4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）
4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）
ある確率変数Xの確率分布が右の表で与えられている。Xの期待値が3.2であるとき，p，qの値を求めよ。【数B】【統計的な推測｜確率変数の期待値と分散】
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#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)#数B
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#確率分布と統計的推測#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
ある確率変数 $X$ の確率分布が右の表で与えられている。$X$ の期待値が $3.2$ であるとき、$p,\ q$ の値を求めよ。
$X\ \ 1\ \ 2\ \ 3\ \ 4\ \ 5$
$P\ \ p\ \ q\ \ p\ \ p\ \ q$
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ある確率変数 $X$ の確率分布が右の表で与えられている。$X$ の期待値が $3.2$ であるとき、$p,\ q$ の値を求めよ。
$X\ \ 1\ \ 2\ \ 3\ \ 4\ \ 5$
$P\ \ p\ \ q\ \ p\ \ p\ \ q$
数列1/2，1/3，2/3，1/4，2/4，3/4，1/5，2/5，3/5，4/5，1/6，2/6，……において、初項から第800項までの和を求めよ。【数Ⅱ】【数列｜いろいろな数列の和】
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#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材#数列
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数列 $\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{2}{3},\ \dfrac{1}{4},\ \dfrac{2}{4},\ \dfrac{3}{4},\ \dfrac{1}{5},\ \dfrac{2}{5},\ \dfrac{3}{5},\ \dfrac{4}{5},\ \dfrac{1}{6},\ \dfrac{2}{6},\ \cdots$ において、初項から第 800 項までの和を求めよ。
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数列 $\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{2}{3},\ \dfrac{1}{4},\ \dfrac{2}{4},\ \dfrac{3}{4},\ \dfrac{1}{5},\ \dfrac{2}{5},\ \dfrac{3}{5},\ \dfrac{4}{5},\ \dfrac{1}{6},\ \dfrac{2}{6},\ \cdots$ において、初項から第 800 項までの和を求めよ。
数列1，1，4，1，4，9，1，4，9，16，1，4，9，16，25，1，……がある。（1）nを自然数としたとき、自然数n²が初めて現れるのは第何項か。他【数Ⅱ】【数列｜いろいろな数列の和】
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#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材#数列
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数列 $1,\ 1,\ 4,\ 1,\ 4,\ 9,\ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 1,\ \cdots$ がある。
(1) $n$ を自然数としたとき、自然数 $n^2$ が初めて現れるのは第何項か。
(2) 第 100 項を求めよ。
(3) 初項から第 100 項までの和を求めよ。
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数列 $1,\ 1,\ 4,\ 1,\ 4,\ 9,\ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 1,\ \cdots$ がある。
(1) $n$ を自然数としたとき、自然数 $n^2$ が初めて現れるのは第何項か。
(2) 第 100 項を求めよ。
(3) 初項から第 100 項までの和を求めよ。
自然数の列を、次のように1個、2個、4個、8個、……、2ⁿ⁻¹個、……の群に分ける。1｜2，3｜4，5，6，7｜8，9，10，11，12，13，14，15｜16，…【数Ⅱ】【数列｜いろいろな数列の和】
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#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材#数列
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問題文全文(内容文)：
自然数の列を、次のように 1 個、2 個、4 個、8 個、……、$2^{n-1}$ 個、……の群に分ける。
$1\mid 2,\ 3\mid 4,\ 5,\ 6,\ 7\mid 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15\mid 16,\ \cdots$
(1) 第 $n$ 群の最初の自然数を求めよ。
(2) 500 は第何群の第何項か。
(3) 第 $n$ 群にあるすべての自然数の和を求めよ。
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自然数の列を、次のように 1 個、2 個、4 個、8 個、……、$2^{n-1}$ 個、……の群に分ける。
