千葉大学
千葉大学
福田の数学〜千葉大学2023年第4問〜関数の増減と極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 2つの実数$a$,$b$は0＜$b$＜$a$を満たすとする。関数
$f(x)$=$\displaystyle\frac{1}{b}\left(e^{-(a-b)x}-e^{-ax}\right)$
の最大値を$M(a,b)$、最大値をとるときの$x$の値を$X(a,b)$と表す。ここで、$e$は自然対数の底である。
(1)$X(a,b)$を求めよ。
(2)極限$\displaystyle\lim_{b \to +0}X(a,b)$ を求めよ。
(3)極限$\displaystyle\lim_{b \to +0}M(a,b)$ を求めよ。
この動画を見る
$\Large\boxed{4}$ 2つの実数$a$,$b$は0＜$b$＜$a$を満たすとする。関数
$f(x)$=$\displaystyle\frac{1}{b}\left(e^{-(a-b)x}-e^{-ax}\right)$
の最大値を$M(a,b)$、最大値をとるときの$x$の値を$X(a,b)$と表す。ここで、$e$は自然対数の底である。
(1)$X(a,b)$を求めよ。
(2)極限$\displaystyle\lim_{b \to +0}X(a,b)$ を求めよ。
(3)極限$\displaystyle\lim_{b \to +0}M(a,b)$ を求めよ。
福田の数学〜千葉大学2023年第3問〜2次関数と定積分で表された関数
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 以下の問いに答えよ。
(1)$p$を実数とする。曲線$y$=|$x^2$+$x$-2|と直線$y$=$x$+$p$ の共有点の個数を求めよ。
(2)等式$f(x)$=$x^2$+$\displaystyle\int_{-1}^2(xf(t)-t)dt$ を満たす関数$f(x)$を求めよ。
この動画を見る
$\Large\boxed{3}$ 以下の問いに答えよ。
(1)$p$を実数とする。曲線$y$=|$x^2$+$x$-2|と直線$y$=$x$+$p$ の共有点の個数を求めよ。
(2)等式$f(x)$=$x^2$+$\displaystyle\int_{-1}^2(xf(t)-t)dt$ を満たす関数$f(x)$を求めよ。
福田の数学〜千葉大学2023年第2問〜反復試行の確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 1個のさいころを投げて出た目によって得点を得るゲームを考える。出た目が1,2であれば得点は2、出た目が3であれば得点は1、出た目が4,5,6であれば得点は0とする。このゲームを$k$回繰り返すとき、得点の合計を$S_k$とする。
(1)$S_2$=3 となる確率を求めよ。
(2)$S_3$が奇数となる確率を求めよ。
(3)$S_4$≧$n$となる確率が$\frac{1}{9}$以下となる最小の整数$n$を求めよ。
この動画を見る
$\Large\boxed{2}$ 1個のさいころを投げて出た目によって得点を得るゲームを考える。出た目が1,2であれば得点は2、出た目が3であれば得点は1、出た目が4,5,6であれば得点は0とする。このゲームを$k$回繰り返すとき、得点の合計を$S_k$とする。
(1)$S_2$=3 となる確率を求めよ。
(2)$S_3$が奇数となる確率を求めよ。
(3)$S_4$≧$n$となる確率が$\frac{1}{9}$以下となる最小の整数$n$を求めよ。
福田の数学〜千葉大学2023年第1問〜三角形の面積と軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 座標平面上に点O(0,0), A(0,2), B($\sqrt 2$, 1)をとる。線分OA上に点O、点Aと異なる点P(0,$p$)をとり、線分BP上の点Qを、$\triangle$APQと$\triangle$OBQの面積が等しくなるようにとる。
(1)直線BPを表す方程式を求めよ。
(2)$\triangle$OBQの面積を$p$を用いて表せ。
(3)$p$が0＜$p$＜2の範囲を動くとき、点Qの軌跡を求めよ。
この動画を見る
$\Large\boxed{1}$ 座標平面上に点O(0,0), A(0,2), B($\sqrt 2$, 1)をとる。線分OA上に点O、点Aと異なる点P(0,$p$)をとり、線分BP上の点Qを、$\triangle$APQと$\triangle$OBQの面積が等しくなるようにとる。
(1)直線BPを表す方程式を求めよ。
(2)$\triangle$OBQの面積を$p$を用いて表せ。
(3)$p$が0＜$p$＜2の範囲を動くとき、点Qの軌跡を求めよ。
千葉大 整数解を持つ条件
単元：
#数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#整数の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
Pは素数であり,
$P^2+(5-P^2)x-3P=0$が整数解をもつのは$P=2$に限ることを示せ.
