福田次郎
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福田の数学〜慶應義塾大学薬学部2025第1問(1)〜絶対不等式と2次関数の最大最小
単元：
#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次方程式と2次不等式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)$a$を実数とする。
$x$の$2$次関数$f(x)＝x^2-ax+a+2$は、
すべての実数$x$に対して$f(x)\geqq 0$を満たす。
(i)$a$の値の範囲は$\boxed{ア}$である。
(ii)$-2\leqq x\leqq 3$において、$f(x)$の最大値を$m$,
最大値を$M$とおく。
$m$が最大となるのは$a=\boxed{イ}$のときであり、
このとき$m=\boxed{ウ},M=\boxed{エ}$である。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)$a$を実数とする。
$x$の$2$次関数$f(x)＝x^2-ax+a+2$は、
すべての実数$x$に対して$f(x)\geqq 0$を満たす。
(i)$a$の値の範囲は$\boxed{ア}$である。
(ii)$-2\leqq x\leqq 3$において、$f(x)$の最大値を$m$,
最大値を$M$とおく。
$m$が最大となるのは$a=\boxed{イ}$のときであり、
このとき$m=\boxed{ウ},M=\boxed{エ}$である。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
福田のおもしろ数学460〜三角関数の変形
単元：
#数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
式の変形だけで
$\sin^3 18° + \sin^18°=\dfrac{1}{8}$
を証明して下さい。
＊$\sin18°$の値は求めないで！
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式の変形だけで
$\sin^3 18° + \sin^18°=\dfrac{1}{8}$
を証明して下さい。
＊$\sin18°$の値は求めないで！
福田の数学〜東北大学2025文系第4問〜2曲線で囲まれた2つの図形の面積が等しくなる条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$k$を正の実数とする。
曲線$y=x(x-2)^2$と
放物線$y=kx^2$で囲まれた$2$つの
部分の面積が等しくなるような
$k$の値を求めよ。
$2025$年東北大学文系過去問題
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$\boxed{4}$
$k$を正の実数とする。
曲線$y=x(x-2)^2$と
放物線$y=kx^2$で囲まれた$2$つの
部分の面積が等しくなるような
$k$の値を求めよ。
$2025$年東北大学文系過去問題
福田のおもしろ数学459〜不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正の数$a,b,c,d$が
$\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\geqq 4$
を満たすことを証明して下さい。
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正の数$a,b,c,d$が
$\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\geqq 4$
を満たすことを証明して下さい。
福田の数学〜東北大学2025文系第3問〜四面体を拡張した四角錐の位置ベクトル
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
四面体$OABC$において、
$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$とする。
点$D$は
$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$を満たすとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)四面体$OABC$の体積を$V$とするとき、
四角錐$OABDC$の体積を$V$を用いて表せ。
(2)$\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$で表せ。
(3)線分$AD$と線分$BC$の交点を$P$とするとき、
$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ。
(4)四面体$OABC$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとき、
線分$OD$の長さを求めよ。
$2025$年東北大学文系過去問題
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$\boxed{3}$
四面体$OABC$において、
$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$とする。
点$D$は
$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$を満たすとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)四面体$OABC$の体積を$V$とするとき、
四角錐$OABDC$の体積を$V$を用いて表せ。
(2)$\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$で表せ。
(3)線分$AD$と線分$BC$の交点を$P$とするとき、
$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ。
(4)四面体$OABC$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとき、
線分$OD$の長さを求めよ。
$2025$年東北大学文系過去問題
福田のおもしろ数学458〜関数方程式
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
