青山学院大学

#青山学院大学2023#定積分_30#元高校教員

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#青山学院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos 3 x \cos \frac{x}{3} d x

出典：2023年　青山学院大学

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#青山学院大学2023#定積分_26#元高校教員

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#青山学院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} x d x

出典：2023年青山学院大学

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#青山学院大2019 #定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
以下の不定積分を解け。

\int \sin x \sin 2 x

d x

出典：2019年青山学院大学

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#青山学院大学(2006) #定積分 #Shorts

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{l o g 3} (e^{x} + e^{2 x} - 2 e^{- x}) d x

出典：2006年青山学院大学

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大学入試問題#847「もうネタ切れ寸前」　#青山学院大学(2006)　#定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数Ⅲ#青山学院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{1} {l o g (4 - x^{2}) + 2} d x

出典：2006年青山学院大学　入試問題

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大学入試問題#779「コメントするなら普通の問題」　青山学院大学(2021) #整数問題

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\sqrt{n^{2} + 2 n + 16}

が整数となるような整数

n

をすべて求めよ

出典：2021年青山学院大学

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大学入試問題#773「綺麗な良問」　青山学院大学(2019) #整数問題

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
素数

p . q

および自然数

n

に対し

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{p q} = \frac{1}{n}

が成り立つような

(p, q, n)

の組をすべて求めよ

出典：2019年青山学院大学

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大学入試問題#714「The basic integral problem」　青山学院大(2021)　定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{1}^{5} \frac{d x}{(x + 3) \sqrt{x + 1}}

出典：2021年青山学院大学　入試問題

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大学入試問題#654「特に工夫はなし」　青山学院大学(2012)　定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{2} (x^{2} + 2 x + 3) l o g (x + 1) d x

出典：2012年青山学院大学　入試問題

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大学入試問題#649「慌てない慌てない」　青山学院大(2006)　定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{1} x (1 + x^{2} \sin \frac{π x}{2}) d x

出典：2006年青山学院大学　入試問題

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大学入試問題#644 青山学院大(2022) #積分方程式

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x > 0

f (x) = \int_{1}^{e} l o g (x t) f (t) d t + x

のとき

f (x)

を求めよ

出典：2022年青山学院大学　入試問題

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福田の数学〜青山学院大学2023年理工学部第5問〜定積分で定義された数列と極限

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#積分とその応用#数列の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#数Ⅲ#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

a_{n}

=

\frac{1}{n!} \int_{1}^{e} (\log x)^{n} d x

　(

n

=1,2,3,...)とおく。
(1)

a_{1}

を求めよ。
(2)不等式0≦

a_{n}

≦

\frac{e - 1}{n!}

　が成り立つことを示せ。
(3)

n

≧2のとき、

a_{n}

=

\frac{e}{n!}

-

a_{n - 1}

　であることを示せ。
(4)

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 2}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k!}

　を求めよ。

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福田の数学〜青山学院大学2023年理工学部第4問〜関数の増減と実数解をもつ条件

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

(1)関数

y

=

- \frac{\cos 3 x}{\sin^{3} x}

　(0＜

x

＜

π

)
の増減と極値を調べ、そのグラフの概形を描け。ただし、グラフの凹凸は調べなくてよい。
(2)

a

を実数の定数とする。

x

についての方程式

- \cos 3 x

=

a \sin^{3} x

が

\frac{π}{6}

＜

x

＜

\frac{2 π}{3}

の範囲に実数解をもつような

a

の値の範囲を求めよ。

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福田の数学〜青山学院大学2023年理工学部第3問〜放物線上の4点で作る四角形の面積の最大

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

点Oを原点とするxy平面上の放物線

y

=

- x^{2}

+

4 x

を

C

とする。また、放物線

C

上に点A(4,0), P(

p

,

- p^{2} + 4 p

), Q(

q

,

- q^{2} + 4 q

)をとる。ただし、0＜

p

＜

q

＜4　とする。
(1)放物線

C

の接線のうち、直線APと傾きが等しいものを

l

とする。接線

l

の方程式を求めよ。
(2)点Pを固定する。点Qが

p

＜

q

＜4　を満たしながら動くとき、四角形OAQPの面積の最大値を

p

を用いて表せ。
(3)(2)で求めた四角形OAQPの面積の最大値を

S (p)

とおく。0＜

p

＜4　のとき、
関数

S (p)

の最大値を求めよ。

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福田の数学〜青山学院大学2023年理工学部第2問〜反復試行の確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

白石と黒石を手元にたくさん用意する。表が白色、裏が黒色の硬貨1枚を用いて、机の上で以下の操作を繰り返し行う。ただし、最初の操作は机の上に石が1個もない状態から始めるものとする。
操作：効果を投げ、出た色と異なる色の石が机の上にあればその中の1個を取り除き、なければ出た色と同じ色の石を手元から机の上に1個置く。
とくに、机の上に石が1個もなければ、次の回の操作では出た色と同じ色の石を手元から机の上に1個置く。
(1)3回目の操作後に机の上に石がちょうど3個ある確率は