千葉大過去問
この動画を見る
Pは素数であり,
$P^2+(5-P^2)x-3P=0$が整数解をもつのは$P=2$に限ることを示せ.
千葉大過去問
千葉大 整数問題
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
Pは奇数の素数である.
$N=(P+1)(P+3)(P+5)$
(1)Nは48の倍数であることを示せ.
(2)Nが144の倍数となるPを小さい順に5つ答えよ.
千葉大過去問
この動画を見る
Pは奇数の素数である.
$N=(P+1)(P+3)(P+5)$
(1)Nは48の倍数であることを示せ.
(2)Nが144の倍数となるPを小さい順に5つ答えよ.
千葉大過去問
大学入試問題#469「なんかワクワクする積分」 千葉大学2011 #定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$f(x)=x\displaystyle \int_{0}^{x} \displaystyle \frac{dt}{1+t^2}$とおく
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx$を求めよ
出典：2011年千葉大学 入試問題
この動画を見る
$f(x)=x\displaystyle \int_{0}^{x} \displaystyle \frac{dt}{1+t^2}$とおく
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx$を求めよ
出典：2011年千葉大学 入試問題
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題069〜千葉大学2017年度理系第8問〜放物線上の3点を頂点とする三角形の面積
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{8}}$ tを0以上の実数とし、Oを原点とする座標平面上の2点P($p, p^2$), Q($q, q^2$)で3つの条件
PQ=2, p＜q, p+q=$\sqrt t$
を満たすものを考える。$\triangle OPQ$の面積をSとする。ただし、点Pまたは点Qが原点Oと一致する場合はS=0とする。
(1) pとqをそれぞれtを用いて表せ。
(2) Sをtを用いて表せ。
(3) S=1となるようなtの個数を求めよ。
2017千葉大学理系過去問
この動画を見る
$\Large{\boxed{8}}$ tを0以上の実数とし、Oを原点とする座標平面上の2点P($p, p^2$), Q($q, q^2$)で3つの条件
PQ=2, p＜q, p+q=$\sqrt t$
を満たすものを考える。$\triangle OPQ$の面積をSとする。ただし、点Pまたは点Qが原点Oと一致する場合はS=0とする。
(1) pとqをそれぞれtを用いて表せ。
(2) Sをtを用いて表せ。
(3) S=1となるようなtの個数を求めよ。
2017千葉大学理系過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題068〜千葉大学2017年度理系第１１問〜部分和で定義された数列の極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#千葉大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{11}}$ 数列$\left\{a_n\right\}$を次の条件によって定める。
$a_1=2$, $a_{n+1}=1+\frac{1}{\displaystyle1-\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}}$ (n=1,2,3,$\cdots$)
(1) $a_5$を求めよ。
(2) $a_{n+1}$を$a_n$の式で表せ。
(3) 無限級数$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_k}$が収束することを示し、その和を求めよ。
2017千葉大学理系過去問
この動画を見る
$\Large{\boxed{11}}$ 数列$\left\{a_n\right\}$を次の条件によって定める。
$a_1=2$, $a_{n+1}=1+\frac{1}{\displaystyle1-\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}}$ (n=1,2,3,$\cdots$)
(1) $a_5$を求めよ。
(2) $a_{n+1}$を$a_n$の式で表せ。
(3) 無限級数$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_k}$が収束することを示し、その和を求めよ。