整数から整数への関数$f(n)$が
$f(n)=f(n^2+n+1)$
を満たす偶関数であるとき、
$f(n)$を求めて下さい。
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整数から整数への関数$f(n)$が
$f(n)=f(n^2+n+1)$
を満たす偶関数であるとき、
$f(n)$を求めて下さい。
福田の数学〜東北大学2025理系第6問〜2つの正五角形の重なった図形の周の長さの最小値
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{6}$
$1$辺の長さが$1$の正五角形を$K$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$K$の対角線の長さを求めよ。
(2)$K$の周で囲まれた図形を$P$とする。
また、$P$を$K$の外接円の中心の周りに
角$\theta$だけ回転して得られる図形を$P_{\theta}$とする。
$P$と$P_{\theta}$の共通部分の周の長さを
$\ell_{\theta}$とする。
$\theta$が$0°\lt 72°$の範囲を動くとき、
$\ell_{\theta}$の最小値が$2\sqrt5$であることを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{6}$
$1$辺の長さが$1$の正五角形を$K$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$K$の対角線の長さを求めよ。
(2)$K$の周で囲まれた図形を$P$とする。
また、$P$を$K$の外接円の中心の周りに
角$\theta$だけ回転して得られる図形を$P_{\theta}$とする。
$P$と$P_{\theta}$の共通部分の周の長さを
$\ell_{\theta}$とする。
$\theta$が$0°\lt 72°$の範囲を動くとき、
$\ell_{\theta}$の最小値が$2\sqrt5$であることを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田のおもしろ数学457〜不定方程式の解
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 = 2(y+z) \\
x^6 = y^6 +z^6 + 31 (y^2+z^2)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たす正の整数$x,y,z$を求めて下さい。
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$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 = 2(y+z) \\
x^6 = y^6 +z^6 + 31 (y^2+z^2)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たす正の整数$x,y,z$を求めて下さい。
福田の数学〜東北大学2025理系第5問〜球面上の点と軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$S$を$xyz$空間内の原点$O(0,0,0)$を中心とする
半径$1$の球面とする。
また、点$P(a,b,c)$を
点$(0,0,1)$とは異なる球面$S$上の点とする。
点$P$と点$N$を通る直線$\ell$と$xy$平面との
交点を$Q$とおく。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)点$Q$の座標を$a,b,c$を用いて表せ。
(2)$xy$平面上の点$(p,q,0)$と点$N$を通る直線を
$m$とする。
直線$m$と球面$S$の交点のうち、
点$N$以外の交点の座標を$p,q$を用いて表せ。
(3)点$\left(0,0,\dfrac{1}{2}\right)$を通り、
ベクトル$(3,4,5)$に直交する
平面$\alpha$を考える。
点$P$が平面$\alpha$ト球面$S$との交わりを動くとき、
点$Q$は$xy$平面上の円周上を動くことを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{5}$
$S$を$xyz$空間内の原点$O(0,0,0)$を中心とする
半径$1$の球面とする。
また、点$P(a,b,c)$を
点$(0,0,1)$とは異なる球面$S$上の点とする。
点$P$と点$N$を通る直線$\ell$と$xy$平面との
交点を$Q$とおく。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)点$Q$の座標を$a,b,c$を用いて表せ。
(2)$xy$平面上の点$(p,q,0)$と点$N$を通る直線を
$m$とする。
直線$m$と球面$S$の交点のうち、
点$N$以外の交点の座標を$p,q$を用いて表せ。
(3)点$\left(0,0,\dfrac{1}{2}\right)$を通り、
ベクトル$(3,4,5)$に直交する
平面$\alpha$を考える。
点$P$が平面$\alpha$ト球面$S$との交わりを動くとき、
点$Q$は$xy$平面上の円周上を動くことを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田のおもしろ数学456〜5変数の連立方程式
単元：
#連立方程式#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数$x,y,z,w,t$に対して次の連立方程式を解け。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\hspace{ 2pt } x^5=y+y^5= \cdots ① \\
\hspace{ 2pt }y^5=z+z^5=\cdots ② \\\
\hspace{ 0.1pt }z^5=w+w^5=\cdots ③ \\\
\hspace{ 0.2pt }w^5=t+t^5=\cdots ④ \\\
\hspace{ 1pt }t^5=x+x^5= \cdots ⑤
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
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実数$x,y,z,w,t$に対して次の連立方程式を解け。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\hspace{ 2pt } x^5=y+y^5= \cdots ① \\
