学校別大学入試過去問解説(数学)
学校別大学入試過去問解説(数学)
数学「大学入試良問集」【16−6 複素数平面と軌跡・回転移動】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$0 \lt a \lt 1$である定数$a$に対し、複素数平面上で$z=t+ai(t$は実数全体を動く$)$が表す直線を$l$とする。
ただし、$i$は虚数単位である。
（1）
複素数$z$が$l$上を動くとき、$z^2$が表す点の軌跡を図示せよ。
（2）
直線$l$を、原点を中心に角$\theta$だけ回転移動した直線を$m$とする。
$m$と（1）で求めた軌跡との交点の個数を$\sin\theta$の値で場合分けして求めよ。
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$0 \lt a \lt 1$である定数$a$に対し、複素数平面上で$z=t+ai(t$は実数全体を動く$)$が表す直線を$l$とする。
ただし、$i$は虚数単位である。
（1）
複素数$z$が$l$上を動くとき、$z^2$が表す点の軌跡を図示せよ。
（2）
直線$l$を、原点を中心に角$\theta$だけ回転移動した直線を$m$とする。
$m$と（1）で求めた軌跡との交点の個数を$\sin\theta$の値で場合分けして求めよ。
数学「大学入試良問集」【16−5 複素数平面と軌跡の図示】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数C
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$z$を複素数とし、$i$を虚数単位とする。
（1）$\displaystyle \frac{1}{z+i}+\displaystyle \frac{1}{z-i}$が実数となる点$z$全体の描く図面$P$を複素数平面上にそれぞれ図示せよ。
（2）$z$が上で求められた図形$P$上を動くときに$\omega=\displaystyle \frac{z+i}{z-i}$の描く図形を複素数平面上に図示せよ。
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$z$を複素数とし、$i$を虚数単位とする。
（1）$\displaystyle \frac{1}{z+i}+\displaystyle \frac{1}{z-i}$が実数となる点$z$全体の描く図面$P$を複素数平面上にそれぞれ図示せよ。
（2）$z$が上で求められた図形$P$上を動くときに$\omega=\displaystyle \frac{z+i}{z-i}$の描く図形を複素数平面上に図示せよ。
大学入試問題#47 横浜国立大学(2020) 複素数
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#横浜国立大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\alpha=\cos\displaystyle \frac{2}{7}\pi+i\ \sin\displaystyle \frac{2}{7}\pi$
$\beta=\alpha+\alpha^2+\alpha^4$
$r=\alpha^3+\alpha^5+\alpha^6$
（1）$\beta+r,\ \beta\ r$を求めよ。
（2）$\beta,r$を求めよ。
出典：2020年横浜国立大学 入試問題
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$\alpha=\cos\displaystyle \frac{2}{7}\pi+i\ \sin\displaystyle \frac{2}{7}\pi$
$\beta=\alpha+\alpha^2+\alpha^4$
$r=\alpha^3+\alpha^5+\alpha^6$
（1）$\beta+r,\ \beta\ r$を求めよ。
（2）$\beta,r$を求めよ。
出典：2020年横浜国立大学 入試問題
数学「大学入試良問集」【16−4 複素数平面と軌跡・領域】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#広島大学#数C
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
複素数平面上で不等式$2|z-2| \leqq |z-5| \leqq |z+1|$を満たす点$z$が描く図形を$D$とする。
（1）$D$を図示せよ。
（2）点$z$が$D$上を動くものとする。$argz=\theta$とするとき、$\tan\theta$のとりうる範囲を求めよ。
（3）$D$の面積を求めよ。
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複素数平面上で不等式$2|z-2| \leqq |z-5| \leqq |z+1|$を満たす点$z$が描く図形を$D$とする。
（1）$D$を図示せよ。
（2）点$z$が$D$上を動くものとする。$argz=\theta$とするとき、$\tan\theta$のとりうる範囲を求めよ。
（3）$D$の面積を求めよ。
大学入試問題#50 神戸大学2016 x軸回転体
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$a \gt 0$
$C_1:y=log\ x$
$c_2:y=ax^2$
$c_1$と$c_2$は接する。
$c_1,\ c_2,\ x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに1回転させてできる体積を求めよ。
出典：2016年神戸大学 入試問題
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$a \gt 0$
$C_1:y=log\ x$
$c_2:y=ax^2$
$c_1$と$c_2$は接する。
$c_1,\ c_2,\ x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに1回転させてできる体積を求めよ。
出典：2016年神戸大学 入試問題
大学入試問題#49 神戸大学(2021) 極値の判定
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$a$：実数
$f(x)=ax+\cos\ x+\displaystyle \frac{1}{2}\sin2x$が極値をもたないように$a$の値の範囲を求めよ。