2017千葉大学理系過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題032〜千葉大学2016年度理系第８問〜不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)$x \gt 0$において、不等式$\log x \lt x $を示せ。
(2)$1 \lt a \lt b$のとき、不等式
$\frac{1}{\log a}-\frac{1}{\log b} \lt \frac{b-a}{a(\log a)^2}$
を示せ。
(3)$x \geqq e$において、不等式
$\int_e^x\frac{dt}{t\log(t+1)} \geqq \log(\log x)+\frac{1}{2(\log x)^2}-\frac{1}{2}$
を示せ。ただし、eは自然対数の底である。
2016千葉大学理系過去問
この動画を見る
以下の問いに答えよ。
(1)$x \gt 0$において、不等式$\log x \lt x $を示せ。
(2)$1 \lt a \lt b$のとき、不等式
$\frac{1}{\log a}-\frac{1}{\log b} \lt \frac{b-a}{a(\log a)^2}$
を示せ。
(3)$x \geqq e$において、不等式
$\int_e^x\frac{dt}{t\log(t+1)} \geqq \log(\log x)+\frac{1}{2(\log x)^2}-\frac{1}{2}$
を示せ。ただし、eは自然対数の底である。
2016千葉大学理系過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題031〜千葉大学2016年度理系第２問〜格子点の個数
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
座標平面上に5点O$(0,0), A(5,0), B(0,11), P(m,0), Q(0,n)$をとる。
ただし、mとnは$1 \leqq m \leqq 5,1 \leqq n \leqq 11$を満たす整数とする。
(1)三角形OABの内部に含まれる格子点の個数を求めよ。ただし、格子点とは
x座標とy座標が共に整数である点のことであり、内部には辺上の点は含まれない。
(2)三角形OPQの内部に含まれる格子点の個数が三角形OABの内部に含まれる
格子点の個数の半分になるような組(m,n)をすべて求めよ。
2016千葉大学理系過去問
この動画を見る
座標平面上に5点O$(0,0), A(5,0), B(0,11), P(m,0), Q(0,n)$をとる。
ただし、mとnは$1 \leqq m \leqq 5,1 \leqq n \leqq 11$を満たす整数とする。
(1)三角形OABの内部に含まれる格子点の個数を求めよ。ただし、格子点とは
x座標とy座標が共に整数である点のことであり、内部には辺上の点は含まれない。
(2)三角形OPQの内部に含まれる格子点の個数が三角形OABの内部に含まれる
格子点の個数の半分になるような組(m,n)をすべて求めよ。
2016千葉大学理系過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題010〜千葉大学2015年度理系数学第６問〜論証と剰余類
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#推理と論証#推理と論証#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
k,m,nを自然数とする。以下の問いに答えよ。
(1)$2^k$を7で割った余りが4であるとする。このとき、kを3で割った余りは
2であることを示せ。
(2)$4m+5n$が3で割り切れるとする。このとき、$2^{mn}$を7で割った余りは
4ではないことを示せ。
2015千葉大学理系過去問
この動画を見る
k,m,nを自然数とする。以下の問いに答えよ。
(1)$2^k$を7で割った余りが4であるとする。このとき、kを3で割った余りは
2であることを示せ。
(2)$4m+5n$が3で割り切れるとする。このとき、$2^{mn}$を7で割った余りは
4ではないことを示せ。
2015千葉大学理系過去問
大学入試問題#323 千葉大学(2010) #整数問題
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$3^n=k^3+1$を満たす正の整数の組$(k,n)$をすべて求めよ。
出典：2010年千葉大学 入試問題
この動画を見る
$3^n=k^3+1$を満たす正の整数の組$(k,n)$をすべて求めよ。
出典：2010年千葉大学 入試問題
大学入試問題#282 千葉大学医学部(2018) #定積分 #極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}e^{t-x}\sin(t+x)dt$のとき
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 }\displaystyle \frac{f(x)}{x}$を求めよ。