\hspace{ 2pt }y^5=z+z^5=\cdots ② \\\
\hspace{ 0.1pt }z^5=w+w^5=\cdots ③ \\\
\hspace{ 0.2pt }w^5=t+t^5=\cdots ④ \\\
\hspace{ 1pt }t^5=x+x^5= \cdots ⑤
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
福田の数学〜東北大学2025理系第4問〜2曲線の相接と面積の極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、
関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。
$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$
また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、
その共有点における
$2$つの曲線の接線が一致しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積
$S_n$を求めよ。
(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、
関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。
$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$
また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、
その共有点における
$2$つの曲線の接線が一致しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積
$S_n$を求めよ。
(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田のおもしろ数学455〜二重のシグマがかかった不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
任意の実数$a_1,a_2,\cdots a_n$に対して
$\displaystyle \sum_{j=1}^n \left(\displaystyle \sum_{i=1}^n \dfrac{a_ia_j}{i+j-1}\right)\geqq 0$
を証明して下さい。
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任意の実数$a_1,a_2,\cdots a_n$に対して
$\displaystyle \sum_{j=1}^n \left(\displaystyle \sum_{i=1}^n \dfrac{a_ia_j}{i+j-1}\right)\geqq 0$
を証明して下さい。
福田の数学〜東北大学2025理系第3問〜4次関数が極大値をもつ条件
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$a$を実数とし、関数$f(x)$を次のように定める。
$f(x)=x^4+\dfrac{4a}{3}x^3+(a+2)x^2$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)関数$f(x)$が極大値をもつような$a$のとり得る
値の範囲を求めよ。
(2)関数$f(x)$が$x=0$で極大値をもつような
$a$のとり得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
$a$を実数とし、関数$f(x)$を次のように定める。
$f(x)=x^4+\dfrac{4a}{3}x^3+(a+2)x^2$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)関数$f(x)$が極大値をもつような$a$のとり得る
値の範囲を求めよ。
(2)関数$f(x)$が$x=0$で極大値をもつような
$a$のとり得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田のおもしろ数学454〜積分に関するシュワルツの不等式の証明と等号成立条件
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#積分とその応用#不定積分#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$p\leqq x \leqq q$で定義された連続関数$f(x),ｇ(x)$に対して
$\left(\displaystyle \int_{p}^{q} f(x)^2 dx\right)\left(\displaystyle \int_{p}^{q}g(x)^2 dx \right) \geqq \left(\displaystyle \int_{p}^{q} f(x)g(x)dx\right)^2$
を証明して下さい。
また等号成立条件も調べて下さい。
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$p\leqq x \leqq q$で定義された連続関数$f(x),ｇ(x)$に対して
$\left(\displaystyle \int_{p}^{q} f(x)^2 dx\right)\left(\displaystyle \int_{p}^{q}g(x)^2 dx \right) \geqq \left(\displaystyle \int_{p}^{q} f(x)g(x)dx\right)^2$
を証明して下さい。
また等号成立条件も調べて下さい。
福田の数学〜東北大学2025理系第2問〜漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
正の実数からなる$2$つの数列$\{x_n\},\{y_n\}$を
次のように定める。
$x_1=2,y_1=\dfrac{1}{2},x_{n+1}=(y_n)^5･(y_n)^2,$
$ \hspace{ 80pt } y_{n+1}=x_n･(y_n)^6$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$k$を実数とする。
$a_n=\log_2 x_n,b_n=\log_2 y_n$とおく。
