関数の極限
関数の極限
【数Ⅲ】【関数と極限】次の方程式の実数解の存在する区間をすべて求めよ｡ただし､区間は幅1の開区間とし､その両端は整数値とする｡(1) 2x³+3x²-12x-3=0(2) x³+x²-2x-1=0
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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次の方程式の実数解の存在する区間をすべて求めよ｡ただし､区間は幅1の
開区間とし､その両端は整数値とする｡
(1) 2x³+3x²-12x-3=0
(2) x³+x²-2x-1=0
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次の方程式の実数解の存在する区間をすべて求めよ｡ただし､区間は幅1の
開区間とし､その両端は整数値とする｡
(1) 2x³+3x²-12x-3=0
(2) x³+x²-2x-1=0
【数Ⅲ】【関数と極限】関数f(x)が連続でf(0)＝－1、f(1)＝2、f(2)＝1、f(3)＝4のとき、方程式f(x)＝xは0＜x＜3の範囲に少なくとも3個の実数解をもつことを示せ。
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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【数Ⅲ】【関数と極限】グラフをかき、その連続性について調べよ。(1) y＝lim 1+x/1+xΛ2n(2) y＝lim x-1/1+|x|Λn(3) y＝lim nsin2x+1/ncos²x+1
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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次の関数のグラフをかき、その連続性について調べよ。
(1) $y=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1+x}{1+x^{2n}}$
(2) $y=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{x-1}{1+|x|^{n}}$
(3) $y=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n\sin 2x+1}{n\cos^2 x+1}$
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次の関数のグラフをかき、その連続性について調べよ。
(1) $y=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1+x}{1+x^{2n}}$
(2) $y=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{x-1}{1+|x|^{n}}$
(3) $y=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n\sin 2x+1}{n\cos^2 x+1}$
【数Ⅲ】【関数と極限】無限級数x＋x/1+|x|＋x/(1+|x|)²＋……＋x/(1+|x|)Λn-1＋……をf(x)とおく。無限級数がすべての実数xに対して収束することを示せ。連続性について調べよ
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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問題文全文(内容文)：
無限級数
$x+\dfrac{x}{1+|x|}+\dfrac{x}{(1+|x|)^2}+\cdots+\dfrac{x}{(1+|x|)^{n-1}}+\cdots$
の和を $f(x)$ とおく。
この無限級数がすべての実数 $x$ に対して収束することを示せ。
また、関数 $y=f(x)$ のグラフをかき、
その連続性について調べよ。
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無限級数
$x+\dfrac{x}{1+|x|}+\dfrac{x}{(1+|x|)^2}+\cdots+\dfrac{x}{(1+|x|)^{n-1}}+\cdots$
の和を $f(x)$ とおく。
この無限級数がすべての実数 $x$ に対して収束することを示せ。
また、関数 $y=f(x)$ のグラフをかき、
その連続性について調べよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の関数f(x)において、定義されないxの値、不連続であるxの値をいえ。(1) f(x)＝x²－2x－3/x－3(2) f(x)＝x³/|x|(3) f(x)＝[|cosx|]
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数 f(x) において、定義されない x の値、
不連続である x の値をいえ。
また、それらの x の値で、関数の値を改めて定義し、
すべての実数 x で連続になるようにせよ。
(1) $f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x-3}$
(2) $f(x)=\frac{x^3}{|x|}$
(3) $f(x)=[[ \cos x ]]$
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次の関数 f(x) において、定義されない x の値、
不連続である x の値をいえ。
また、それらの x の値で、関数の値を改めて定義し、
すべての実数 x で連続になるようにせよ。
(1) $f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x-3}$
(2) $f(x)=\frac{x^3}{|x|}$
(3) $f(x)=[[ \cos x ]]$
【数Ⅲ】【関数と極限】次の関数f(x)の定義域をいえ。また、定義域における連続性について調べよ。(1) f(x)＝x+1/x²-1(2) f(x)＝x-[x]
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数 f(x) の定義域をいえ。
また、定義域における連続性について調べよ。
(1) $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-1}$
(2) $f(x)=x-[x]$
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次の関数 f(x) の定義域をいえ。
また、定義域における連続性について調べよ。
(1) $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-1}$
(2) $f(x)=x-[x]$
【数Ⅲ】【関数と極限】等式lim ax+b/cosx ＝ 1/2が成り立つように、定数a、bの値を定めよ。
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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問題文全文(内容文)：
等式 $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{ax + b}{\cos x} = \frac{1}{2}$
