福田次郎

福田のおもしろ数学082〜正方形の面積は

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
正方形ABCDの面積を求めよ。(※動画参照)

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福田の数学〜京都大学2024年文系第5問〜放物線の一部と直線が異なる2つの共有点をもつ条件

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

関数

y

=

x^{2}

－

4 x

+5 のグラフの

x

＞1 の部分をCとする。このとき、下の条件を満たすような正の実数

a

,

b

について、座標平面の点(

a

,

b

)が動く領域の面積を求めよ。
「Cと直線

y

=

a x

+

b

は二つの異なる共有点をもつ。」

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福田のおもしろ数学081〜京大の珍問奇問〜分母の有理化

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\frac{55}{2 \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 5}

を有理化せよ。

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福田の数学〜京都大学2024年文系第4問〜8進法9進法10進法で表して桁数の変わらない数

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

ある自然数を八進法、九進法、十進法でそれぞれ表したとき、桁数がすべて同じになった。このような自然数で最大のものを求めよ。ただし、必要なら次を用いてもよい。
0.3010＜

\log_{10} 2

＜0.3011,　0.4771＜

\log_{10} 3

＜0.4772

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福田のおもしろ数学080〜虚数係数の2次方程式

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
2次方程式　

x^{2}

+

i x

+2=0 を解け。

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福田の数学〜京都大学2024年文系第3問〜絶対値の付いた2次関数の最大値

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

a

は正の定数とする。次の関数の最大値を求めよ。

f (x)

=

| x^{2} - (a x + \frac{3}{4} a^{2}) |

+

a x

+

\frac{3}{4} a^{2}

(－1≦

x

≦1)

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福田のおもしろ数学079〜交差する三角柱の共通部分の体積

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
共通部分の体積を求めよ。(※動画参照)

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福田の数学〜京都大学2024年文系第2問〜立方体を塗り分ける確率

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

n

個の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を

p_{n}

とする。次の問いに答えよ。
(1)

p_{3}

を求めよ。
(2)

p_{4}

を求めよ。

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福田のおもしろ数学078〜条件式から式の値を求める

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

{\begin{matrix} a x + b y = 3 \\ a x^{2} + b y^{2} = 7 \\ a x^{3} + b y^{3} = 16 \\ a x^{4} + b y^{4} = 42 \end{matrix}

のとき

a x^{5} + b y^{5}

の値を求めよ。

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福田の数学〜京都大学2024年文系第1問〜四面体の体積

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

四面体OABCが次を満たすとする。
OA=OB=OC=1,　∠COA=∠COB=∠ACB,　∠AOB=90°
このとき、四面体OABCの体積を求めよ。

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福田のおもしろ数学077〜3通りの解法を考えよう〜4変数の式の最大値

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

a^{2}

+

b^{2}

=9,

c^{2}

+

d^{2}

=16 のとき

a b

+

c d

の最大値を求めよ。

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福田の数学〜京都大学2024年理系第6問〜桁数がn桁の数列の中に含まれる最高位1の項の割合

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

6

自然数

k

に対して、

a_{k}

=

2^{\sqrt{k}}

とする。

n

を自然数とし、

a_{k}

の整数部分が

n

桁であるような

k

の個数を

N_{n}

とする。また、

a_{k}

の整数部分が

n

桁であり、その最高位の数字が1であるような

k

の個数を

L_{n}

とする。次を求めよ。

lim_{n \to \infty} \frac{L_{n}}{N_{n}}

ただし、例えば実数2345.678 の整数部分2345は4桁で、最高位の数字は2である。

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福田のおもしろ数学076〜三角形の外接円の半径は

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
図の三角形ABCの外接円の半径を求めよ。(※動画参照)

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福田の数学〜京都大学2024年理系第5問〜指数関数で囲まれた図形の面積と極限

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

a

は

a

≧1を満たす定数とする。座標平面上で、次の4つの不等式が表す領域を

D_{a}

とする。

x

≧0,　

\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

≦

y

,　

y

≦

\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

,　

y

≦

a

次の問いに答えよ。
(1)

D_{a}

の面積

S_{a}

を求めよ。
(2)

lim_{a \to \infty} S_{a}

を求めよ。

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福田のおもしろ数学075〜1分チャレンジ〜扇形から作る円錐の体積

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
半径5、中心角288°の扇形をまるめて、円錐形のコップを作る。その容積は？

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福田の数学〜京都大学2024年理系第4問〜その項が偶数であるかないかで定義が変わる漸化式