このとき、$\{a_n+kb_n\}$が等位数列になるような
$k$の値をすべて求めよ。
(2)数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{2}$
正の実数からなる$2$つの数列$\{x_n\},\{y_n\}$を
次のように定める。
$x_1=2,y_1=\dfrac{1}{2},x_{n+1}=(y_n)^5･(y_n)^2,$
$ \hspace{ 80pt } y_{n+1}=x_n･(y_n)^6$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$k$を実数とする。
$a_n=\log_2 x_n,b_n=\log_2 y_n$とおく。
このとき、$\{a_n+kb_n\}$が等位数列になるような
$k$の値をすべて求めよ。
(2)数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田のおもしろ数学453〜√nに最も近い奇数を並べた2025番目を求める
単元：
#計算と数の性質#数の性質その他#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
自然数$n$に対して
$\sqrt{n}$に最も近い奇数を$a_n$とする。
最も近い奇数が$2$つあるときはその小さい方とする。
$a_{2025}$を求めて下さい。
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自然数$n$に対して
$\sqrt{n}$に最も近い奇数を$a_n$とする。
最も近い奇数が$2$つあるときはその小さい方とする。
$a_{2025}$を求めて下さい。
福田の数学〜東北大学2025理系第1問〜反復試行の確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
原点を出発点として数直線上を動く点$P$がある。
試行(＊)を次のように定める。
(＊)
$1$枚の硬貨を$1$回投げて、
・表が出た場合は点$P$を正の向きに$1$だけ進める。
・裏が出た場合は$1$個のさいころを$1$回投げ、
奇数の目が出た場合は点$P$を正の向きに$1$だけ進める
偶数の目が出た場合は点$P$を負の向きに$2$だけ進める
ただし、硬貨を投げたとき裏表の出る確率は
それぞれ$\dfrac{1}{2}$,さいころを投げたとき
$1$から$6$までの整数の目の出る確率は
それぞれ$\dfrac{1}{6}$とする。
(1)試行(＊)を$3$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
(2)試行(＊)を$6$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
(3)$n$を$3$で割り切れない正の整数とする。
試行(＊)を$n$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{1}$
原点を出発点として数直線上を動く点$P$がある。
試行(＊)を次のように定める。
(＊)
$1$枚の硬貨を$1$回投げて、
・表が出た場合は点$P$を正の向きに$1$だけ進める。
・裏が出た場合は$1$個のさいころを$1$回投げ、
奇数の目が出た場合は点$P$を正の向きに$1$だけ進める
偶数の目が出た場合は点$P$を負の向きに$2$だけ進める
ただし、硬貨を投げたとき裏表の出る確率は
それぞれ$\dfrac{1}{2}$,さいころを投げたとき
$1$から$6$までの整数の目の出る確率は
それぞれ$\dfrac{1}{6}$とする。
(1)試行(＊)を$3$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
(2)試行(＊)を$6$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
(3)$n$を$3$で割り切れない正の整数とする。
試行(＊)を$n$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田のおもしろ数学452〜最大公約数と最小公倍数が与えられた3つの自然数を求める
単元：
#計算と数の性質#数の性質その他#約数・倍数を利用する問題#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$gcd(a,b)$は$a,b$の最大公約数
$Icm(a,b,c)$は$a,b,c$の最小公倍数を表す。
$x\lt y \lt z$を満たす正の整数$x,y,z$が
$gcd(x,y)=6,gcd(y,z)=10,gcd(z,x)=8$
$Icm(x,y,z)=2400$を満たしている。
$x,y,z$を求めてください。
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$gcd(a,b)$は$a,b$の最大公約数
$Icm(a,b,c)$は$a,b,c$の最小公倍数を表す。
$x\lt y \lt z$を満たす正の整数$x,y,z$が
$gcd(x,y)=6,gcd(y,z)=10,gcd(z,x)=8$
$Icm(x,y,z)=2400$を満たしている。
$x,y,z$を求めてください。
福田の数学〜北海道大学2025文系第4問〜関数方程式
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
関数$f(x)$は、
すべての実数$x$およびすべての整数$n$について
$f(nx)={f(x)}^n$を満たし、
さらに$f(1)=2$を満たすとする。
ただし、$f(x)$のとりうる値は$0$でない実数とする。
(1)$f(n) \leqq 100$となるような最大の整数$n$を求めよ。
(2)すべての実数$x$について
$f(x)\gt 0$であることを証明せよ。
(3)$f(0.25)$を求めよ。
(4)$a$が有理数のとき、$f(a)$を$a$で表せ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
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$\boxed{4}$
関数$f(x)$は、
すべての実数$x$およびすべての整数$n$について
$f(nx)={f(x)}^n$を満たし、
さらに$f(1)=2$を満たすとする。
ただし、$f(x)$のとりうる値は$0$でない実数とする。
(1)$f(n) \leqq 100$となるような最大の整数$n$を求めよ。
(2)すべての実数$x$について