が成り立つように$,$ 定数 $a,b$ の値を定めよ。
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等式 $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{ax + b}{\cos x} = \frac{1}{2}$
が成り立つように$,$ 定数 $a,b$ の値を定めよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】半径aの円Oの周上に動点Pと定点Aがある。Aにおける接線上にAQ＝APであるような点Qを直線OAに関してPと同じ側にとる。PがAに限りなく近づくときPQ/⌒AP²の極限値を求めよ
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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問題文全文(内容文)：
半径 $a$ の円 $\mathrm{O}$ の周上に動点 $\mathrm{P}$ と定点 $\mathrm{A}$ がある。
$\mathrm{A}$ における接線上に
$\mathrm{AQ = AP}$ であるような点 $\mathrm{Q}$ を直線 $\mathrm{OA}$ に関して $\mathrm{P}$ と同じ側にとる。
$\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ に限りなく近づくとき$,$ $\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{\stackrel{\huge\frown}{AP}}^2}$ の極限値を求めよ。
ただし$,$ $\mathrm{\stackrel{\huge\frown}{AP}}$ は $\angle \mathrm{AOP}$ （$\displaystyle 0 \lt \angle \mathrm{AOP} \lt \frac{\pi}{2}$）に対する
弧 $\mathrm{AP}$ の長さを表す。
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半径 $a$ の円 $\mathrm{O}$ の周上に動点 $\mathrm{P}$ と定点 $\mathrm{A}$ がある。
$\mathrm{A}$ における接線上に
$\mathrm{AQ = AP}$ であるような点 $\mathrm{Q}$ を直線 $\mathrm{OA}$ に関して $\mathrm{P}$ と同じ側にとる。
$\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ に限りなく近づくとき$,$ $\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{\stackrel{\huge\frown}{AP}}^2}$ の極限値を求めよ。
ただし$,$ $\mathrm{\stackrel{\huge\frown}{AP}}$ は $\angle \mathrm{AOP}$ （$\displaystyle 0 \lt \angle \mathrm{AOP} \lt \frac{\pi}{2}$）に対する
弧 $\mathrm{AP}$ の長さを表す。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の極限を求めよ。(1) lim x²cos1/x(2) lim 1+sinx/x
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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問題文全文(内容文)：
次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \sin x}{x}$
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次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \sin x}{x}$
【数Ⅲ】【関数と極限】次の極限を求めよ。(1) lim 1-cos3x/x²(2) lim sinx²/1-cosx
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos {3x}}{x^2}$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{1 - \cos x}$
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次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos {3x}}{x^2}$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{1 - \cos x}$
【数Ⅲ】【関数と極限】(1)lim tanx°/x(2)lim sin(x-π)/x-π(3)lim (x-π/2)tanx(4)lim sinπx/x-1(5)lim sin(sinx)/sinx
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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問題文全文(内容文)：
次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x^{\circ}}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to \pi} \frac{\sin (x - \pi)}{x - \pi}$
(3) $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$
(4) $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin \pi x}{x-1}$
(5) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin x)}{\sin x}$
(6) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{2x}$
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次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x^{\circ}}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to \pi} \frac{\sin (x - \pi)}{x - \pi}$
(3) $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$
(4) $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin \pi x}{x-1}$
(5) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin x)}{\sin x}$
(6) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{2x}$