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

与えられた自然数

a_{0}

に対して、自然数からなる数列

a_{0}

,

a_{1}

,

a_{2}

, ... を次のように定める。

a_{n + 1}

=

{\begin{matrix} \frac{a_{n}}{2} (a_{n} が 偶 数 の と き) \\ \frac{3 a_{n} + 1}{2} (a_{n} が 奇 数 の と き) \end{matrix}

次の問いに答えよ。
(1)

a_{0}

,

a_{1}

,

a_{2}

,

a_{3}

がすべて奇数であるような最小の自然数

a_{0}

を求めよ。
(2)

a_{0}

,

a_{1}

,...,

a_{10}

がすべて奇数であるような最小の自然数

a_{0}

を求めよ。

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福田のおもしろ数学074〜大小比較をしよう

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
1より小さい

n

個の正の数

a_{1}

,

a_{2}

,...,

a_{n}

に対して
1－

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

と(1-

a_{1}

)(1-

a_{2}

)...(1-

a_{n}

)
のどちらが大きいか。

n

≧2 とする。

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福田の数学〜京都大学2024年理系第3問〜2直線がねじれの位置になるための必要十分条件

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

座標空間の4点O,A,B,Cは同一平面上にないとする。線分OAの中点をP、線分ABの中点をQとする。実数

x

,

y

に対して、直線OC上の点Xと、直線BC上の点Yを次のように定める。

\vec{OX}

=

x \vec{OC}

,　

\vec{BY}

=

y \vec{BC}

このとき、直線QYと直線PXがねじれの位置にあるための

x

,

y

に関する必要十分条件を求めよ。

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福田のおもしろ数学073〜割り切れることを証明しよう

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
任意の自然数

n

に対して、

11^{n}

－

8^{n}

－

3^{n}

が24で割り切れることを証明せよ。

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福田の数学〜京都大学2024年理系第2問〜複素数平面上における点の軌跡と領域

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

| x |

≦2 を満たす複素数

x

と、

| y - (8 + 6 i) |

=3 を満たす複素数

y

に対して、

z

=

\frac{x + y}{2}

とする。このような複素数

z

が複素数平面において動く領域を図示し、その面積を求めよ。

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福田のおもしろ数学057〜灘中学の問題〜展開図を見て体積を求めよう

単元： #算数(中学受験)#過去問解説(学校別)#立体図形#体積・表面積・回転体・水量・変化のグラフ#立体図形その他#灘中学校

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
ある立体の展開図を、幅が 3cm の方眼紙にかくと、次の図のようになった。斜線をつけた三角形は正三角形である。また正方形でない四角形の面はすべて長方形である。この立体の体積を求めよ。

※図は動画内参照

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年理工学部第1問(2)〜漸化式とはさみうちの原理

単元： #大学入試過去問(数学)#漸化式#関数と極限#数列の極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
関数f(x)は実数全体で定義されており、

x ≦ 2

において

\frac{2}{3} - \frac{1}{3} x ≦ f (x) ≦ 2 - x

を満たしているものとする。数列{

a_{n}

}は漸化式

a_{n + 1} = a_{n} + f (a_{n})

を満たしているものとする。
(i)

a_{1} ≦ 2

ならば、すべての自然数nに対して、

a_{1} ≦ a_{n} ≦ 2

となる事を証明しなさい。
(ii)

a_{1} ≦ 2

ならば、

a_{1}

の値によらず

lim_{n \to \infty} a_{n} = 2

となる事を証明しなさい。

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福田のおもしろ数学056〜折り返し問題〜半円を折り返す

単元： #数A#数Ⅱ#図形の性質#方べきの定理と２つの円の関係#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
図は半円 O を点 C で接するように折り返したもので EF はその折り目である。EF と AB の交点を D とする。

A C = 6, B C = 2

のとき、 AD の長さを求めよ。
※図は動画内参照

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年理工学部第1問(1)〜6番目に大きい約数と6乗根に最も近い自然数

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)2024の約数の中で1番大きいものは2024だが,6番目に大きいものは

ア

である.
2024の6乗根に最も近い自然数は

イ

である.