\frac{ア}{イ}

である。
(2)6回目の操作後に机の上に石がちょうど2個ある確率は

\frac{ウ エ}{オ カ}

であり、石が1個もない確率は

\frac{キ}{ク ケ}

である。
(3)6回目の操作後に机の上にある石が2個以下であったときに、8回目の操作後に机の上にある石も2個以下である条件付き確率は

\frac{コ サ}{シ ス}

である。

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福田の数学〜青山学院大学2023年理工学部第1問〜空間ベクトルとと四面体の体積

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

座標空間の3点A(0,1,2), B(3,-2,2), C(-1,4,1)が定める平面を

α

とする。
原点Oから平面

α

に垂線を下ろし、

α

との交点をHとする。
(1)

\vec{A B}

・

\vec{A C}

=

ア イ ウ

(2)

△

ABCの面積は

\frac{エ \sqrt{オ}}{カ}

である。
(3)

\vec{A H}

=

\frac{キ}{ク ケ}

\vec{A B}

+

\frac{コ}{サ}

\vec{A C}

,　

\vec{O H}

=

\frac{シ \sqrt{ス}}{セ}

(4)四面体OHBCの体積は

\frac{ソ タ}{チ ツ}

である。

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青山学院大学(2007年) #Shorts

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#青山学院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{4} \frac{x^{2} + 1}{x + 1} d x

出典：2007年青山学院大学

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青山学院大

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
【青山学院大過去問】

AとB対戦

Aが勝つ確率

\frac{2}{3}

Bが勝つ確率

\frac{1}{3}

最大7試合でどちらかが4勝した時点で終了
第6試合で決着する確率

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青山学院大　放物線の中の四角形

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
青山学院大学過去問題

f (x) = - x^{2} + 4 x

原点O,A(4,0),P(p,f(p)),Q(q,f(q))　(0<p<q<4)
四角形OAQPの面積の最大値

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青山学院大　放物線の中の四角形

単元： #数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#数と式#図形の性質#図形と計量#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

f (x) = - x^{2} + 4 x

原点

O, A (4, 0), P (p, f_{(p)}), Q (q, f_{(q)})

(0 < p < q < 4)

四角形

O A Q P

の面積の最大値を求めよ.

青山学院大過去問

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青山学院大　微分の基礎

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
青山学院大学過去問題

C : y = x^{2}

A(-1,1),B(4,16)
放物線C上にx座標が

t (- 1 < t < 4)

である点P
直線AB上にx座標がtである点Qととる。
△APQの面積の最大値とそのときのtの値

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題094〜青山学院大学2020年度理工学部第５問〜グラフと面積と回転体の体積

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#体積・表面積・回転体・水量・変化のグラフ#数学(高校生)#数Ⅲ#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

関数

f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}

について、以下の問いに答えよ。
(1)y=f(x)のグラフの概形を描け。凹凸も調べること。
(2)原点をOとし、y=f(x)のグラフの変曲点のうちx座標が正のものをPとする。
直線OPとy軸、y=f(x)のグラフとで囲まれた図形をDとする。Dの面積Sを求めよ。
(3)(2)の図形Dをy軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。

2020青山学院大学理工学部過去問

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大学入試問題#358「チャートの例題に載ってもいいのかな？」　青山学院大学(2010)　#定積分　#極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#青山学院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{a \to \infty} \int_{1}^{0} (\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x}} - 1) d x

出典：2010年青山学院大学　入試問題

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大学入試問題#333　青山学院大学(2013)　#定積分　#極限

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#青山学院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{a \to \infty} \int_{0}^{l o g a} \frac{e^{x}}{e^{x} + a} d x

出典：2013年青山学院大学　入試問題

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福田の数学〜青山学院大学2022年理工学部第5問〜切り取られる弦の中点の軌跡

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
xy平面上に、円

C : (x - 5)^{2} + y^{2} = 5

と直線

l : y = m x

がある。
(1)Cとlが共有点を持つようなmの値の範囲を求めよ。
mの値が(1)で求めた範囲にあるとき、Cとlの2つの共有点をP,Qとし、
線分PQの中点をMとする。ただし、lがCに接するときはP=Q=Mとする。
(2)点Mの座標をmを用いて表せ。
(3)mが(1)で求めた範囲を動くときの点Mの軌跡を求め、図示せよ。
(4)原点からCに引いた2本の接線と(3)で求めた点Mの軌跡で囲まれた図形を
Dとする。図形Dをx軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。

2022青山学院大学理工学部過去問

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福田の数学〜青山学院大学2022年理工学部第４問〜部分積分と定積分で表された関数

