを示せ。
2022東京工業大学理系過去問
この動画を見る
$\alphaは0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}$を満たす実数とする。
$\angle A=\alpha$および$\angle P=\frac{\pi}{2}$を満たす直角三角形APB
が、次の2つの条件$(\textrm{a}),(\textrm{b})$を満たしながら、時刻t=0から時刻$t=\frac{\pi}{2}$まで
xy平面上を動くとする。
$(\textrm{a})$時刻tでの点A,Bの座標は、それぞれ$A(\sin t,0),B(0, \cos t)$である。
$(\textrm{b})$点Pは第一象限内にある。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)点Pはある直線上を動くことを示し、その直線の方程式を$\alpha$を用いて表せ。
(2)時刻$t=0$から時刻$t=\frac{\pi}{2}$までの間に点Pが動く道のりを$\alpha$を用いて表せ。
(3)xy平面内において、連立不等式
$x^2-x+y^2 \lt 0, x^2+y^2-y \lt 0$
により定まる領域をDとする。このとき、点Pは領域Dには入らないことを示せ。
2022東京工業大学理系過去問
【数Ⅱ】軌跡の基本 アポロニウスの円【書き方と意味を理解しよう】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
$ 点A(-1,0),点B(2,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求めよ.$
この動画を見る
$ 点A(-1,0),点B(2,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求めよ.$
福田の数学〜京都大学2022年文系第４問〜線分の中点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
a,bを正の実数とする。直線$L:ax+by=1$と曲線$y=-\frac{1}{x}$との2つの交点
のうち、y座標が正のものをP、負のものをQとする。また、Lとx軸との交点を
Rとし、Lとy軸との交点をSとする。a,bが条件
$\frac{PQ}{RS}=\sqrt2$
を満たしながら動くとき、線分PQの中点の軌跡を求めよ。
2022京都大学文系過去問
この動画を見る
a,bを正の実数とする。直線$L:ax+by=1$と曲線$y=-\frac{1}{x}$との2つの交点
のうち、y座標が正のものをP、負のものをQとする。また、Lとx軸との交点を
Rとし、Lとy軸との交点をSとする。a,bが条件
$\frac{PQ}{RS}=\sqrt2$
を満たしながら動くとき、線分PQの中点の軌跡を求めよ。
2022京都大学文系過去問
【数Ⅱ】2つの円の位置関係・交点を通る直線または円の方程式【知らないと解けない知識問題】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
$ 2円x^2+y^2-10=0,x^2+y^2+2x-2y-6=0が2点で交わることを示せ.$
この動画を見る
$ 2円x^2+y^2-10=0,x^2+y^2+2x-2y-6=0が2点で交わることを示せ.$
【数Ⅱ】円外の点から引いた接線【頻出問題 4S数学問題集で解く】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
$ 点(3,1)を通り,円x^2+y^2=5に接する直線の方程式を求めよ.$
この動画を見る
$ 点(3,1)を通り,円x^2+y^2=5に接する直線の方程式を求めよ.$
福田の入試問題解説〜北海道大学2022年理系第５問〜複素数平面上の点の軌跡とドモアブルの定理
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
複素数zに関する次の2つの方程式を考える。ただし、$\bar{ z }$はzと共役な複素数とし、
iを虚数単位とする。
$z\bar{ z }=4 \ldots\ldots$① $|z|=|z-\sqrt3+i| \ldots\ldots②$
(1)①、②それぞれの方程式について、その解z全体が表す図形を複素数平面上に
図示せよ。
(2)①、②の共通解となる複素数を全て求めよ。
(3)(2)で求めた全ての複素数の積をwとおく。このとき$w^n$が負の実数となる
ための整数nの必要十分条件を求めよ。
2022北海道大学理系過去問
この動画を見る
複素数zに関する次の2つの方程式を考える。ただし、$\bar{ z }$はzと共役な複素数とし、
iを虚数単位とする。
$z\bar{ z }=4 \ldots\ldots$① $|z|=|z-\sqrt3+i| \ldots\ldots②$
(1)①、②それぞれの方程式について、その解z全体が表す図形を複素数平面上に
図示せよ。
(2)①、②の共通解となる複素数を全て求めよ。
(3)(2)で求めた全ての複素数の積をwとおく。このとき$w^n$が負の実数となる
ための整数nの必要十分条件を求めよ。
2022北海道大学理系過去問
福田の入試問題解説〜北海道大学2022年理系第３問〜指数不等式の領域が表す面積の最小
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)連立不等式$x \geqq 2, 2^x \leqq x^y \leqq x^2$の表す領域をxy平面上に図示せよ。
ただし、自然対数の底eが$2 \lt e \lt 3$を満たすことを用いてよい。
(2)$a \gt 0$に対して、連立不等式$2 \leqq x \leqq 6, (x^y-2^x)(x^a-x^y) \geqq 0$
の表すxy平面上の領域の面積をS(a)とする。
$S(a)$を最小にするaの値を求めよ。
2022北海道大学理系過去問
この動画を見る
以下の問いに答えよ。
(1)連立不等式$x \geqq 2, 2^x \leqq x^y \leqq x^2$の表す領域をxy平面上に図示せよ。