出典：2010年神戸大学 入試問題
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$a$：実数
$f(x)=ax+\cos\ x+\displaystyle \frac{1}{2}\sin2x$が極値をもたないように$a$の値の範囲を求めよ。
出典：2010年神戸大学 入試問題
大学入試問題#48 神戸大学(2021) 定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1}x^3log(x^2+1)dx$を計算せよ。
出典：2021年神戸大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{1}x^3log(x^2+1)dx$を計算せよ。
出典：2021年神戸大学 入試問題
大学入試問題#46 岡山大学(2013) 曲面で囲まれた領域の面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岡山大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$x \gt 0$
曲線$y=|x-\displaystyle \frac{1}{x}|$と直線$y=2$で囲まれた領域の面積$S$を求めよ
出典：2013年岡山大学 入試問題
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$x \gt 0$
曲線$y=|x-\displaystyle \frac{1}{x}|$と直線$y=2$で囲まれた領域の面積$S$を求めよ
出典：2013年岡山大学 入試問題
数学「大学入試良問集」【16−3 ド・モアブルの定理と累乗の取り扱い】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$z$を絶対値が1の複素数とする。
このとき以下の問いに答えよ。
（1）$z^3-z$の実部が$0$となるような$z$をすべて求めよ。
（2）$z^5+z$の絶対値が1となるような$z$をすべて求めよ。
（3）$n$を自然数とする。$z^n+1$の絶対値が1となるような$z$となるような$z$をすべてかけ合わせて得られる複素数を求めよ。
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$z$を絶対値が1の複素数とする。
このとき以下の問いに答えよ。
（1）$z^3-z$の実部が$0$となるような$z$をすべて求めよ。
（2）$z^5+z$の絶対値が1となるような$z$をすべて求めよ。
（3）$n$を自然数とする。$z^n+1$の絶対値が1となるような$z$となるような$z$をすべてかけ合わせて得られる複素数を求めよ。
大学入試問題#45 岡山大学(2011) 行列
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岡山大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$t$:実数
$A=(\begin{eqnarray}
t\ t-1 \\
1-t\ 2-t
\end{eqnarray})$
$A^{2n}-tA^n$が$n$の値によらない行列になるとき、$t$の値を求めよ。
出典：2011年岡山大学 入試問題
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$t$:実数
$A=(\begin{eqnarray}
t\ t-1 \\
1-t\ 2-t
\end{eqnarray})$
$A^{2n}-tA^n$が$n$の値によらない行列になるとき、$t$の値を求めよ。
出典：2011年岡山大学 入試問題
数学「大学入試良問集」【16−2 複素数平面と三角形の形との関係】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
複素数平面上に三角形$ABC$があり、その頂点$A,B,C$を表す複素数をそれぞれ$z_1,z_2,z_3$とする。
複素数$\omega$に対して、$z_1=\omega z_3,z_2=\omega z_1,z_3=\omega z_2$が成り立つとき、次の各問いに答えよ。
（1）$1+\omega+\omega^2$の値を求めよ。
（2）三角形$ABC$はどんな形の三角形か。
（3）$z=z_1+2z_2+3z_3$の表す点を$D$とすると、三角形$OBD$はどんな形の三角形か。ただし、$O$は原点である。
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複素数平面上に三角形$ABC$があり、その頂点$A,B,C$を表す複素数をそれぞれ$z_1,z_2,z_3$とする。
複素数$\omega$に対して、$z_1=\omega z_3,z_2=\omega z_1,z_3=\omega z_2$が成り立つとき、次の各問いに答えよ。
（1）$1+\omega+\omega^2$の値を求めよ。
（2）三角形$ABC$はどんな形の三角形か。
（3）$z=z_1+2z_2+3z_3$の表す点を$D$とすると、三角形$OBD$はどんな形の三角形か。ただし、$O$は原点である。
大学入試問題#44 明治大学(2021) 複素数
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$|z|=2$のとき
$|z^2+iz-1|$のとりうる値の範囲を求めよ。
出典：2021年明治大学 入試問題
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$|z|=2$のとき
$|z^2+iz-1|$のとりうる値の範囲を求めよ。
出典：2021年明治大学 入試問題
大学入試問題#43 津田塾大学(2021) 複素数
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#津田塾大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$|z-5|=|z+5i|$
$|z-2i|=2$を満たす複素数$z$に対して$z^4$を求めよ。
出典：2021年津田塾大学 入試問題
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$|z-5|=|z+5i|$
$|z-2i|=2$を満たす複素数$z$に対して$z^4$を求めよ。
出典：2021年津田塾大学 入試問題
大学入試問題#42 慶應義塾大学(2021) 絶対値の定積分