$1\mid 2,\ 3\mid 4,\ 5,\ 6,\ 7\mid 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15\mid 16,\ \cdots$
(1) 第 $n$ 群の最初の自然数を求めよ。
(2) 500 は第何群の第何項か。
(3) 第 $n$ 群にあるすべての自然数の和を求めよ。
α+β=π/4のとき，（tanα+1）（tanβ+1）の値を求めよ。【三角関数｜加法定理】
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#数Ⅱ#三角関数#加法定理とその応用#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#三角関数#中高教材
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問題文全文(内容文)：
$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}$ のとき、$(\tan\alpha+1)(\tan\beta+1)$ の値を求めよ。
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$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}$ のとき、$(\tan\alpha+1)(\tan\beta+1)$ の値を求めよ。
α，β，γは鋭角，tanα=2，tanβ=5，tanγ=8のときα+β+γを求めよ。【三角関数｜加法定理】
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#数Ⅱ#三角関数#加法定理とその応用#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#三角関数#中高教材
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問題文全文(内容文)：
$\alpha,\ \beta,\ \gamma$ は鋭角、$\tan\alpha=2,\ \tan\beta=5,\ \tan\gamma=8$ のとき $\alpha+\beta+\gamma$ を求めよ。
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$\alpha,\ \beta,\ \gamma$ は鋭角、$\tan\alpha=2,\ \tan\beta=5,\ \tan\gamma=8$ のとき $\alpha+\beta+\gamma$ を求めよ。
π/2＜α＜π，π/2＜β＜πとする。tanα=−1，tanβ=−2のとき，cos（α−β）の値を求めよ。【三角関数｜加法定理】
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#数Ⅱ#三角関数#加法定理とその応用#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#三角関数#中高教材
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問題文全文(内容文)：
$\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi,\ \dfrac{\pi}{2}<\beta<\pi$ とする。$\tan\alpha=-1,\ \tan\beta=-2$ のとき、
$\cos(\alpha-\beta)$ の値を求めよ。
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$\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi,\ \dfrac{\pi}{2}<\beta<\pi$ とする。$\tan\alpha=-1,\ \tan\beta=-2$ のとき、
$\cos(\alpha-\beta)$ の値を求めよ。
次の等式を証明せよ（1）cos（α+β）sin（α−β）=sinαcosα−sinβcosβ（2）cos（α+β）cos（α−β）=cos²α−sin²β=cos²β−sin²α【三角関数｜加法定理】
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#数Ⅱ#三角関数#加法定理とその応用#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#三角関数#中高教材
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問題文全文(内容文)：
次の等式を証明せよ。
(1) $\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\alpha-\sin\beta\cos\beta$
(2) $\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta=\cos^2\beta-\sin^2\alpha$
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次の等式を証明せよ。
(1) $\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\alpha-\sin\beta\cos\beta$
(2) $\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta=\cos^2\beta-\sin^2\alpha$
次の不等式を同時に満たす整数の組（x，y）をすべて求めよ。x²+y²−2x+4y＜4， 2y−x+3≧0【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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問題文全文(内容文)：
次の不等式を同時に満たす整数の組（x，y）をすべて求めよ。
x²+y²−2x+4y＜4， 2y−x+3≧0
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次の不等式を同時に満たす整数の組（x，y）をすべて求めよ。