2024慶應義塾大学理工過去問

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年理工学部第1問(1)〜6番目に大きい約数と6乗根に最も近い自然数

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#指数関数と対数関数#指数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
( 1 ) 2024 の約数の中で 1 番大きいものは 2024 だが、 6 番目に大きいものはアである。 2024 の 6 乗根に最も近い自然数はイである。

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福田のおもしろ数学055〜自然数を連続整数の和で表す方法〜偶奇性に注目しよう

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
2024をいくつかの連続する自然数の和で表せ。

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福田のおもしろ数学054〜不等式の再利用のコツ〜2つの不等式の証明

単元： #数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
前段の不等式をいかに利用するか？

a^{2} + b^{2} + c^{2} ≧ a b + b c + c a

a^{4} + b^{4} + c^{4} ≧ a b c (a + b + c)

を証明せよ！

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福田のおもしろ数学053〜数学オリンピックの幾何の問題〜線分の長さを求める

単元： #数A#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#図形の性質#方べきの定理と２つの円の関係#数学オリンピック#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
DB = BC = 2 , AB = AC, 直線 AC と直線 DC は点 A, D で円 O に接している。
直線AB と円 O の交点のうち A でない方を E とし、直線 CE と円 O の交点のうち E でない方を F とする。
線分 EF の長さを求めよ。
※図は動画内参照

数学オリンピック過去問

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福田の数学〜東京大学2018年理系第5問〜複素数平面上の点の軌跡

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
複素数平面上の原点を中心とする半径 1 の円を C とする。
点 P(z) は C 上にあり、点 A(I) とは異なるとする。
点 P における円 C の接線に関して、点 A と対称な点を Q(u) とする。

ω = \frac{1}{1 - u}

とおき

ω

と共役な複素数を

\overset{―}{ω}

で表す。

（１）uと

\frac{\overset{―}{ω}}{ω}

をzについての整数として表し、絶対値の値

\frac{| ω + \overset{―}{ω} - 1 |}{| ω |}

を求めよ。
（２）Cのうち実部が

\frac{1}{2}

以下の複素数平面で表される部分をCとする。点Ｐ(z)がＣ’上を動くときの点Ｒ(

ω

)の軌跡を求めよ。
　　

ω = x + y i

(x,yは実数)とおく。

2018東大理系過去問

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福田のおもしろ数学052〜余りの問題はこれができなきゃダメ〜余りを求める

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1111^{2018}

を 11111 で割った余りを求めてください。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田次郎

福田のおもしろ数学082〜正方形の面積は

福田の数学〜京都大学2024年文系第5問〜放物線の一部と直線が異なる2つの共有点をもつ条件

福田のおもしろ数学081〜京大の珍問奇問〜分母の有理化

福田の数学〜京都大学2024年文系第4問〜8進法9進法10進法で表して桁数の変わらない数

福田のおもしろ数学080〜虚数係数の2次方程式

福田の数学〜京都大学2024年文系第3問〜絶対値の付いた2次関数の最大値

福田のおもしろ数学079〜交差する三角柱の共通部分の体積

福田の数学〜京都大学2024年文系第2問〜立方体を塗り分ける確率

福田のおもしろ数学078〜条件式から式の値を求める

福田の数学〜京都大学2024年文系第1問〜四面体の体積

福田のおもしろ数学077〜3通りの解法を考えよう〜4変数の式の最大値

福田の数学〜京都大学2024年理系第6問〜桁数がn桁の数列の中に含まれる最高位1の項の割合

福田のおもしろ数学076〜三角形の外接円の半径は

福田の数学〜京都大学2024年理系第5問〜指数関数で囲まれた図形の面積と極限

福田のおもしろ数学075〜1分チャレンジ〜扇形から作る円錐の体積

福田の数学〜京都大学2024年理系第4問〜その項が偶数であるかないかで定義が変わる漸化式

福田のおもしろ数学074〜大小比較をしよう

福田の数学〜京都大学2024年理系第3問〜2直線がねじれの位置になるための必要十分条件

福田のおもしろ数学073〜割り切れることを証明しよう

福田の数学〜京都大学2024年理系第2問〜複素数平面上における点の軌跡と領域

福田のおもしろ数学057〜灘中学の問題〜展開図を見て体積を求めよう

福田の数学〜慶應義塾大学2024年理工学部第1問(2)〜漸化式とはさみうちの原理

福田のおもしろ数学056〜折り返し問題〜半円を折り返す

福田の数学〜慶應義塾大学2024年理工学部第1問(1)〜6番目に大きい約数と6乗根に最も近い自然数

福田の数学〜慶應義塾大学2024年理工学部第1問(1)〜6番目に大きい約数と6乗根に最も近い自然数

福田のおもしろ数学055〜自然数を連続整数の和で表す方法〜偶奇性に注目しよう

福田のおもしろ数学054〜不等式の再利用のコツ〜2つの不等式の証明

福田のおもしろ数学053〜数学オリンピックの幾何の問題〜線分の長さを求める

福田の数学〜東京大学2018年理系第5問〜複素数平面上の点の軌跡

福田のおもしろ数学052〜余りの問題はこれができなきゃダメ〜余りを求める