【数学】ロピタルの定理の使い方
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin{\pi x}}{x - 1}$
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$
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$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin{\pi x}}{x - 1}$
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$
【数Ⅲ】【関数と極限】無限級数1-(x+y)+(x+y)²-(x+y)³+…+｛-(x+y)}^n-1 +…が収束し、その和が1/1-xであるとき、yをxの式で表し、そのグラフをかけ。
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
無限級数
$1- (x+y) $$ + (x+y)^2 - (x+y)^3 $$ + \cdots \cdots + \{ -(x+y) \}^{n-1} $$ + \cdots \cdots$
が収束し、その和が $\displaystyle \frac{1}{1-x}$ であるとき、
$y$ を $x$ で表し、そのグラフをかけ。
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無限級数
$1- (x+y) $$ + (x+y)^2 - (x+y)^3 $$ + \cdots \cdots + \{ -(x+y) \}^{n-1} $$ + \cdots \cdots$
が収束し、その和が $\displaystyle \frac{1}{1-x}$ であるとき、
$y$ を $x$ で表し、そのグラフをかけ。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の無限級数の和を求めよ。(1) Σ(1/3)^n・cos nπ(2) Σ(-1/3)^n・sin nπ/2
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の無限級数の和を求めよ。
(1)$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \cos n\pi$
(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( -\dfrac{1}{3} \right)^n \sin \dfrac{n\pi}{2}$
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次の無限級数の和を求めよ。
(1)$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \cos n\pi$
(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( -\dfrac{1}{3} \right)^n \sin \dfrac{n\pi}{2}$
【数Ⅲ】【関数と極限】無限等比級数で表された関数 ｆ(x)＝sinx・cosx ＋ sin³x・cosx ＋ sin⁵x・cosx ＋ …について、y＝ｆ(x)のグラフをかけ。
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
無限等比級数で表された関数
$f(x) = \sin x \cos x + \sin^3 x \cos x + \sin^5 x \cos x + \cdots$
について、y＝ｆ(x)のグラフをかけ。
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無限等比級数で表された関数
$f(x) = \sin x \cos x + \sin^3 x \cos x + \sin^5 x \cos x + \cdots$
について、y＝ｆ(x)のグラフをかけ。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の無限級数が0以上の実数xに対して収束することを示せ。和のf(x)のグラフをかけ。√x + √x/1+√x + √x/(1+√x)² + … + √x/(1+√x)^n-1 …
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の無限級数が$0$以上のすべての実数$x$に対して収束することを示せ。
また，その和を$f(x)$とおくとき，関数$y=f(x)$のグラフをかけ。
$\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + \cdots + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^{n-1}} + \cdots$
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次の無限級数が$0$以上のすべての実数$x$に対して収束することを示せ。
また，その和を$f(x)$とおくとき，関数$y=f(x)$のグラフをかけ。
$\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + \cdots + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^{n-1}} + \cdots$
【数Ⅲ】【関数と極限】次の式を計算し、結果を循環小数で表せ。(1) 0.36×0.32(2) 1.25÷0.05
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の式を計算し，結果を循環小数で表せ。
(1)$0.\dot{3}\dot{6} \times 0.3\dot{2}$
(2) $1.\dot{2}\dot{5} \div 0.0\dot{5}$
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次の式を計算し，結果を循環小数で表せ。
(1)$0.\dot{3}\dot{6} \times 0.3\dot{2}$
(2) $1.\dot{2}\dot{5} \div 0.0\dot{5}$
福田の数学〜大阪大学2025理系第4問〜不等式の証明と関数の極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
次の問いに答えよ。
(1)$t\gt 0$のとき
$-\dfrac{1}{t}\lt \displaystyle \int_{t}^{2t} \dfrac{\sin x}{x^2}dx \lt \dfrac{1}{t}$
が成り立つことを示せ。
(2)$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \dfrac{\cos x}{x}dx=0$を示せ。
(3)$f(x)=\sin\left(\dfrac{3x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$おく。
$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \int_{1}^{t} \dfrac{f(x)}{x}dx=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{\cos x}{x} dx$
