関数の極限
関数の極限
【数Ⅲ】【関数の極限】双曲線xy=k²(kは正の定数)上に点A(k,k)をとる。この曲線の第1象限にある部分の上にAと異なる点Pをとり、Pを通り直線PAに垂直な直線を引き、直線OAとの交点をQとする。
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【数Ⅲ】【関数の極限】双曲線xy=k²(kは正の定数)上に点A(k,k)をとる。この曲線の第1象限にある部分の上にAと異なる点Pをとり、Pを通り直線PAに垂直な直線を引き、直線OAとの交点をQとする。
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【数Ⅲ】【関数の極限】双曲線xy=k²(kは正の定数)上に点A(k,k)をとる。この曲線の第1象限にある部分の上にAと異なる点Pをとり、Pを通り直線PAに垂直な直線を引き、直線OAとの交点をQとする。
【数Ⅲ】【関数の極限】lim f(x)-2x³/x² =1, lim f(x)/x =-3を満たすxの多項式で表される関数f(x)を求めよ。
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$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-2x^3}{x^2}=1$，
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=-3$
を満たす $x$ の多項式で表される関数 $f(x)$ を求めよ。
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$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-2x^3}{x^2}=1$，
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=-3$
を満たす $x$ の多項式で表される関数 $f(x)$ を求めよ。
【数Ⅲ】【関数の極限】3次関数f(x)が次の2つの条件を満たすという。f(x)を求めよ。lim f(x)/x =3lim f(x)/x-1 =-1
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3 次関数 $f(x)$ が次の 2 つの条件を満たすという。
$f(x)$ を求めよ。
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=3,\qquad
\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=-1$
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3 次関数 $f(x)$ が次の 2 つの条件を満たすという。
$f(x)$ を求めよ。
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=3,\qquad
\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=-1$
【数Ⅲ】【関数の極限】(1) lim ax²+bx /x-2 =1(2) lim a√x+1 -b /x-1 =√2(3) lim √x²+ax +b /x²-1 =1/2
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次の等式が成り立つように、定数 $a,b$ の値を定めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{ax^2+bx}{x-2}=1$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\sqrt{2}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x^2+ax+b}}{x^2-1}=\frac{1}{2}$
(4) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-1+ax+b}\right)=0$
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次の等式が成り立つように、定数 $a,b$ の値を定めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{ax^2+bx}{x-2}=1$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\sqrt{2}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x^2+ax+b}}{x^2-1}=\frac{1}{2}$
(4) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-1+ax+b}\right)=0$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の式が有限の値をもつようにaの値を定め、その極限値を求めよ。(1) lim √1+3x +a /x(2) lim a√x+8 -6 /x-1
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次の式が有限の値をもつように $a$ の値を定め、その極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+3x}+a}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x+8}-6}{x-1}$
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次の式が有限の値をもつように $a$ の値を定め、その極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+3x}+a}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x+8}-6}{x-1}$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の極限を求めよ。(1) lim x(x-√x²-a²) (aは定数)(2) lim {1/2log₃x+log₃(√3x+1 -√3x-1)}
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次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to\infty} x\left(x-\sqrt{x^2-a^2}\right)$
（$a$ は定数）
(2) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left\{\frac{1}{2}\log_3 x+\log_3\left(\sqrt{3x+1}-\sqrt{3x-1}\right)\right\}$
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次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to\infty} x\left(x-\sqrt{x^2-a^2}\right)$
（$a$ は定数）
(2) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left\{\frac{1}{2}\log_3 x+\log_3\left(\sqrt{3x+1}-\sqrt{3x-1}\right)\right\}$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の極限を調べよ。(1) lim[x](2) lim(2x-[x])(3) lim([2x]-[x])
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次の極限を調べよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 2}[x]$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x-[x])$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 1}([2x]-[x])$
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次の極限を調べよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 2}[x]$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x-[x])$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 1}([2x]-[x])$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の極限を調べよ。ただし、aは定数とする。(1) lim x-a/x²-1(2) lim x-a/x²-1(3) lim x-a/x²-1