x²+y²−2x+4y＜4， 2y−x+3≧0
x，y は実数とする。次のことを証明せよ。（1） x²+y²＜25 ならば 3x+4y＜25（2） x²+y²＜4 ならば x²+y²−8x+12＞0 他1問【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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問題文全文(内容文)：
$x$、$y$ は実数とする。次のことを証明せよ。
(1) $x^2+y^2<25$ ならば $3x+4y<25$
(2) $x^2+y^2<4$ ならば $x^2+y^2-8x+12>0$
(3) $x+y>\sqrt{2}$ ならば $x^2+y^2>1$
```
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$x$、$y$ は実数とする。次のことを証明せよ。
(1) $x^2+y^2<25$ ならば $3x+4y<25$
(2) $x^2+y^2<4$ ならば $x^2+y^2-8x+12>0$
(3) $x+y>\sqrt{2}$ ならば $x^2+y^2>1$
```
x，y が2つの不等式 x²+y²≦4，y≧0 を満たすとき，2x−y の最大値，最小値を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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問題文全文(内容文)：
x，y が2つの不等式 x²+y²≦4，y≧0 を満たすとき，2x−y の最大値，最小値を求めよ。
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x，y が2つの不等式 x²+y²≦4，y≧0 を満たすとき，2x−y の最大値，最小値を求めよ。
2種類の薬品P，Qがある。その1gについて，Aを12mg以上，Bを15mg以上とる必要があるとき，その費用を最小にするには，P，Qをそれぞれ何gとればよいか。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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問題文全文(内容文)：
2種類の薬品P，Qがある。その1gについて，A成分，B成分の量と価格は，それぞれ右の表の通りである。
A成分 B成分 価格
P 2mg 1mg 4円
Q 1mg 2mg 6円
Aを12mg以上，Bを15mg以上とる必要があるとき，その費用を最小にするには，P，Qをそれぞれ何gとればよいか。
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2種類の薬品P，Qがある。その1gについて，A成分，B成分の量と価格は，それぞれ右の表の通りである。
A成分 B成分 価格
P 2mg 1mg 4円
Q 1mg 2mg 6円
Aを12mg以上，Bを15mg以上とる必要があるとき，その費用を最小にするには，P，Qをそれぞれ何gとればよいか。
（1） x，y が4つの不等式 x≧0，y≧0，2x+y≦5，x+3y≦6 を満たすとき，x+y の最大値および最小値を求めよ。他1問【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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（1） x，y が4つの不等式 x≧0，y≧0，2x+y≦5，x+3y≦6 を満たすとき，x+y の最大値および最小値を求めよ。
（2） x，y が3つの不等式 x+y≦6，2x+y≧6，x+2y≧4 を満たすとき，2x+3y の最大値および最小値を求めよ。
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（1） x，y が4つの不等式 x≧0，y≧0，2x+y≦5，x+3y≦6 を満たすとき，x+y の最大値および最小値を求めよ。
（2） x，y が3つの不等式 x+y≦6，2x+y≧6，x+2y≧4 を満たすとき，2x+3y の最大値および最小値を求めよ。
3頂点が A（2，0），B（−3，4），C（−3，−1）である三角形の内部および周上を表す連立不等式を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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3頂点が A（2，0），B（−3，4），C（−3，−1）である三角形の内部および周上を表す連立不等式を求めよ。
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3頂点が A（2，0），B（−3，4），C（−3，−1）である三角形の内部および周上を表す連立不等式を求めよ。
右の図の斜線部分は，どのような連立不等式の表す領域か。ただし，（1）は境界線を含まず，（2）は境界線を含むものとする。※図は動画内参照【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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右の図の斜線部分は，どのような連立不等式の表す領域か。ただし，（1）は境界線を含まず，（2）は境界線を含むものとする。
※図は動画内参照
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右の図の斜線部分は，どのような連立不等式の表す領域か。ただし，（1）は境界線を含まず，（2）は境界線を含むものとする。
※図は動画内参照
次の不等式，連立不等式の表す領域を図示せよ。（1） （3x−2y−2）（2x+3y+3）＜0 x−5y+8≧0（2） x²+y²≦4 （y−2x）（y+2x）＜0他【図形と方程式｜軌跡と領域】
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次の不等式，連立不等式の表す領域を図示せよ。
（1） （3x−2y−2）（2x+3y+3）＜0
x−5y+8≧0
（2） x²+y²≦4
