千葉大学

大学入試問題#603「もう飽きた？」　千葉大学(1989)　#極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

P_{n} = \sqrt[n]{\frac{(3 n)!}{(2 n)!}}

とおく
（1）

lim_{n \to \infty} \frac{P_{n}}{n}

を求めよ

（2）

lim_{n \to \infty} (\frac{n + 2}{n})^{P_{n}}

を求めよ

出典：1989年千葉大学　入試問題

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福田の数学〜千葉大学2023年第5問〜垂線の足の位置ベクトル

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

　点Oを原点とする座標平面において、点Aと点Bが

\vec{O A}

・

\vec{O A}

=5,　

\vec{O B}

・

\vec{O B}

=2,　

\vec{O A}

・

\vec{O B}

=3を満たすとする。
(1)

\vec{O B}

=

k \vec{O A}

　となるような実数

k

は存在しないことを示せ。
(2)点Bから直線OAに下ろした垂線とOAとの交点をHとする。

\vec{H B}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。
(3)実数

t

に対し、直線OA上の点Pを

\vec{O P}

=

t \vec{O A}

となるようにとる。同様に直線OB上の点Qを

\vec{O Q}

=(1-

t

)

\vec{O B}

となるようにとる。点Pを通り直線OAと直交する直線を

l_{1}

とし、点Qを通り直線OBと直交する直線を

l_{2}

とする。

l_{1}

と

l_{2}

の交点をRとするとき、

\vec{O R}

を

\vec{O A}

,

\vec{O B}

,

t

を用いて表せ。
(4)3点O,A,Bを通る円の中心をCとするとき、

\vec{O C}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。

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福田の数学〜千葉大学2023年第4問〜関数の増減と極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

　2つの実数

a

,

b

は0＜

b

＜

a

を満たすとする。関数

f (x)

=

\frac{1}{b} (e^{- (a - b) x} - e^{- a x})

の最大値を

M (a, b)

、最大値をとるときの

x

の値を

X (a, b)

と表す。ここで、

e

は自然対数の底である。
(1)

X (a, b)

を求めよ。
(2)極限

lim_{b \to + 0} X (a, b)

　を求めよ。
(3)極限

lim_{b \to + 0} M (a, b)

　を求めよ。

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福田の数学〜千葉大学2023年第3問〜2次関数と定積分で表された関数

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

　以下の問いに答えよ。
(1)

p

を実数とする。曲線

y

=|

x^{2}

+

x

-2|と直線

y

=

x

+

p

　の共有点の個数を求めよ。
(2)等式

f (x)

=

x^{2}

+

\int_{- 1}^{2} (x f (t) - t) d t

　を満たす関数

f (x)

を求めよ。

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福田の数学〜千葉大学2023年第2問〜反復試行の確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

　1個のさいころを投げて出た目によって得点を得るゲームを考える。出た目が1,2であれば得点は2、出た目が3であれば得点は1、出た目が4,5,6であれば得点は0とする。このゲームを

k

回繰り返すとき、得点の合計を

S_{k}

とする。
(1)

S_{2}

=3　となる確率を求めよ。
(2)

S_{3}

が奇数となる確率を求めよ。
(3)

S_{4}

≧

n

となる確率が

\frac{1}{9}

以下となる最小の整数

n

を求めよ。

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福田の数学〜千葉大学2023年第1問〜三角形の面積と軌跡

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　座標平面上に点O(0,0), A(0,2), B(

\sqrt{2}

, 1)をとる。線分OA上に点O、点Aと異なる点P(0,

p

)をとり、線分BP上の点Qを、

△

APQと

△

OBQの面積が等しくなるようにとる。
(1)直線BPを表す方程式を求めよ。
(2)

△

OBQの面積を

p

を用いて表せ。
(3)

p

が0＜

p

＜2の範囲を動くとき、点Qの軌跡を求めよ。

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千葉大　整数解を持つ条件

単元： #数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#整数の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
Pは素数であり,

P^{2} + (5 - P^{2}) x - 3 P = 0

が整数解をもつのは

P = 2

に限ることを示せ.