出典：2018年千葉大学医学部 入試問題
この動画を見る
$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}e^{t-x}\sin(t+x)dt$のとき
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 }\displaystyle \frac{f(x)}{x}$を求めよ。
出典：2018年千葉大学医学部 入試問題
整数問題！無限降下法を用いた証明！【数学 入試問題】【千葉大学】
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$n$が3以上の整数のとき,$x^n+2y^n=4z^n$を満たす自然数$x,y,z$は存在しないことを証明せよ。
千葉大過去問
この動画を見る
$n$が3以上の整数のとき,$x^n+2y^n=4z^n$を満たす自然数$x,y,z$は存在しないことを証明せよ。
千葉大過去問
福田の数学〜千葉大学2022年理系第９問〜関数が常に増加する条件
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
rを正の実数とし、関数
$f(x)=x+\frac{r}{\sqrt{1+\sin^2x}}$
を考える。
(1)$r=1$のとき、f$(x)$は常に増加することを示せ。
(2)次の条件を満たす最大の正の実数cを求めよ。
条件:$0 \lt r \lt c$のときは$f(x)$が常に増加する。
2022千葉大学理系過去問
この動画を見る
rを正の実数とし、関数
$f(x)=x+\frac{r}{\sqrt{1+\sin^2x}}$
を考える。
(1)$r=1$のとき、f$(x)$は常に増加することを示せ。
(2)次の条件を満たす最大の正の実数cを求めよ。
条件:$0 \lt r \lt c$のときは$f(x)$が常に増加する。
2022千葉大学理系過去問
福田の数学〜千葉大学2022年理系第８問〜定積分で著された式の極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正の整数$m,n$に対して、
$A(m,n)=(m+1)n^{m+1}\int_o^{\frac{1}{n}}x^me^{-x}dx$
とおく。
(1)$e^{-\frac{1}{n}} \leqq A(m,n) \leqq 1$ を証明せよ。
(2)各$m$に対して、$b_m=\lim_{n \to \infty}A(m,n)$ を求めよ。
(3)各$n$に対して、$c_n=\lim_{m \to \infty}A(m,n)$ を求めよ。
2022千葉大学理系過去問
この動画を見る
正の整数$m,n$に対して、
$A(m,n)=(m+1)n^{m+1}\int_o^{\frac{1}{n}}x^me^{-x}dx$
とおく。
(1)$e^{-\frac{1}{n}} \leqq A(m,n) \leqq 1$ を証明せよ。
(2)各$m$に対して、$b_m=\lim_{n \to \infty}A(m,n)$ を求めよ。
(3)各$n$に対して、$c_n=\lim_{m \to \infty}A(m,n)$ を求めよ。
2022千葉大学理系過去問
福田の数学〜千葉大学2022年理系第７問〜不定方程式の自然数解と漸化式で与えられた数列
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x,y$についての方程式
$x^2-6xy+y^2=9 \ldots\ldots(*)$
に関する次の問いに答えよ。
(1)$x,y$がともに正の整数であるような(*)の解のうち、yが最小であるものを
求めよ。
(2)数列$a_1,a_2,a_3,\ldots$が漸化式
$a_{n+2}-6a_{n+1}+a_n=0 (n=1,2,3,\ldots)$
を満たすとする。このとき、$(x,y)=(a_{n+1},a_n)$が(*)を満たすならば、
$(x,y)=(a_{n+2},a_{n+1})$も(*)を満たすことを示せ。
(3)(*)の整数解(x,y)は無数に存在することを示せ。
2022千葉大学理系過去問
この動画を見る
$x,y$についての方程式
$x^2-6xy+y^2=9 \ldots\ldots(*)$
に関する次の問いに答えよ。
(1)$x,y$がともに正の整数であるような(*)の解のうち、yが最小であるものを
求めよ。
(2)数列$a_1,a_2,a_3,\ldots$が漸化式
$a_{n+2}-6a_{n+1}+a_n=0 (n=1,2,3,\ldots)$
を満たすとする。このとき、$(x,y)=(a_{n+1},a_n)$が(*)を満たすならば、
$(x,y)=(a_{n+2},a_{n+1})$も(*)を満たすことを示せ。
(3)(*)の整数解(x,y)は無数に存在することを示せ。
2022千葉大学理系過去問
福田の数学〜千葉大学2022年理系第６問〜独立に動く空間上の２点の距離の最小
単元：