を示せ。
$2025$年大阪大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
次の問いに答えよ。
(1)$t\gt 0$のとき
$-\dfrac{1}{t}\lt \displaystyle \int_{t}^{2t} \dfrac{\sin x}{x^2}dx \lt \dfrac{1}{t}$
が成り立つことを示せ。
(2)$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \dfrac{\cos x}{x}dx=0$を示せ。
(3)$f(x)=\sin\left(\dfrac{3x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$おく。
$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \int_{1}^{t} \dfrac{f(x)}{x}dx=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{\cos x}{x} dx$
を示せ。
$2025$年大阪大学理系過去問題
福田のおもしろ数学498〜定積分で定義された関数の極限
単元：
#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$0\lt t \leqq 1$に対し、
$f(t)=\dfrac{1}{t} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}t} \vert \cos 2x \vert dx$とする。
$\displaystyle \lim_{t\to 0} f(t)$を求めよ。
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$0\lt t \leqq 1$に対し、
$f(t)=\dfrac{1}{t} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}t} \vert \cos 2x \vert dx$とする。
$\displaystyle \lim_{t\to 0} f(t)$を求めよ。
福田のおもしろ数学476〜完全順列と極限
単元：
#関数と極限#数列の極限#関数の極限#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$1,2,･･･,n$を並べるとき、$k$項目に$k$がこないような
並べ方の総数を$x_n$通りとする。
$n\geqq 3$のとき$x_n,x_{n-1},x_{n-2}$の関係式を作り、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{x_n}{n!}$を求めて下さい。
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$1,2,･･･,n$を並べるとき、$k$項目に$k$がこないような
並べ方の総数を$x_n$通りとする。
$n\geqq 3$のとき$x_n,x_{n-1},x_{n-2}$の関係式を作り、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{x_n}{n!}$を求めて下さい。
福田の数学〜東北大学2025理系第4問〜2曲線の相接と面積の極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、
関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。
$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$
また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、
その共有点における
$2$つの曲線の接線が一致しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積
$S_n$を求めよ。
(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、
関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。
$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$
また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、
その共有点における
$2$つの曲線の接線が一致しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積
$S_n$を求めよ。
(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田の数学〜東北大学2025理系第3問〜4次関数が極大値をもつ条件
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$a$を実数とし、関数$f(x)$を次のように定める。
$f(x)=x^4+\dfrac{4a}{3}x^3+(a+2)x^2$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)関数$f(x)$が極大値をもつような$a$のとり得る
値の範囲を求めよ。
(2)関数$f(x)$が$x=0$で極大値をもつような
$a$のとり得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
$a$を実数とし、関数$f(x)$を次のように定める。
$f(x)=x^4+\dfrac{4a}{3}x^3+(a+2)x^2$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)関数$f(x)$が極大値をもつような$a$のとり得る
値の範囲を求めよ。
(2)関数$f(x)$が$x=0$で極大値をもつような
$a$のとり得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田のおもしろ数学401〜極限関数の個数
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{\tan^{2n+1}x-\tan^n x+1}{\tan^{2n+2}x+\tan^{2n}x+1}$
$\left(0\leqq x \lt \dfrac{\pi}{2}\right)$のグラフを描いて下さい。
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$f(x)=\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{\tan^{2n+1}x-\tan^n x+1}{\tan^{2n+2}x+\tan^{2n}x+1}$
$\left(0\leqq x \lt \dfrac{\pi}{2}\right)$のグラフを描いて下さい。
π=4の証明は本当なのか？
福田の数学〜東京理科大学2024創域理工学部第2問〜放物線の接線と極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$m$を正の実数とし、関数$f(x)$を$f(x)=-mx^2+1$と定める。座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とおき、負の実数$a$に対して点$\textrm{A}(a,f(a))$における曲線$C$の接線を$l_1$とおく。直線$l_1$と$y$軸との交点を$\textrm{P}$とし、点$\textrm{P}$を通り$l_1$に垂直な直線を$l_2$とおき、$l_2$と$x$軸の交点を$\textrm{Q}$とする。