千葉大過去問

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千葉大　整数問題

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
Pは奇数の素数である.

N = (P + 1) (P + 3) (P + 5)

(1)Nは48の倍数であることを示せ.
(2)Nが144の倍数となるPを小さい順に5つ答えよ.

千葉大過去問

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大学入試問題#469「なんかワクワクする積分」　千葉大学2011　#定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f (x) = x \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 + t^{2}}

とおく

\int_{0}^{1} f (x) d x

を求めよ

出典：2011年千葉大学　入試問題

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題069〜千葉大学2017年度理系第8問〜放物線上の3点を頂点とする三角形の面積

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

8

tを0以上の実数とし、Oを原点とする座標平面上の2点P(

p, p^{2}

), Q(

q, q^{2}

)で3つの条件
PQ=2,　p＜q,　p+q=

\sqrt{t}

を満たすものを考える。

△ O P Q

の面積をSとする。ただし、点Pまたは点Qが原点Oと一致する場合はS=0とする。
(1) pとqをそれぞれtを用いて表せ。
(2) Sをtを用いて表せ。
(3) S=1となるようなtの個数を求めよ。

2017千葉大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題068〜千葉大学2017年度理系第１１問〜部分和で定義された数列の極限

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#千葉大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

11

　数列

{a_{n}}

を次の条件によって定める。

a_{1} = 2

,　　

a_{n + 1} = 1 + \frac{1}{1 - \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}}}

(n=1,2,3,

\dots

)
(1)

a_{5}

を求めよ。
(2)

a_{n + 1}

を

a_{n}

の式で表せ。
(3) 無限級数

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{a_{k}}

が収束することを示し、その和を求めよ。

2017千葉大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題032〜千葉大学2016年度理系第８問〜不等式の証明

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)

x > 0

において、不等式

\log x < x

を示せ。
(2)

1 < a < b

のとき、不等式

\frac{1}{\log a} - \frac{1}{\log b} < \frac{b - a}{a (\log a)^{2}}

を示せ。
(3)

x ≧ e

において、不等式

\int_{e}^{x} \frac{d t}{t \log (t + 1)} ≧ \log (\log x) + \frac{1}{2 (\log x)^{2}} - \frac{1}{2}

を示せ。ただし、eは自然対数の底である。

2016千葉大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題031〜千葉大学2016年度理系第２問〜格子点の個数

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面上に5点O

(0, 0), A (5, 0), B (0, 11), P (m, 0), Q (0, n)

をとる。
ただし、mとnは

1 ≦ m ≦ 5, 1 ≦ n ≦ 11

を満たす整数とする。
(1)三角形OABの内部に含まれる格子点の個数を求めよ。ただし、格子点とは
x座標とy座標が共に整数である点のことであり、内部には辺上の点は含まれない。

(2)三角形OPQの内部に含まれる格子点の個数が三角形OABの内部に含まれる
格子点の個数の半分になるような組(m,n)をすべて求めよ。

2016千葉大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題010〜千葉大学2015年度理系数学第６問〜論証と剰余類

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#推理と論証#推理と論証#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
k,m,nを自然数とする。以下の問いに答えよ。
(1)

2^{k}

を7で割った余りが4であるとする。このとき、kを3で割った余りは
2であることを示せ。

(2)

4 m + 5 n

が3で割り切れるとする。このとき、

2^{m n}

を7で割った余りは
4ではないことを示せ。

2015千葉大学理系過去問

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大学入試問題#323　千葉大学(2010)　#整数問題

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

3^{n} = k^{3} + 1

を満たす正の整数の組

(k, n)

をすべて求めよ。

出典：2010年千葉大学　入試問題

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大学入試問題#282　千葉大学医学部(2018)　#定積分　#極限

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f (x) = \int_{0}^{x} e^{t - x} \sin (t + x) d t

のとき

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}

を求めよ。

出典：2018年千葉大学医学部　入試問題

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整数問題！無限降下法を用いた証明！【数学入試問題】【千葉大学】

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：

n

が3以上の整数のとき,

x^{n} + 2 y^{n} = 4 z^{n}

を満たす自然数

x, y, z

は存在しないことを証明せよ。

千葉大過去問

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福田の数学〜千葉大学2022年理系第９問〜関数が常に増加する条件