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次の極限を調べよ。ただし、$a$ は定数とする。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 1+0}\frac{x-a}{x^2-1}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1-0}\frac{x-a}{x^2-1}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x-a}{x^2-1}$
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次の極限を調べよ。ただし、$a$ は定数とする。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 1+0}\frac{x-a}{x^2-1}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1-0}\frac{x-a}{x^2-1}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x-a}{x^2-1}$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の極限を調べよ。(1) lim x-2/x²-x(2) lim(1/2)^1/x(3) lim 1/1+2^1/x
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次の極限を調べよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x-2}{x^2-x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}$
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次の極限を調べよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x-2}{x^2-x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の極限を求めよ。(1) lim√x²＋3 + 2x/x+1(2) lim x-√3x-2/√x+2 - 2(3) lim ³√1+x - ³√1-x /x
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(1) $\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x^2+3}+2x}{x+1}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}-2}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}$
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(1) $\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x^2+3}+2x}{x+1}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}-2}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}$
【数Ⅲ】【関数と極限】次の方程式の実数解の存在する区間をすべて求めよ｡ただし､区間は幅1の開区間とし､その両端は整数値とする｡(1) 2x³+3x²-12x-3=0(2) x³+x²-2x-1=0
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次の方程式の実数解の存在する区間をすべて求めよ｡ただし､区間は幅1の
開区間とし､その両端は整数値とする｡
(1) 2x³+3x²-12x-3=0
(2) x³+x²-2x-1=0
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次の方程式の実数解の存在する区間をすべて求めよ｡ただし､区間は幅1の
開区間とし､その両端は整数値とする｡
(1) 2x³+3x²-12x-3=0
(2) x³+x²-2x-1=0
【数Ⅲ】【関数と極限】関数f(x)が連続でf(0)＝－1、f(1)＝2、f(2)＝1、f(3)＝4のとき、方程式f(x)＝xは0＜x＜3の範囲に少なくとも3個の実数解をもつことを示せ。
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【数Ⅲ】【関数と極限】グラフをかき、その連続性について調べよ。(1) y＝lim 1+x/1+xΛ2n(2) y＝lim x-1/1+|x|Λn(3) y＝lim nsin2x+1/ncos²x+1
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次の関数のグラフをかき、その連続性について調べよ。
(1) $y=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1+x}{1+x^{2n}}$
(2) $y=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{x-1}{1+|x|^{n}}$
(3) $y=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n\sin 2x+1}{n\cos^2 x+1}$
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次の関数のグラフをかき、その連続性について調べよ。
(1) $y=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1+x}{1+x^{2n}}$
(2) $y=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{x-1}{1+|x|^{n}}$
(3) $y=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n\sin 2x+1}{n\cos^2 x+1}$
【数Ⅲ】【関数と極限】無限級数x＋x/1+|x|＋x/(1+|x|)²＋……＋x/(1+|x|)Λn-1＋……をf(x)とおく。無限級数がすべての実数xに対して収束することを示せ。連続性について調べよ
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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無限級数
$x+\dfrac{x}{1+|x|}+\dfrac{x}{(1+|x|)^2}+\cdots+\dfrac{x}{(1+|x|)^{n-1}}+\cdots$
の和を $f(x)$ とおく。
この無限級数がすべての実数 $x$ に対して収束することを示せ。
また、関数 $y=f(x)$ のグラフをかき、
その連続性について調べよ。
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無限級数
$x+\dfrac{x}{1+|x|}+\dfrac{x}{(1+|x|)^2}+\cdots+\dfrac{x}{(1+|x|)^{n-1}}+\cdots$
の和を $f(x)$ とおく。
この無限級数がすべての実数 $x$ に対して収束することを示せ。
また、関数 $y=f(x)$ のグラフをかき、
その連続性について調べよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の関数f(x)において、定義されないxの値、不連続であるxの値をいえ。(1) f(x)＝x²－2x－3/x－3(2) f(x)＝x³/|x|(3) f(x)＝[|cosx|]
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次の関数 f(x) において、定義されない x の値、
不連続である x の値をいえ。
また、それらの x の値で、関数の値を改めて定義し、
すべての実数 x で連続になるようにせよ。
(1) $f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x-3}$
(2) $f(x)=\frac{x^3}{|x|}$
(3) $f(x)=[[ \cos x ]]$
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次の関数 f(x) において、定義されない x の値、
不連続である x の値をいえ。
また、それらの x の値で、関数の値を改めて定義し、
すべての実数 x で連続になるようにせよ。
(1) $f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x-3}$
(2) $f(x)=\frac{x^3}{|x|}$
(3) $f(x)=[[ \cos x ]]$
【数Ⅲ】【関数と極限】次の関数f(x)の定義域をいえ。また、定義域における連続性について調べよ。(1) f(x)＝x+1/x²-1(2) f(x)＝x-[x]
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の関数 f(x) の定義域をいえ。
また、定義域における連続性について調べよ。