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#不定積分#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$a:$実数
$f(x)=|x|+a$に対して$\displaystyle \int_{-5}^{5}|f(x)|dx$が最小となる$a$の値を求めよ。
出典：2021年慶應義塾大学 入試問題
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$a:$実数
$f(x)=|x|+a$に対して$\displaystyle \int_{-5}^{5}|f(x)|dx$が最小となる$a$の値を求めよ。
出典：2021年慶應義塾大学 入試問題
数学「大学入試良問集」【14−15 折れ線の最小値と空間ベクトル】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#鳥取大学#数C
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
点$A(1,2,4)$を通り、ベクトル$\vec{ n }=(-3,1,2)$に垂直な平面を$\alpha$とする。
平面$\alpha$に関して同じ側に2点$P(-2,1,7),Q(1,3,7)$がある。
次の問いに答えよ。
（1）
平面$\alpha$に関して点$P$と対称な点$R$の座標を求めよ。
（2）
平面$\alpha$上の点で、$PS+QS$を最小にする点$S$の座標とそのときの最小値を求めよ。
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点$A(1,2,4)$を通り、ベクトル$\vec{ n }=(-3,1,2)$に垂直な平面を$\alpha$とする。
平面$\alpha$に関して同じ側に2点$P(-2,1,7),Q(1,3,7)$がある。
次の問いに答えよ。
（1）
平面$\alpha$に関して点$P$と対称な点$R$の座標を求めよ。
（2）
平面$\alpha$上の点で、$PS+QS$を最小にする点$S$の座標とそのときの最小値を求めよ。
大学入試問題#41 東海大学医学部(2021) 因数分解
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#東海大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3$を因数分解せよ。
出典：2021年東海大学医学部 入試問題
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$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3$を因数分解せよ。
出典：2021年東海大学医学部 入試問題
大学入試問題#40 東京理科大学(2021) 数列と極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京理科大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$a_1=27$
$a_{n+1}=3\sqrt{ a_n }$を満たす数列$\{a_n\}$において
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }a_n$を求めよ。
出典：2021年東京理科大学 入試問題
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$a_1=27$
$a_{n+1}=3\sqrt{ a_n }$を満たす数列$\{a_n\}$において
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }a_n$を求めよ。
出典：2021年東京理科大学 入試問題
大学入試問題#39 東海大学医学部(2021) 整数問題
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#東海大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$n:$自然数
$n^3+100$が$n+10$で割り切れるような最大の$n$の値を求めよ。
出典：2021年東海大学医学部 入試問題
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$n:$自然数
$n^3+100$が$n+10$で割り切れるような最大の$n$の値を求めよ。
出典：2021年東海大学医学部 入試問題
数学「大学入試良問集」【14−14四面体の体積•平面と垂直な直線】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#大分大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
空間内に4点$A(0,0,0),B(2,1,1),C(-2,2,-4),D(1,2,-4)$がある。
（1）
$\angle BAC=\theta$とおくとき、$\cos\theta$の値と$\triangle ABC$の面積を求めよ。
（2）
$\overrightarrow{ AB }$と$\overrightarrow{ AC }$の両方に垂直なベクトルを1つ求めよ。
（3）
点$D$から、3点$A,B,C$を含む平面に垂直な直線を引き、その交点を$E$とするとき、線分$DE$の長さを求めよ。
（4）
四面体$ABCD$の体積を求めよ。
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空間内に4点$A(0,0,0),B(2,1,1),C(-2,2,-4),D(1,2,-4)$がある。
（1）
$\angle BAC=\theta$とおくとき、$\cos\theta$の値と$\triangle ABC$の面積を求めよ。
（2）
$\overrightarrow{ AB }$と$\overrightarrow{ AC }$の両方に垂直なベクトルを1つ求めよ。
（3）
点$D$から、3点$A,B,C$を含む平面に垂直な直線を引き、その交点を$E$とするとき、線分$DE$の長さを求めよ。
（4）
四面体$ABCD$の体積を求めよ。
数学「大学入試良問集」【14−13線分の長さの最小値】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