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
rを正の実数とし、関数

f (x) = x + \frac{r}{\sqrt{1 + \sin^{2} x}}

を考える。
(1)

r = 1

のとき、f

(x)

は常に増加することを示せ。
(2)次の条件を満たす最大の正の実数cを求めよ。

条件:

0 < r < c

のときは

f (x)

が常に増加する。

2022千葉大学理系過去問

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福田の数学〜千葉大学2022年理系第８問〜定積分で著された式の極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
正の整数

m, n

に対して、

A (m, n) = (m + 1) n^{m + 1} \int_{o}^{\frac{1}{n}} x^{m} e^{- x} d x

とおく。
(1)

e^{- \frac{1}{n}} ≦ A (m, n) ≦ 1

　を証明せよ。
(2)各

m

に対して、

b_{m} = lim_{n \to \infty} A (m, n)

　を求めよ。
(3)各

n

に対して、

c_{n} = lim_{m \to \infty} A (m, n)

　を求めよ。

2022千葉大学理系過去問

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福田の数学〜千葉大学2022年理系第７問〜不定方程式の自然数解と漸化式で与えられた数列

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

x, y

についての方程式

x^{2} - 6 x y + y^{2} = 9 \dots \dots (*)

に関する次の問いに答えよ。
(1)

x, y

がともに正の整数であるような(*)の解のうち、yが最小であるものを
求めよ。
(2)数列

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots

が漸化式

a_{n + 2} - 6 a_{n + 1} + a_{n} = 0 (n = 1, 2, 3, \dots)

を満たすとする。このとき、

(x, y) = (a_{n + 1}, a_{n})

が(*)を満たすならば、

(x, y) = (a_{n + 2}, a_{n + 1})

も(*)を満たすことを示せ。
(3)(*)の整数解(x,y)は無数に存在することを示せ。

2022千葉大学理系過去問

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福田の数学〜千葉大学2022年理系第６問〜独立に動く空間上の２点の距離の最小

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標空間において、原点Oと点A(1,0,-1)と点B(0,5,0)がある。
実数

t

を用いて

t \vec{O A} + \vec{O B}

と表される点全体をlとする。また、平面xy平面上
の

y = x^{2}

を満たす点全体からなる曲線をCとする。
(1)曲線

C

上の点

P (a, a^{2}, 0)

を固定する。l上の点Qを、

\vec{O A}

と

\vec{P Q}

が垂直であるようにとる。このとき、点Qの座標をaを用いて表せ。
(2)曲線C上の点Rとl上の点Sのうち、

| \vec{R S} |

を最小にする点Rと点Sの
組み合わせを全て求めよ。また、そのときの

| \vec{R S} |

の値を求めよ。

2022千葉大学理系過去問

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福田の数学〜千葉大学2022年理系第５問〜n個のサイコロの目の積の確率

単元： #計算と数の性質#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#規則性（周期算・方陣算・数列・日暦算・N進法）#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
nを自然数とする。n個のサイコロを同時に投げ、出た目の積をMとおく。
(1)Mが2でも3でも割り切れない確率を求めよ。
(2)Mが2で割り切れるが、3でも4でも割り切れない確率を求めよ。
(3)Mが4では割り切れるが、3では割り切れない確率を求めよ。

2022千葉大学理系過去問

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福田の数学〜千葉大学2022年理系第４問〜不定方程式とユークリッドの互除法

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
0以上9999以下の整数を4桁で表示し、以下の操作を行うこととする。
ただし、 4桁で表示するとは、整数が100以上999以下の場合は千の位の数字を0、
10以上99以下の場合は千の位と百の位の数字を0、1以上9以下の場合は
千の位と百の位と十の位の数字を0、そして0はどの位の数字も0とすることである。
操作:千の位の数字と十の位の数字を入れ換える。さらに、百の位の数字と
一の位の数字を入れ換える。
また、整数Lに対し、操作によって得られた整数を