(1) $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-1}$
(2) $f(x)=x-[x]$
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次の関数 f(x) の定義域をいえ。
また、定義域における連続性について調べよ。
(1) $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-1}$
(2) $f(x)=x-[x]$
【数Ⅲ】【関数と極限】等式lim ax+b/cosx ＝ 1/2が成り立つように、定数a、bの値を定めよ。
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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等式 $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{ax + b}{\cos x} = \frac{1}{2}$
が成り立つように$,$ 定数 $a,b$ の値を定めよ。
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等式 $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{ax + b}{\cos x} = \frac{1}{2}$
が成り立つように$,$ 定数 $a,b$ の値を定めよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】半径aの円Oの周上に動点Pと定点Aがある。Aにおける接線上にAQ＝APであるような点Qを直線OAに関してPと同じ側にとる。PがAに限りなく近づくときPQ/⌒AP²の極限値を求めよ
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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半径 $a$ の円 $\mathrm{O}$ の周上に動点 $\mathrm{P}$ と定点 $\mathrm{A}$ がある。
$\mathrm{A}$ における接線上に
$\mathrm{AQ = AP}$ であるような点 $\mathrm{Q}$ を直線 $\mathrm{OA}$ に関して $\mathrm{P}$ と同じ側にとる。
$\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ に限りなく近づくとき$,$ $\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{\stackrel{\huge\frown}{AP}}^2}$ の極限値を求めよ。
ただし$,$ $\mathrm{\stackrel{\huge\frown}{AP}}$ は $\angle \mathrm{AOP}$ （$\displaystyle 0 \lt \angle \mathrm{AOP} \lt \frac{\pi}{2}$）に対する
弧 $\mathrm{AP}$ の長さを表す。
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半径 $a$ の円 $\mathrm{O}$ の周上に動点 $\mathrm{P}$ と定点 $\mathrm{A}$ がある。
$\mathrm{A}$ における接線上に
$\mathrm{AQ = AP}$ であるような点 $\mathrm{Q}$ を直線 $\mathrm{OA}$ に関して $\mathrm{P}$ と同じ側にとる。
$\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ に限りなく近づくとき$,$ $\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{\stackrel{\huge\frown}{AP}}^2}$ の極限値を求めよ。
ただし$,$ $\mathrm{\stackrel{\huge\frown}{AP}}$ は $\angle \mathrm{AOP}$ （$\displaystyle 0 \lt \angle \mathrm{AOP} \lt \frac{\pi}{2}$）に対する
弧 $\mathrm{AP}$ の長さを表す。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の極限を求めよ。(1) lim x²cos1/x(2) lim 1+sinx/x
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \sin x}{x}$
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次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \sin x}{x}$
【数Ⅲ】【関数と極限】次の極限を求めよ。(1) lim 1-cos3x/x²(2) lim sinx²/1-cosx
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos {3x}}{x^2}$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{1 - \cos x}$
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次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos {3x}}{x^2}$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{1 - \cos x}$
【数Ⅲ】【関数と極限】(1)lim tanx°/x(2)lim sin(x-π)/x-π(3)lim (x-π/2)tanx(4)lim sinπx/x-1(5)lim sin(sinx)/sinx
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x^{\circ}}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to \pi} \frac{\sin (x - \pi)}{x - \pi}$
(3) $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$
(4) $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin \pi x}{x-1}$
(5) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin x)}{\sin x}$
(6) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{2x}$
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次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x^{\circ}}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to \pi} \frac{\sin (x - \pi)}{x - \pi}$
(3) $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$
(4) $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin \pi x}{x-1}$
(5) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin x)}{\sin x}$
(6) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{2x}$
【数学】ロピタルの定理の使い方
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$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin{\pi x}}{x - 1}$
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$
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$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin{\pi x}}{x - 1}$
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$
【数Ⅲ】【関数と極限】無限級数1-(x+y)+(x+y)²-(x+y)³+…+｛-(x+y)}^n-1 +…が収束し、その和が1/1-xであるとき、yをxの式で表し、そのグラフをかけ。
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無限級数
$1- (x+y) $$ + (x+y)^2 - (x+y)^3 $$ + \cdots \cdots + \{ -(x+y) \}^{n-1} $$ + \cdots \cdots$
が収束し、その和が $\displaystyle \frac{1}{1-x}$ であるとき、