$f(x)\gt 0$であることを証明せよ。
(3)$f(0.25)$を求めよ。
(4)$a$が有理数のとき、$f(a)$を$a$で表せ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
福田のおもしろ数学451〜最小公倍数の性質
単元：
#計算と数の性質#数の性質その他#約数・倍数を利用する問題#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$Icm(a,b,c)$は$a,b,c$の最小公倍数を表す。
$Icm(a,b,c)=Icm(Icm(a,b),c)$
$ \hspace{ 50pt } =Icm(a,Icm(b,c))$
を証明して下さい。
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$Icm(a,b,c)$は$a,b,c$の最小公倍数を表す。
$Icm(a,b,c)=Icm(Icm(a,b),c)$
$ \hspace{ 50pt } =Icm(a,Icm(b,c))$
を証明して下さい。
福田の数学〜北海道大学2025文系第3問〜3項間漸化式と数列の和
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
数列$\{a_n\}$を次のように定める。
$a_1=1,a_2=3,$
$(n+1)a_{n+2}-(2n+3)a_{n+1}+(n+2)a_n=0$
$\qquad (n=1,2,3,･･････)$
(1)$b_n=a_{n-1}-a_n$とおくと、
$b_{n+1}=\dfrac{n+2}{n+1}b_n \quad (n=1,2,3,･･････)$
が成り立つことを示せ。
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{225}\dfrac{1}{a_n}$の値を求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
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$\boxed{3}$
数列$\{a_n\}$を次のように定める。
$a_1=1,a_2=3,$
$(n+1)a_{n+2}-(2n+3)a_{n+1}+(n+2)a_n=0$
$\qquad (n=1,2,3,･･････)$
(1)$b_n=a_{n-1}-a_n$とおくと、
$b_{n+1}=\dfrac{n+2}{n+1}b_n \quad (n=1,2,3,･･････)$
が成り立つことを示せ。
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{225}\dfrac{1}{a_n}$の値を求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
福田のおもしろ数学450〜2円の共有点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$2$円$C_1 : x^2+y^2=4a^2$
$C_2:(x-3)^2:y^2+a^2 \quad (a\gt 0)$
の共有点の軌跡を求めよ。
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$2$円$C_1 : x^2+y^2=4a^2$
$C_2:(x-3)^2:y^2+a^2 \quad (a\gt 0)$
の共有点の軌跡を求めよ。
福田の数学〜北海道大学2025文系第2問〜数え上げと余弦定理
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
整数$a,b,c$は条件
$2\leqq a \lt b \lt c \leqq 6$を満たすとする。
(1)不等式$a+b\gt c$を満たすような
$(a+b+c)$をすべて挙げよ。
(2)不等式$a^2+b^2\geqq c^2$を満たすような
$(a+b+c)$をすべて挙げよ。
(3) (2)で求めた$(a,b,c)$について、
頂点$A,B,C$と向かい合う辺の長さがそれぞれ
$a,b,c$で与えられる$\triangle ABC$を考える。
このようなすべての$\triangle ABC$について
$\cos \angle ACB$を求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
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$\boxed{2}$
整数$a,b,c$は条件
$2\leqq a \lt b \lt c \leqq 6$を満たすとする。
(1)不等式$a+b\gt c$を満たすような
$(a+b+c)$をすべて挙げよ。
(2)不等式$a^2+b^2\geqq c^2$を満たすような
$(a+b+c)$をすべて挙げよ。
(3) (2)で求めた$(a,b,c)$について、
頂点$A,B,C$と向かい合う辺の長さがそれぞれ
$a,b,c$で与えられる$\triangle ABC$を考える。
このようなすべての$\triangle ABC$について
$\cos \angle ACB$を求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
福田のおもしろ数学449〜3次式が常に0以上となるxの範囲
単元：
#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数$a$に対して関数$f(x)$を考える。
$f(x)=x^3-2x^2+(2a-1)x-2a$
$0\leqq a \leqq 1$のとき、
常に$f(x)\geqq 0$となる$x$の範囲を求めよ。
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実数$a$に対して関数$f(x)$を考える。
$f(x)=x^3-2x^2+(2a-1)x-2a$
$0\leqq a \leqq 1$のとき、
常に$f(x)\geqq 0$となる$x$の範囲を求めよ。
福田の数学〜北海道大学2025文系第1問〜関数の増減と接線の方程式
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
関数$f(x)=x^3-6x^2-15x+30$について考える。
$y=f(x)$のグラフを$C$とおく。
(1)$f(x)$が極大値、
極小値をとるような$x$をそれぞれ求め、
$f(x)$の極大値、極小値を求めよ。