ただし、自然対数の底eが$2 \lt e \lt 3$を満たすことを用いてよい。
(2)$a \gt 0$に対して、連立不等式$2 \leqq x \leqq 6, (x^y-2^x)(x^a-x^y) \geqq 0$
の表すxy平面上の領域の面積をS(a)とする。
$S(a)$を最小にするaの値を求めよ。
2022北海道大学理系過去問
【数Ⅱ】円の接線【流れを覚えて自分で導出する】
【数Ⅱ】円を表す方程式【図形と方程式の関係】
福田の入試問題解説〜東京大学2022年理系第３問〜点の存在する条件と領域の面積
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
Oを原点とする座標平面上で考える。座標平面上の2点$S(x_1,y_1),T(x_2,y_2)$
に対し、点Sが点Tから十分離れているとは、
$|x_1-x_2| \geqq 1$ または $|y_1-y_2| \geqq 1$
が成り立つことと定義する。
不等式
$0 \leqq x \leqq 3, 0 \leqq y \leqq 3$
が表す正方形の領域をDとし、その2つの頂点A(3,0), B(3,3)を考える。
さらに、次の条件$(\textrm{i}),(\textrm{ii})$を共に満たす点Pをとる。
$(\textrm{i})$点Pは領域Dの点であり、かつ、放物線$y=x^2$上にある。
$(\textrm{ii})$点Pは、3点O,A,Bのいずれからも十分離れている。
点Pのx座標をaとする。
(1)aのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)次の条件$(\textrm{iii}),(\textrm{iv})$をともに満たす点Qが存在しうる範囲の面積f(a)を求めよ。
$(\textrm{iii})$点Qは領域Dの点である。
$(\textrm{iv})$点Qは、4点O,A,B,Pのいずれからも十分離れている。
(3)aは(1)で求めた範囲を動くとする。(2)のf(a)を最小にするaの値を求めよ。
2022東京大学理系過去問
この動画を見る
Oを原点とする座標平面上で考える。座標平面上の2点$S(x_1,y_1),T(x_2,y_2)$
に対し、点Sが点Tから十分離れているとは、
$|x_1-x_2| \geqq 1$ または $|y_1-y_2| \geqq 1$
が成り立つことと定義する。
不等式
$0 \leqq x \leqq 3, 0 \leqq y \leqq 3$
が表す正方形の領域をDとし、その2つの頂点A(3,0), B(3,3)を考える。
さらに、次の条件$(\textrm{i}),(\textrm{ii})$を共に満たす点Pをとる。
$(\textrm{i})$点Pは領域Dの点であり、かつ、放物線$y=x^2$上にある。
$(\textrm{ii})$点Pは、3点O,A,Bのいずれからも十分離れている。
点Pのx座標をaとする。
(1)aのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)次の条件$(\textrm{iii}),(\textrm{iv})$をともに満たす点Qが存在しうる範囲の面積f(a)を求めよ。
$(\textrm{iii})$点Qは領域Dの点である。
$(\textrm{iv})$点Qは、4点O,A,B,Pのいずれからも十分離れている。
(3)aは(1)で求めた範囲を動くとする。(2)のf(a)を最小にするaの値を求めよ。
2022東京大学理系過去問
福田の数学〜東京慈恵会医科大学2022年医学部第４問〜複素数平面と図形
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#平面上の曲線#複素数平面#方べきの定理と２つの円の関係#図形と方程式#点と直線#2次曲線#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#東京慈恵会医科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
複素数平面上の点zが原点を中心とする半径1の円周上を動くとき、$w=z+\frac{2}{z}$
で表される点wの描く図形をCとする。Cで囲まれた部分の内部(ただし、
境界線は含まない)に定点$\alpha$をとり、$\alpha$を通る直線lがCと交わる2点を$\beta_1,\beta_2$とする。
(1)$w=u+vi$(u,vは実数)とするとき、uとvの間に成り立つ関係式を求めよ。
(2)点$\alpha$を固定したままlを動かすとき、積$|\beta_1-\alpha|・|\beta_2-\alpha|$が最大となる
ようなlはどのような直線のときか調べよ。
2022東京慈恵会医科大学医学部過去問
この動画を見る
複素数平面上の点zが原点を中心とする半径1の円周上を動くとき、$w=z+\frac{2}{z}$
で表される点wの描く図形をCとする。Cで囲まれた部分の内部(ただし、
境界線は含まない)に定点$\alpha$をとり、$\alpha$を通る直線lがCと交わる2点を$\beta_1,\beta_2$とする。
(1)$w=u+vi$(u,vは実数)とするとき、uとvの間に成り立つ関係式を求めよ。
(2)点$\alpha$を固定したままlを動かすとき、積$|\beta_1-\alpha|・|\beta_2-\alpha|$が最大となる
ようなlはどのような直線のときか調べよ。
2022東京慈恵会医科大学医学部過去問
【数Ⅱ】点と直線の距離の公式【導出をしてみよう】
【数Ⅱ】図形と方程式：束の考え方…我々は一体何をさせられているのか。
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
2つの円
$x^2+y^2=25$
$(x-4)^2+(y-3)^2=2$
について
(1)2つの円の交点を通る直線の式を求めよ
(2)2つの円の交点と(3,1)を通る円の式を求めよ
この動画を見る
2つの円
$x^2+y^2=25$
$(x-4)^2+(y-3)^2=2$
について
(1)2つの円の交点を通る直線の式を求めよ
(2)2つの円の交点と(3,1)を通る円の式を求めよ