座標空間内で点$(3,4,0)$を通り、ベクトル$\vec{ a }=(1,1,1)$に平行な直線$l$、点$(2,-1,0)$を通り、ベクトル$\vec{ b }=(1,-2,0)$に平行な直線$m$とする。
点$P$は直線$l$上を、点$Q$は直線$m$上をそれぞれ勝手に動くとき、線分$PQ$の長さの最小値を求めよ。
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座標空間内で点$(3,4,0)$を通り、ベクトル$\vec{ a }=(1,1,1)$に平行な直線$l$、点$(2,-1,0)$を通り、ベクトル$\vec{ b }=(1,-2,0)$に平行な直線$m$とする。
点$P$は直線$l$上を、点$Q$は直線$m$上をそれぞれ勝手に動くとき、線分$PQ$の長さの最小値を求めよ。
数学「大学入試良問集」【14−12空間ベクトルと平面上の点】を宇宙一わかりやすく
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#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#帯広畜産大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
四面体$OABC$において、$\overrightarrow{ OA }=\vec{ a },\ \overrightarrow{ OB }=\vec{ b },\ \overrightarrow{ OC }=\vec{ c }$とする。
また、線分$OA$を$1:2$に内分する点を$P$、線分$AC$を$1:2$に内分する点を$Q$、線分$BC$を$2:3$に内分する点を$R$、線分$OB$を$t:(1-t)$に内分する点を$S$とする。
ただし、$0 \lt t \lt 1$とする。
（1）
$\overrightarrow{ PQ },\ \overrightarrow{ PR }$を$\vec{ a },\vec{ b },\vec{ c }$を用いて表しなさい。
（2）
適当な実数$k,l$を用いて$\overrightarrow{ PS }=k\overrightarrow{ PQ }+l\overrightarrow{ PR }$と表されるように、$t$の値を定めなさい。
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四面体$OABC$において、$\overrightarrow{ OA }=\vec{ a },\ \overrightarrow{ OB }=\vec{ b },\ \overrightarrow{ OC }=\vec{ c }$とする。
また、線分$OA$を$1:2$に内分する点を$P$、線分$AC$を$1:2$に内分する点を$Q$、線分$BC$を$2:3$に内分する点を$R$、線分$OB$を$t:(1-t)$に内分する点を$S$とする。
ただし、$0 \lt t \lt 1$とする。
（1）
$\overrightarrow{ PQ },\ \overrightarrow{ PR }$を$\vec{ a },\vec{ b },\vec{ c }$を用いて表しなさい。
（2）
適当な実数$k,l$を用いて$\overrightarrow{ PS }=k\overrightarrow{ PQ }+l\overrightarrow{ PR }$と表されるように、$t$の値を定めなさい。
大学入試問題#39 旭川医科大学改(2020) 定積分を利用した不等式の証明
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#旭川医科大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$n$は2以上の整数
$n\ log\ n-(n-1) \lt log2+log\ 3+・・・+log\ n$を示せ
出典：2020年旭川医科大学 入試問題
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$n$は2以上の整数
$n\ log\ n-(n-1) \lt log2+log\ 3+・・・+log\ n$を示せ
出典：2020年旭川医科大学 入試問題
数学「大学入試良問集」【14−11空間ベクトルと正四面体】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
四面体$OABC$の辺$AB$を$4:5$に内分する点を$D$、辺$OC$を$2:1$に内分する点を$E$とし、線分$DE$の中点を$P$、直線$OP$が平面$ABC$と交わる点を$Q$とする。
次の各問いに答えよ。
（1）
$\overrightarrow{ OA }=\vec{ a },\ \overrightarrow{ OB }=\vec{ b },\ \overrightarrow{ OC }=\vec{ c }$とおくとき、$\overrightarrow{ OP }$を$\vec{ a },\ \vec{ b },\ \vec{ c }$で表せ。
また、$\overrightarrow{ OP }$と$\overrightarrow{ OQ }$の大きさの比$|\overrightarrow{ OP }|:|\overrightarrow{ OQ }|$を最も簡単な整数比で表せ。
（2）
$\triangle ABQ$と$\triangle ABC$の面積比$\triangle ABQ:\triangle ABC$を最も簡単な整数比で表せ。
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四面体$OABC$の辺$AB$を$4:5$に内分する点を$D$、辺$OC$を$2:1$に内分する点を$E$とし、線分$DE$の中点を$P$、直線$OP$が平面$ABC$と交わる点を$Q$とする。
次の各問いに答えよ。
（1）
$\overrightarrow{ OA }=\vec{ a },\ \overrightarrow{ OB }=\vec{ b },\ \overrightarrow{ OC }=\vec{ c }$とおくとき、$\overrightarrow{ OP }$を$\vec{ a },\ \vec{ b },\ \vec{ c }$で表せ。
また、$\overrightarrow{ OP }$と$\overrightarrow{ OQ }$の大きさの比$|\overrightarrow{ OP }|:|\overrightarrow{ OQ }|$を最も簡単な整数比で表せ。
（2）
$\triangle ABQ$と$\triangle ABC$の面積比$\triangle ABQ:\triangle ABC$を最も簡単な整数比で表せ。