#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
座標空間において、原点Oと点A(1,0,-1)と点B(0,5,0)がある。
実数$t$を用いて$t\ \overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OB }$と表される点全体をlとする。また、平面xy平面上
の$y=x^2$を満たす点全体からなる曲線をCとする。
(1)曲線$C$上の点$P(a,a^2,0)$を固定する。l上の点Qを、$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ PQ }$
が垂直であるようにとる。このとき、点Qの座標をaを用いて表せ。
(2)曲線C上の点Rとl上の点Sのうち、$|\overrightarrow{ RS }|$を最小にする点Rと点Sの
組み合わせを全て求めよ。また、そのときの$|\overrightarrow{ RS }|$の値を求めよ。
2022千葉大学理系過去問
この動画を見る
座標空間において、原点Oと点A(1,0,-1)と点B(0,5,0)がある。
実数$t$を用いて$t\ \overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OB }$と表される点全体をlとする。また、平面xy平面上
の$y=x^2$を満たす点全体からなる曲線をCとする。
(1)曲線$C$上の点$P(a,a^2,0)$を固定する。l上の点Qを、$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ PQ }$
が垂直であるようにとる。このとき、点Qの座標をaを用いて表せ。
(2)曲線C上の点Rとl上の点Sのうち、$|\overrightarrow{ RS }|$を最小にする点Rと点Sの
組み合わせを全て求めよ。また、そのときの$|\overrightarrow{ RS }|$の値を求めよ。
2022千葉大学理系過去問
福田の数学〜千葉大学2022年理系第５問〜n個のサイコロの目の積の確率
単元：
#計算と数の性質#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#規則性（周期算・方陣算・数列・日暦算・N進法）#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
nを自然数とする。n個のサイコロを同時に投げ、出た目の積をMとおく。
(1)Mが2でも3でも割り切れない確率を求めよ。
(2)Mが2で割り切れるが、3でも4でも割り切れない確率を求めよ。
(3)Mが4では割り切れるが、3では割り切れない確率を求めよ。
2022千葉大学理系過去問
この動画を見る
nを自然数とする。n個のサイコロを同時に投げ、出た目の積をMとおく。
(1)Mが2でも3でも割り切れない確率を求めよ。
(2)Mが2で割り切れるが、3でも4でも割り切れない確率を求めよ。
(3)Mが4では割り切れるが、3では割り切れない確率を求めよ。
2022千葉大学理系過去問
福田の数学〜千葉大学2022年理系第４問〜不定方程式とユークリッドの互除法
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
0以上9999以下の整数を4桁で表示し、以下の操作を行うこととする。
ただし、 4桁で表示するとは、整数が100以上999以下の場合は千の位の数字を0、
10以上99以下の場合は千の位と百の位の数字を0、1以上9以下の場合は
千の位と百の位と十の位の数字を0、そして0はどの位の数字も0とすることである。
操作:千の位の数字と十の位の数字を入れ換える。さらに、百の位の数字と
一の位の数字を入れ換える。
また、整数Lに対し、操作によって得られた整数を$\bar{ L }$と表す。
(1) Mを0以上9999以下の整数とし、$M=100x+y$のように整数$x, y (0 \leqq x \leqq 99,$
$ 0 \leqq y \leqq 99)$を用いて表す。操作によって得られた$\bar{ M }$ がMの
$\frac{2}{3}$倍に3を足した数 に等しいならば、
$-197x+298y = 9$が成り立つことを証明せよ。
(2) Nが0以上 9999 以下の整数ならば、操作によって
得られた整数$\bar{ N }$はNの$\frac{2}{3}$倍に1を足した数と等しくならないことを証明せよ。
2022千葉大学理系過去問
この動画を見る
0以上9999以下の整数を4桁で表示し、以下の操作を行うこととする。
ただし、 4桁で表示するとは、整数が100以上999以下の場合は千の位の数字を0、
10以上99以下の場合は千の位と百の位の数字を0、1以上9以下の場合は
千の位と百の位と十の位の数字を0、そして0はどの位の数字も0とすることである。
操作:千の位の数字と十の位の数字を入れ換える。さらに、百の位の数字と
一の位の数字を入れ換える。
また、整数Lに対し、操作によって得られた整数を$\bar{ L }$と表す。