\bar{L}

と表す。
(1) Mを0以上9999以下の整数とし、

M = 100 x + y

のように整数

x, y (0 ≦ x ≦ 99,

0 ≦ y ≦ 99)

を用いて表す。操作によって得られた

\bar{M}

がMの

\frac{2}{3}

倍に3を足した数に等しいならば、

- 197 x + 298 y = 9

が成り立つことを証明せよ。
(2) Nが0以上 9999 以下の整数ならば、操作によって
得られた整数

\bar{N}

はNの

\frac{2}{3}

倍に1を足した数と等しくならないことを証明せよ。

2022千葉大学理系過去問

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福田の数学〜千葉大学2022年理系第３問〜折り返された放物線と直線の交点の個数と囲まれる面積の最小

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
次の問いに答えよ。
(1)aを実数とする。

y = a x

のグラフと

y = x | x - 2 |

のグラフの交点の個数が
最大となる

a

の範囲を求めよ。
(2)

0 ≦ a ≦ 2

とする。

S (a)

を

y = a x

のグラフと

y = x | x - 2 |

のグラフで
囲まれる図形の面積とする。

S (a)

をaの式で表せ。
(3)(2)で求めた

S (a)

を最小にするaの値を求めよ。

2022千葉大学理系過去問

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福田の数学〜千葉大学2022年理系第２問〜三角形と三角比

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面において、原点Oと点A(1,0)と点B(0,1)がある。

0 < t < 1

に対し、
線分BO,OA,ABのそれぞれを

t : (1 - t)

に内分する点をP,Q,Rとする。
(1)

△ P Q R

の面積をtの式で表せ。
(2)

△ P Q R

が二等辺三角形になるときのtの値を全て求めよ。
(3)

θ = ∠ R P Q

とする。(2)それぞれの場合に

\cos θ

を求めよ。

2022千葉大学理系過去問

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福田の数学〜九州大学2022年文系第３問〜高次方程式の解

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#九州大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

k

を実数とし、整式f(x)を

f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - k x^{2} + 2 k x - 64

で定める。方程式

f (x) = 0

が虚数解をもつとき、以下の問いに答えよ。
(1)f(x)は

x - 2

で割り切れることを示せ。
(2)方程式

f (x) = 0

は負の実数解をもつことを示せ。
(3)方程式

f (x) = 0

の全ての実数解が整数であり、
すべての虚数解の実部と虚部が共に整数であるとする。
このような

k

を全て求めよ。

2022九州大学文系過去問

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素数を扱え！整数問題【数学入試問題】【千葉大学】

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：

p

は奇数である素数とし、

N = (p + 1) (p + 3) (p + 5)

とおく。
(1)

N

は

48

の倍数であることを示せ。
(2)

N

は

144

の倍数になるような

p

の値を小さい順に

3

つ求めよ。

千葉大過去問

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福田の数学〜千葉大学2022年理系第１問〜確率の基本性質

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
円周を12等分するように点

A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots, A_{12}

が時計回りに並んでいる。
また、白球2個と黒球4個が入った袋がある。点Pを、次の操作によって
12個の点上を移動させる。
操作:袋から球を一つ取り出した後にサイコロを投げる。白球ならば時計回りに、
黒球ならば反時計回りに、サイコロの目の数だけPを移動させる。
取り出した球は袋に戻さないこととする。
Pを最初に点

A_{1}

に置く。操作を1回行い、Pが

A_{1}

から移動した点をQとおく。
続けて操作を1回行い、PがQから移動した点をRとおく。
もう一度操作を行い、 PがRから移動した点をSとおく。
(1)

R = A_{1}

となる確率を求めよ。
(2)3点Q, R, Sを結んでできる図形が正三角形となる確率を求めよ。

2022千葉大学理系過去問

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整数問題　千葉大（医）類題

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
整数

k, n

を

k^{2} = 3^{n} + 360

全て求めよ。

千葉大(医)過去問

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大学入試問題#98　千葉大学医学部(2018)　積分・極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#不定積分#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
（1）

f (x) = \int_{0}^{x} e^{t - x} \sin (t + x) d t

を求めよ。

（2）

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}

を求めよ。

出典：2018年千葉大学　入試問題

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