（y−2x）（y+2x）＜0
（3） 1＜x²+y²≦9
（4） （x²−y）（1−x²−y²）≦0
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次の不等式，連立不等式の表す領域を図示せよ。
（1） （3x−2y−2）（2x+3y+3）＜0
x−5y+8≧0
（2） x²+y²≦4
（y−2x）（y+2x）＜0
（3） 1＜x²+y²≦9
（4） （x²−y）（1−x²−y²）≦0
承知しました。不等号も全角で表記します。次の不等式の表す領域を図示せよ。（1） y≦−x²+4（2） y＞−2x²+4x（3） y≦2x²−4x+3【図形と方程式｜軌跡と領域】
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次の不等式の表す領域を図示せよ。
（1） y≦−x²+4
（2） y＞−2x²+4x
（3） y≦2x²−4x+3
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次の不等式の表す領域を図示せよ。
（1） y≦−x²+4
（2） y＞−2x²+4x
（3） y≦2x²−4x+3
直線 y=2x+k が放物線 y=3x−x² と異なる2点P，Qで交わるとする。（1） 定数kの値の範囲を求めよ。また，線分PQの中点Mの座標をkで表せ。他1問【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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直線 y=2x+k が放物線 y=3x−x² と異なる2点P，Qで交わるとする。
（1） 定数kの値の範囲を求めよ。また，線分PQの中点Mの座標をkで表せ。
（2） kの値が変化するとき，線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。
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直線 y=2x+k が放物線 y=3x−x² と異なる2点P，Qで交わるとする。
（1） 定数kの値の範囲を求めよ。また，線分PQの中点Mの座標をkで表せ。
（2） kの値が変化するとき，線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。
m が実数全体を動くとき，放物線 y=x²−2mx+1 の頂点Pの軌跡を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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m が実数全体を動くとき，放物線 y=x²−2mx+1 の頂点Pの軌跡を求めよ。
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m が実数全体を動くとき，放物線 y=x²−2mx+1 の頂点Pの軌跡を求めよ。
t が実数全体を動くとき，次の点（x，y）はどのような図形上にあるか。（1） x=t+1，y=−3t+2（2） x=2t−1，y=t²−t+3【図形と方程式｜軌跡と領域】
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t が実数全体を動くとき，次の点（x，y）はどのような図形上にあるか。（1） x=t+1，y=−3t+2（2） x=2t−1，y=t²−t+3
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t が実数全体を動くとき，次の点（x，y）はどのような図形上にあるか。（1） x=t+1，y=−3t+2（2） x=2t−1，y=t²−t+3
次の直線の方程式を求めよ（1）2直線 3x+2y−5=0，2x−3y+4=0 のなす角の二等分線のうちで，傾きが正の直線（2）直線 y=2x に関して，直線 2x+3y=6【図形と方程式｜軌跡と領域】
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次の直線の方程式を，軌跡の考えを用いて求めよ。
（1） 2直線 3x+2y−5=0，2x−3y+4=0 のなす角の二等分線のうちで，傾きが正の直線
（2） 直線 y=2x に関して，直線 2x+3y=6 と対称な直線
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次の直線の方程式を，軌跡の考えを用いて求めよ。
（1） 2直線 3x+2y−5=0，2x−3y+4=0 のなす角の二等分線のうちで，傾きが正の直線
（2） 直線 y=2x に関して，直線 2x+3y=6 と対称な直線
1辺の長さが2である正方形ABCDがある。AP²+BP²+CP²+DP²=16 を満たす点Pの軌跡を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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1辺の長さが2である正方形ABCDがある。AP²+BP²+CP²+DP²=16 を満たす点Pの軌跡を求めよ。
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1辺の長さが2である正方形ABCDがある。AP²+BP²+CP²+DP²=16 を満たす点Pの軌跡を求めよ。
AB=2 である2定点A，Bに対して，条件 AP²−BP²=1 を満たす点Pの軌跡を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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AB=2 である2定点A，Bに対して，条件 AP²−BP²=1 を満たす点Pの軌跡を求めよ。
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AB=2 である2定点A，Bに対して，条件 AP²−BP²=1 を満たす点Pの軌跡を求めよ。