数学「大学入試良問集」【14−10空間ベクトルと正四面体】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#佐賀大学#数C
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
各辺の長さが1の正四面体$OABC$に対し、$OB$を$2:1$に内分する点を$D,OC$を2等分する点を$E,BC$を2等分にする点を$F$とする。
$DE$と$OF$の交点を$G$とするとき、以下の各問いに答えよ。
（1）$OG$の長さを求めよ。
（2）$AG$の長さを求めよ。
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各辺の長さが1の正四面体$OABC$に対し、$OB$を$2:1$に内分する点を$D,OC$を2等分する点を$E,BC$を2等分にする点を$F$とする。
$DE$と$OF$の交点を$G$とするとき、以下の各問いに答えよ。
（1）$OG$の長さを求めよ。
（2）$AG$の長さを求めよ。
大学入試問題#38 日本大学(2021) 三角関数
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#日本大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle \frac{5}{6}\pi$において
方程式
$3\sin(\theta+\displaystyle \frac{\pi}{3})+5\ \cos(\theta-\displaystyle \frac{\pi}{6})=0$を解け。
出典：2021年日本大学 入試問題
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$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle \frac{5}{6}\pi$において
方程式
$3\sin(\theta+\displaystyle \frac{\pi}{3})+5\ \cos(\theta-\displaystyle \frac{\pi}{6})=0$を解け。
出典：2021年日本大学 入試問題
大学入試問題#37 早稲田大学(2021) 整数問題
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$a,b,c:$実数
$0 \leqq a \leqq b \leqq c$
$a+b+c=7$を満たすとき
$ab,bc,ca$の最大値を求めよ。
出典：2021年早稲田大学 入試問題
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$a,b,c:$実数
$0 \leqq a \leqq b \leqq c$
$a+b+c=7$を満たすとき
$ab,bc,ca$の最大値を求めよ。
出典：2021年早稲田大学 入試問題
数学「大学入試良問集」【14−9ベクトルと反転】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$xy$平面において、原点$O$を通る半径$r(r \gt 0)$の円を$C$とし、その中心を$A$とする。
$O$を除く$C$上の点$P$に対し、次の２つの条件$(a),(b)$で定まる点$Q$を考える。
（a）$\overrightarrow{ OP }$と$\overrightarrow{ OQ }$の向きが同じ。
（b）$|\overrightarrow{ OP }||\overrightarrow{ OQ }|=1$
以下の問いに答えよ。
（1）
点$P$が$O$を除く$C$上を動くとき、点$Q$は$\overrightarrow{ OA }$に直交する直線状を動くことを示せ。
（2）
（1）の直線を$l$とする。
$l$が$C$と2点で交わるとき、$r$のとり得る値の範囲を求めよ。
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$xy$平面において、原点$O$を通る半径$r(r \gt 0)$の円を$C$とし、その中心を$A$とする。
$O$を除く$C$上の点$P$に対し、次の２つの条件$(a),(b)$で定まる点$Q$を考える。
（a）$\overrightarrow{ OP }$と$\overrightarrow{ OQ }$の向きが同じ。
（b）$|\overrightarrow{ OP }||\overrightarrow{ OQ }|=1$
以下の問いに答えよ。
（1）
点$P$が$O$を除く$C$上を動くとき、点$Q$は$\overrightarrow{ OA }$に直交する直線状を動くことを示せ。
（2）
（1）の直線を$l$とする。
$l$が$C$と2点で交わるとき、$r$のとり得る値の範囲を求めよ。
数学「大学入試良問集」【14−8ベクトルと軌跡と等式・不等式】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#鳥取大学#数C
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
平面上において同一直線上にない3点$A,B,C$があるとき、次の各問いに対して、それぞれの式をみたす点$P$の集合を求めよ。
（1）$\overrightarrow{ AP }+\overrightarrow{ BP }+\overrightarrow{ CP }=\overrightarrow{ AC }$
（2）$\overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AP }=\overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AB }$
（3）$\overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AC }+\overrightarrow{ AP }・\overrightarrow{ AP } \leqq \overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AP }＋\overrightarrow{ AC }・\overrightarrow{ AP }$
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平面上において同一直線上にない3点$A,B,C$があるとき、次の各問いに対して、それぞれの式をみたす点$P$の集合を求めよ。