(2)$C$上の点$(-3,-6)$を通り、
$C$に接する直線の方程式をすべて求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
関数$f(x)=x^3-6x^2-15x+30$について考える。
$y=f(x)$のグラフを$C$とおく。
(1)$f(x)$が極大値、
極小値をとるような$x$をそれぞれ求め、
$f(x)$の極大値、極小値を求めよ。
(2)$C$上の点$(-3,-6)$を通り、
$C$に接する直線の方程式をすべて求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
福田のおもしろ数学448〜2変数の方程式の実数解
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\dfrac{x+6}{y}+\dfrac{13}{xy}=\dfrac{4-y}{x}$
を満たす実数の組$(x,y)$を求めよ。
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$\dfrac{x+6}{y}+\dfrac{13}{xy}=\dfrac{4-y}{x}$
を満たす実数の組$(x,y)$を求めよ。
福田の数学〜北海道大学2025理系第5問〜条件を満たす3つの整数を選び出す場合の数
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$n$を$3$以上の整数とする。
(1)$k$を整数とする。
$k\lt a\lt b \lt c \leqq k+n$を満たす
整数$a,b,c$の選び方の
総数を$n$の式で表せ。
(2)$1\leqq a \lt b \lt c \leqq 2n$を満たす
整数$a,b,c$のうち、
$a+b \gt c$となる$a,b,c$の選び方の総数を$L$とする。
このとき、$L\gt {}_n \mathrm{ C }_3 $であることを示せ。
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$\boxed{5}$
$n$を$3$以上の整数とする。
(1)$k$を整数とする。
$k\lt a\lt b \lt c \leqq k+n$を満たす
整数$a,b,c$の選び方の
総数を$n$の式で表せ。
(2)$1\leqq a \lt b \lt c \leqq 2n$を満たす
整数$a,b,c$のうち、
$a+b \gt c$となる$a,b,c$の選び方の総数を$L$とする。
このとき、$L\gt {}_n \mathrm{ C }_3 $であることを示せ。
福田のおもしろ数学447〜簡単な関数方程式を解こう
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正の実数の集合を$R^{+}$と表す。
$f:R^{+}→R^{+}$が任意の$x,y \in R^{+}$に対し
$f(x)f(y)＝f(xy)+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$
を満たしている。
このような$f(x)$をすべて求めて下さい。
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正の実数の集合を$R^{+}$と表す。
$f:R^{+}→R^{+}$が任意の$x,y \in R^{+}$に対し
$f(x)f(y)＝f(xy)+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$
を満たしている。
このような$f(x)$をすべて求めて下さい。
福田の数学〜北海道大学2025理系第3問〜部分積分と極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
実数$a$および自然数$n$に対して、定積分
$I(a,n)=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{ax} \sin (nx) dx$
を考える。ここで$e$は自然対数の底である。
(1)$I(a,n)$を求めよ。
(2)$a_n=\dfrac{\log _n}{2\pi} (n=1,2,3,\cdots)$のとき、
極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty} I(a_n,n)$を求めよ。
ただし、$\log_n$は$n$の自然対数である。
また、必要ならば$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\log_n}{n}=0$である
ことを用いてもよい。
$2025$年北海道大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
実数$a$および自然数$n$に対して、定積分
$I(a,n)=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{ax} \sin (nx) dx$
を考える。ここで$e$は自然対数の底である。
(1)$I(a,n)$を求めよ。
(2)$a_n=\dfrac{\log _n}{2\pi} (n=1,2,3,\cdots)$のとき、
極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty} I(a_n,n)$を求めよ。
ただし、$\log_n$は$n$の自然対数である。
また、必要ならば$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\log_n}{n}=0$である
ことを用いてもよい。
$2025$年北海道大学理系過去問題
福田のおもしろ数学446〜分数式の値が整数となるnをすべて求める
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\dfrac{n}{1!}+\dfrac{n^2}{2!}+\dfrac{n^3}{3!}+\cdots +\dfrac{n^{n-1}}{(n-1)!}+\dfrac{n^n}{n!}$
が整数になるような
正の整数$n$をすべて求めて下さい。
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$\dfrac{n}{1!}+\dfrac{n^2}{2!}+\dfrac{n^3}{3!}+\cdots +\dfrac{n^{n-1}}{(n-1)!}+\dfrac{n^n}{n!}$
が整数になるような
正の整数$n$をすべて求めて下さい。