2点 A（−1，0），B（4，0）と点Pを頂点とする△PABが，PA：PB=1：4 を満たしながら変化するとき，点Pの軌跡を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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2点 A（−1，0），B（4，0）と点Pを頂点とする△PABが，PA：PB=1：4 を満たしながら変化するとき，点Pの軌跡を求めよ。
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2点 A（−1，0），B（4，0）と点Pを頂点とする△PABが，PA：PB=1：4 を満たしながら変化するとき，点Pの軌跡を求めよ。
点（0，−2）との距離と，直線 y=2 との距離が等しい点の軌跡を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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点（0，−2）との距離と，直線 y=2 との距離が等しい点の軌跡を求めよ。
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点（0，−2）との距離と，直線 y=2 との距離が等しい点の軌跡を求めよ。
次のような点Pの軌跡を求めよ（1）点A（1，3）と直線 x−2y−1=0 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P（2）点A（5，0）と円 （x+1）²+y²=16 上の点Qを…他【図形と方程式｜軌跡と領域】
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次のような点Pの軌跡を求めよ。
（1） 点A（1，3）と直線 x−2y−1=0 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P
（2） 点A（5，0）と円 （x+1）²+y²=16 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P
（3） 2点A（4，0），B（2，3）と円 x²+y²=1 上の点Qを頂点とする三角形の重心P
（4） 点A（2，−2）と放物線 y=x² 上の点Qを結ぶ線分AQを 1：2 に内分する点P
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次のような点Pの軌跡を求めよ。
（1） 点A（1，3）と直線 x−2y−1=0 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P
（2） 点A（5，0）と円 （x+1）²+y²=16 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P
（3） 2点A（4，0），B（2，3）と円 x²+y²=1 上の点Qを頂点とする三角形の重心P
（4） 点A（2，−2）と放物線 y=x² 上の点Qを結ぶ線分AQを 1：2 に内分する点P
円 x²+y²+2x+4y−4=0 と直線 7x−y+2=0 の2つの交点と点（−1，2）を通る円の中心と半径を求めよ。【図形と方程式｜円と方程式】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
円 x²+y²+2x+4y−4=0 と直線 7x−y+2=0 の2つの交点と点（−1，2）を通る円の中心と半径を求めよ。
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円 x²+y²+2x+4y−4=0 と直線 7x−y+2=0 の2つの交点と点（−1，2）を通る円の中心と半径を求めよ。
2つの円 x²+y²=4，x²+y²−4x−2y+1=0 の2つの交点と点（1，−1）を通る円の中心と半径を求めよ。また，2つの円の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。【図形と方程式｜円と方程式】
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問題文全文(内容文)：
2つの円 x²+y²=4，x²+y²−4x−2y+1=0 の2つの交点と点（1，−1）を通る円の中心と半径を求めよ。また，2つの円の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。
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2つの円 x²+y²=4，x²+y²−4x−2y+1=0 の2つの交点と点（1，−1）を通る円の中心と半径を求めよ。また，2つの円の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。
次の2つの円の共有点の座標を求めよ。(1) x²+y²=5，x²+y²−4x−4y+7=0(2) x²+y²−4y−4=0，x²+y²−2x=0【図形と方程式｜円と方程式】
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問題文全文(内容文)：
次の2つの円の共有点の座標を求めよ。
(1) x²+y²=5，x²+y²−4x−4y+7=0
(2) x²+y²−4y−4=0，x²+y²−2x=0
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次の2つの円の共有点の座標を求めよ。
(1) x²+y²=5，x²+y²−4x−4y+7=0
(2) x²+y²−4y−4=0，x²+y²−2x=0
2つの円 x²+y²=r²，x²+y²−6x+4y+4=0 が異なる2つの共有点をもつように，定数rの値の範囲を定めよ。ただし，r＞0 とする。【図形と方程式｜円と方程式】
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2つの円 x²+y²=r²，x²+y²−6x+4y+4=0 が異なる2つの共有点をもつように，定数rの値の範囲を定めよ。ただし，r＞0 とする。
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2つの円 x²+y²=r²，x²+y²−6x+4y+4=0 が異なる2つの共有点をもつように，定数rの値の範囲を定めよ。ただし，r＞0 とする。