（1）$\overrightarrow{ AP }+\overrightarrow{ BP }+\overrightarrow{ CP }=\overrightarrow{ AC }$
（2）$\overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AP }=\overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AB }$
（3）$\overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AC }+\overrightarrow{ AP }・\overrightarrow{ AP } \leqq \overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AP }＋\overrightarrow{ AC }・\overrightarrow{ AP }$
福田の数学〜立教大学2021年経済学部第３問〜直線の傾きと放物線との接線
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$aを実数の定数とする。座標平面上の放物線$C:y=-x^2+ax-\frac{(a-2-\sqrt3)^2}{4}$,
直線$l:y=(2+\sqrt3)x$がある。$l$と$x$軸のなす角を\$theta$とする。ただし$0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$とする。
このとき、次の各問いに答えよ。
(1)$C$と$l$の共有点のx座標をaを用いて表せ。
(2)$\tan\theta, \tan(\theta+\frac{\pi}{4}), \tan(\theta-\frac{\pi}{4})$の値をそれぞれ求めよ。
(3)y切片が2であり、lとのなす角が$\frac{\pi}{4}$である直線の方程式を全て求めよ。
(4)(3)で求めた直線のうち、傾きが負であるものを$m$とする。
$C$と$m$が接するときのaの値を求めよ。
また、そのとき、Cとmの接点の座標を求めよ。
(5)aを(4)で求めた値とするとき、$C,m$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
2021立教大学経済学部過去問
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${\Large\boxed{3}}$aを実数の定数とする。座標平面上の放物線$C:y=-x^2+ax-\frac{(a-2-\sqrt3)^2}{4}$,
直線$l:y=(2+\sqrt3)x$がある。$l$と$x$軸のなす角を\$theta$とする。ただし$0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$とする。
このとき、次の各問いに答えよ。
(1)$C$と$l$の共有点のx座標をaを用いて表せ。
(2)$\tan\theta, \tan(\theta+\frac{\pi}{4}), \tan(\theta-\frac{\pi}{4})$の値をそれぞれ求めよ。
(3)y切片が2であり、lとのなす角が$\frac{\pi}{4}$である直線の方程式を全て求めよ。
(4)(3)で求めた直線のうち、傾きが負であるものを$m$とする。
$C$と$m$が接するときのaの値を求めよ。
また、そのとき、Cとmの接点の座標を求めよ。
(5)aを(4)で求めた値とするとき、$C,m$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
2021立教大学経済学部過去問
大学入試問題#36 旭川医科大学(2020) 数列
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#旭川医科大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
数列$\{p_n\},\{q_n\}$は
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
p_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}p_n+\displaystyle \frac{1}{4}q_n-\displaystyle \frac{1}{4} \\
q_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}p_n+\displaystyle \frac{3}{4}q_n+\displaystyle \frac{1}{4}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$ を満たす。
（1）
$p_n+q_n=p_1+q_1$を示せ
（2）
一般項$p_n$を$p_1,q_1$を用いて表せ
（3）
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty p_n=1$のとき、$p_1,q_1$の値を求めよ。
出典：2020年旭川医科大学 入試問題
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数列$\{p_n\},\{q_n\}$は
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
p_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}p_n+\displaystyle \frac{1}{4}q_n-\displaystyle \frac{1}{4} \\
q_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}p_n+\displaystyle \frac{3}{4}q_n+\displaystyle \frac{1}{4}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$ を満たす。
（1）
$p_n+q_n=p_1+q_1$を示せ
（2）
一般項$p_n$を$p_1,q_1$を用いて表せ
（3）
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty p_n=1$のとき、$p_1,q_1$の値を求めよ。
出典：2020年旭川医科大学 入試問題