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

x > 0

を定義域とする関数f(x)が次の等式

f (x) = \int_{1}^{e} \log (x t) f (t) d t + x

を満たすとき、以下の問いに答えよ。
(1)

\int_{1}^{e} \log x d x

を求めよ。
(2)

\int_{1}^{e} (\log x)^{2} d x

を求めよ。
(3)

\int_{1}^{e} x \log x d x

を求めよ。
(4)

f (x)

を求めよ。

2022青山学院大学理工学部過去問

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福田の数学〜青山学院大学2022年理工学部第３問〜関数の増減と極値

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#微分とその応用#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = \sqrt{1 - 2 \cos x} - \frac{1}{2} x

について以下の問いに答えよ。
(1)

f^{'} (x)

を求めよ。
(2)

f^{'} (x) > 0

となるxの値の範囲を求めよ。
(3)f(x)の増減を調べ、極値を求めよ。

2022青山学院大学理工学部過去問

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福田の数学〜青山学院大学2022年理工学部第２問〜平面ベクトルの直交と絶対値の最小

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#平面上のベクトル#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
四面体OABCは

O A = O B = 2, O C = 3, A B = 1, B C = 4

を満たすとする。また、三角形ABCの重心をGとするとき、

O G = \sqrt{2}

である。
(1)

\vec{O A} ・ \vec{O B} = \frac{ア}{イ},

\vec{O A} ・ \vec{O C} = \frac{ウ エ}{オ}

(2)

\vec{O G}

と

\vec{O A} + k \vec{O B}

が垂直であるのは

k = カ キ

のときである。
(3)

t

を実数とする。

| t \vec{O A} - 2 t \vec{O B} + \vec{O C} |

の最小値は

\frac{\sqrt{ク ケ コ}}{サ}

であり、
そのときのtの値は

\frac{シ ス}{セ}

である。

2022青山学院大学理工学部過去問

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福田の数学〜青山学院大学2022年理工学部第１問〜サイコロの目の約数倍数の確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
1個のさいころを3回投げるとき、出た目を順にX_1,X_2,X_3とする。
また、

Y = \frac{X_{2} X_{3}}{X_{1}}

とする。
(1)

X_{1} = 2

のとき、Yが整数となる確率は

\frac{ア}{イ}

である。

(2)

X_{1} = 3

のとき、Yが整数となる確率は

\frac{ウ}{エ} で あ る 。 (3)

X_1=4

の と き 、 Y が 整 数 と な る 確 率 は

\frac{\boxed{オ}}{\boxed{カキ}}

で あ る 。 (4) Y が 整 数 と な る 確 率 は

\frac{\boxed{クケ}}{\boxed{コサ}}$である。

2022青山学院大学理工学部過去問

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大学入試問題#302　青山学院大学(2010)　#定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{2 π} | \sin x + \cos 2 x | d x

出典：2010年青山学院大学　入試問題

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#青山学院大学2023#定積分_30#元高校教員

#青山学院大学2023#定積分_26#元高校教員

#青山学院大2019 #定積分

#青山学院大学(2006) #定積分 #Shorts

大学入試問題#847「もうネタ切れ寸前」 #青山学院大学(2006) #定積分

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大学入試問題#714「The basic integral problem」 青山学院大(2021) 定積分

大学入試問題#654「特に工夫はなし」 青山学院大学(2012) 定積分

大学入試問題#649「慌てない慌てない」 青山学院大(2006) 定積分

大学入試問題#644 青山学院大(2022) #積分方程式

福田の数学〜青山学院大学2023年理工学部第5問〜定積分で定義された数列と極限

福田の数学〜青山学院大学2023年理工学部第4問〜関数の増減と実数解をもつ条件

福田の数学〜青山学院大学2023年理工学部第3問〜放物線上の4点で作る四角形の面積の最大

福田の数学〜青山学院大学2023年理工学部第2問〜反復試行の確率

福田の数学〜青山学院大学2023年理工学部第1問〜空間ベクトルとと四面体の体積

青山学院大学(2007年) #Shorts

青山学院大

青山学院大 放物線の中の四角形

青山学院大 放物線の中の四角形

青山学院大 微分の基礎

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題094〜青山学院大学2020年度理工学部第５問〜グラフと面積と回転体の体積

大学入試問題#358「チャートの例題に載ってもいいのかな？」 青山学院大学(2010) #定積分 #極限

大学入試問題#333 青山学院大学(2013) #定積分 #極限

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福田の数学〜青山学院大学2022年理工学部第２問〜平面ベクトルの直交と絶対値の最小

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大学入試問題#302 青山学院大学(2010) #定積分

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青山学院大　放物線の中の四角形

青山学院大　放物線の中の四角形

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大学入試問題#358「チャートの例題に載ってもいいのかな？」　青山学院大学(2010)　#定積分　#極限

大学入試問題#333　青山学院大学(2013)　#定積分　#極限

大学入試問題#302　青山学院大学(2010)　#定積分