(1) 点$\textrm{P}$の座標を$a$と$m$を用いて表せ。
(2) 点$\textrm{Q}$の座標を$a$と$m$を用いて表せ。
以下、直線$l_2$が曲線$C$の接線となるときを考える。
(3) $a$を$m$を用いて表せ。
(4) 線分$\textrm{AQ}$の長さは$m$を用いて表される。これを$L(m)$とおく。
(a) $\displaystyle \lim_{m \rightarrow \infty}L(m)$を求めよ。
(b) $\displaystyle \lim_{m \rightarrow 0}mL(m)$を求めよ。
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$m$を正の実数とし、関数$f(x)$を$f(x)=-mx^2+1$と定める。座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とおき、負の実数$a$に対して点$\textrm{A}(a,f(a))$における曲線$C$の接線を$l_1$とおく。直線$l_1$と$y$軸との交点を$\textrm{P}$とし、点$\textrm{P}$を通り$l_1$に垂直な直線を$l_2$とおき、$l_2$と$x$軸の交点を$\textrm{Q}$とする。
(1) 点$\textrm{P}$の座標を$a$と$m$を用いて表せ。
(2) 点$\textrm{Q}$の座標を$a$と$m$を用いて表せ。
以下、直線$l_2$が曲線$C$の接線となるときを考える。
(3) $a$を$m$を用いて表せ。
(4) 線分$\textrm{AQ}$の長さは$m$を用いて表される。これを$L(m)$とおく。
(a) $\displaystyle \lim_{m \rightarrow \infty}L(m)$を求めよ。
(b) $\displaystyle \lim_{m \rightarrow 0}mL(m)$を求めよ。
福田のおもしろ数学246〜分数式の極限と区分求積
単元：
#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{(1+2+…+n)^5}{(1^4+2^4+…+n^4)^2}$
を求めて下さい。
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$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{(1+2+…+n)^5}{(1^4+2^4+…+n^4)^2}$
を求めて下さい。
福田の数学〜中央大学202理工学部第4問〜sin(x)のn乗の定積分と極限
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#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$n=1,2,3,\cdots$に対し、$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx$とおく。また、$\displaystyle I_0=\int_0^{\frac{\pi}{2}}1dx$とする。
(1) $(n+1)I_{n+1}=nI_{n-1}$を示せ。
(2) $nI_nI_{n-1}$を求めよ。
(3) $I_{n+1} < I_n$を示せ。
(4) 極限$\displaystyle \lim_{n \to\infty}nI_n^2$を求めよ。
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$n=1,2,3,\cdots$に対し、$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx$とおく。また、$\displaystyle I_0=\int_0^{\frac{\pi}{2}}1dx$とする。
(1) $(n+1)I_{n+1}=nI_{n-1}$を示せ。
(2) $nI_nI_{n-1}$を求めよ。
(3) $I_{n+1} < I_n$を示せ。
(4) 極限$\displaystyle \lim_{n \to\infty}nI_n^2$を求めよ。
極限
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \frac{x^2-4}{x-2}=$
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$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \frac{x^2-4}{x-2}=$
福田の数学〜千葉大学2024年理系第7問〜3次方程式の解の極限
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#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$n$ を正の整数とする。 $x$ の関数 $f(x) $$= x^3$$-2nx^2$$+(2n-3)x$$+1$ について、以下の問いに答えよ。
$(1)$ $\alpha$ を $f(x)=0$ の$1$ つの解とする。 $\displaystyle f(\frac{1}{1-\alpha})$ の値を求めよ。
$(2)$ 方程式 $f(x) = 0$ は異なる $3$ つの実数解をもつことを示せ。
$(3)$ 方程式 $f(x) = 0$ の解で $2$ 番目に大きいものを $\beta_n$ とする。極限 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \beta_n$ を求めよ。
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$n$ を正の整数とする。 $x$ の関数 $f(x) $$= x^3$$-2nx^2$$+(2n-3)x$$+1$ について、以下の問いに答えよ。
$(1)$ $\alpha$ を $f(x)=0$ の$1$ つの解とする。 $\displaystyle f(\frac{1}{1-\alpha})$ の値を求めよ。
$(2)$ 方程式 $f(x) = 0$ は異なる $3$ つの実数解をもつことを示せ。
$(3)$ 方程式 $f(x) = 0$ の解で $2$ 番目に大きいものを $\beta_n$ とする。極限 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \beta_n$ を求めよ。
福田のおもしろ数学202〜収束するための必要十分条件
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
整式$f(x)$がある。
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\dfrac{f(x)}{x-a}=b$であるための必要十分条件を求めよ。
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整式$f(x)$がある。
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\dfrac{f(x)}{x-a}=b$であるための必要十分条件を求めよ。