$y$ を $x$ で表し、そのグラフをかけ。
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無限級数
$1- (x+y) $$ + (x+y)^2 - (x+y)^3 $$ + \cdots \cdots + \{ -(x+y) \}^{n-1} $$ + \cdots \cdots$
が収束し、その和が $\displaystyle \frac{1}{1-x}$ であるとき、
$y$ を $x$ で表し、そのグラフをかけ。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の無限級数の和を求めよ。(1) Σ(1/3)^n・cos nπ(2) Σ(-1/3)^n・sin nπ/2
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次の無限級数の和を求めよ。
(1)$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \cos n\pi$
(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( -\dfrac{1}{3} \right)^n \sin \dfrac{n\pi}{2}$
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次の無限級数の和を求めよ。
(1)$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \cos n\pi$
(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( -\dfrac{1}{3} \right)^n \sin \dfrac{n\pi}{2}$
【数Ⅲ】【関数と極限】無限等比級数で表された関数 ｆ(x)＝sinx・cosx ＋ sin³x・cosx ＋ sin⁵x・cosx ＋ …について、y＝ｆ(x)のグラフをかけ。
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無限等比級数で表された関数
$f(x) = \sin x \cos x + \sin^3 x \cos x + \sin^5 x \cos x + \cdots$
について、y＝ｆ(x)のグラフをかけ。
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無限等比級数で表された関数
$f(x) = \sin x \cos x + \sin^3 x \cos x + \sin^5 x \cos x + \cdots$
について、y＝ｆ(x)のグラフをかけ。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の無限級数が0以上の実数xに対して収束することを示せ。和のf(x)のグラフをかけ。√x + √x/1+√x + √x/(1+√x)² + … + √x/(1+√x)^n-1 …
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の無限級数が$0$以上のすべての実数$x$に対して収束することを示せ。
また，その和を$f(x)$とおくとき，関数$y=f(x)$のグラフをかけ。
$\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + \cdots + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^{n-1}} + \cdots$
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次の無限級数が$0$以上のすべての実数$x$に対して収束することを示せ。
また，その和を$f(x)$とおくとき，関数$y=f(x)$のグラフをかけ。
$\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + \cdots + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^{n-1}} + \cdots$
【数Ⅲ】【関数と極限】次の式を計算し、結果を循環小数で表せ。(1) 0.36×0.32(2) 1.25÷0.05
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の式を計算し，結果を循環小数で表せ。
(1)$0.\dot{3}\dot{6} \times 0.3\dot{2}$
(2) $1.\dot{2}\dot{5} \div 0.0\dot{5}$
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次の式を計算し，結果を循環小数で表せ。
(1)$0.\dot{3}\dot{6} \times 0.3\dot{2}$
(2) $1.\dot{2}\dot{5} \div 0.0\dot{5}$
福田の数学〜大阪大学2025理系第4問〜不等式の証明と関数の極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
次の問いに答えよ。
(1)$t\gt 0$のとき
$-\dfrac{1}{t}\lt \displaystyle \int_{t}^{2t} \dfrac{\sin x}{x^2}dx \lt \dfrac{1}{t}$
が成り立つことを示せ。
(2)$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \dfrac{\cos x}{x}dx=0$を示せ。
(3)$f(x)=\sin\left(\dfrac{3x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$おく。
$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \int_{1}^{t} \dfrac{f(x)}{x}dx=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{\cos x}{x} dx$
を示せ。
$2025$年大阪大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
次の問いに答えよ。
(1)$t\gt 0$のとき
$-\dfrac{1}{t}\lt \displaystyle \int_{t}^{2t} \dfrac{\sin x}{x^2}dx \lt \dfrac{1}{t}$
が成り立つことを示せ。
(2)$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \dfrac{\cos x}{x}dx=0$を示せ。
(3)$f(x)=\sin\left(\dfrac{3x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$おく。
$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \int_{1}^{t} \dfrac{f(x)}{x}dx=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{\cos x}{x} dx$
を示せ。
$2025$年大阪大学理系過去問題
福田のおもしろ数学498〜定積分で定義された関数の極限
単元：
#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$0\lt t \leqq 1$に対し、
$f(t)=\dfrac{1}{t} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}t} \vert \cos 2x \vert dx$とする。
$\displaystyle \lim_{t\to 0} f(t)$を求めよ。
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$0\lt t \leqq 1$に対し、
$f(t)=\dfrac{1}{t} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}t} \vert \cos 2x \vert dx$とする。
$\displaystyle \lim_{t\to 0} f(t)$を求めよ。
福田のおもしろ数学476〜完全順列と極限
単元：
#関数と極限#数列の極限#関数の極限#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$1,2,･･･,n$を並べるとき、$k$項目に$k$がこないような
並べ方の総数を$x_n$通りとする。
$n\geqq 3$のとき$x_n,x_{n-1},x_{n-2}$の関係式を作り、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{x_n}{n!}$を求めて下さい。
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$1,2,･･･,n$を並べるとき、$k$項目に$k$がこないような
並べ方の総数を$x_n$通りとする。
$n\geqq 3$のとき$x_n,x_{n-1},x_{n-2}$の関係式を作り、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{x_n}{n!}$を求めて下さい。