(1) Mを0以上9999以下の整数とし、$M=100x+y$のように整数$x, y (0 \leqq x \leqq 99,$
$ 0 \leqq y \leqq 99)$を用いて表す。操作によって得られた$\bar{ M }$ がMの
$\frac{2}{3}$倍に3を足した数 に等しいならば、
$-197x+298y = 9$が成り立つことを証明せよ。
(2) Nが0以上 9999 以下の整数ならば、操作によって
得られた整数$\bar{ N }$はNの$\frac{2}{3}$倍に1を足した数と等しくならないことを証明せよ。
2022千葉大学理系過去問
福田の数学〜千葉大学2022年理系第３問〜折り返された放物線と直線の交点の個数と囲まれる面積の最小
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
次の問いに答えよ。
(1)aを実数とする。$y=ax$のグラフと$y=x|x-2|$のグラフの交点の個数が
最大となる$a$の範囲を求めよ。
(2)$0 \leqq a \leqq 2$とする。$S(a)$を$y=ax$のグラフと$y=x|x-2|$のグラフで
囲まれる図形の面積とする。$S(a)$をaの式で表せ。
(3)(2)で求めた$S(a)$を最小にするaの値を求めよ。
2022千葉大学理系過去問
この動画を見る
次の問いに答えよ。
(1)aを実数とする。$y=ax$のグラフと$y=x|x-2|$のグラフの交点の個数が
最大となる$a$の範囲を求めよ。
(2)$0 \leqq a \leqq 2$とする。$S(a)$を$y=ax$のグラフと$y=x|x-2|$のグラフで
囲まれる図形の面積とする。$S(a)$をaの式で表せ。
(3)(2)で求めた$S(a)$を最小にするaの値を求めよ。
2022千葉大学理系過去問
福田の数学〜千葉大学2022年理系第２問〜三角形と三角比
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
座標平面において、原点Oと点A(1,0)と点B(0,1)がある。$0 \lt t \lt 1$に対し、
線分BO,OA,ABのそれぞれを$t:(1-t)$に内分する点をP,Q,Rとする。
(1)$\triangle PQR$の面積をtの式で表せ。
(2)$\triangle PQR$が二等辺三角形になるときのtの値を全て求めよ。
(3)$\theta = \angle RPQ$とする。(2)それぞれの場合に$\cos\theta$を求めよ。
2022千葉大学理系過去問
この動画を見る
座標平面において、原点Oと点A(1,0)と点B(0,1)がある。$0 \lt t \lt 1$に対し、
線分BO,OA,ABのそれぞれを$t:(1-t)$に内分する点をP,Q,Rとする。
(1)$\triangle PQR$の面積をtの式で表せ。
(2)$\triangle PQR$が二等辺三角形になるときのtの値を全て求めよ。
(3)$\theta = \angle RPQ$とする。(2)それぞれの場合に$\cos\theta$を求めよ。
2022千葉大学理系過去問
福田の数学〜九州大学2022年文系第３問〜高次方程式の解
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#九州大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$k$を実数とし、整式f(x)を
$f(x)=x^4+6x^3-kx^2+2kx-64$
で定める。方程式$f(x)=0$が虚数解をもつとき、以下の問いに答えよ。
(1)f(x)は$x-2$で割り切れることを示せ。
(2)方程式$f(x)=0$は負の実数解をもつことを示せ。
(3)方程式$f(x)=0$の全ての実数解が整数であり、
すべての虚数解の実部と虚部が共に整数であるとする。
このような$k$を全て求めよ。
2022九州大学文系過去問
この動画を見る
$k$を実数とし、整式f(x)を
$f(x)=x^4+6x^3-kx^2+2kx-64$
で定める。方程式$f(x)=0$が虚数解をもつとき、以下の問いに答えよ。
(1)f(x)は$x-2$で割り切れることを示せ。
(2)方程式$f(x)=0$は負の実数解をもつことを示せ。
(3)方程式$f(x)=0$の全ての実数解が整数であり、
すべての虚数解の実部と虚部が共に整数であるとする。
このような$k$を全て求めよ。
2022九州大学文系過去問
素数を扱え！整数問題【数学 入試問題】【千葉大学】
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$p$は奇数である素数とし、$N=(p+1)(p+3)(p+5)$とおく。
(1)$N$は$48$の倍数であることを示せ。
(2)$N$は$144$の倍数になるような$p$の値を小さい順に$3$つ求めよ。
千葉大過去問
この動画を見る
$p$は奇数である素数とし、$N=(p+1)(p+3)(p+5)$とおく。
(1)$N$は$48$の倍数であることを示せ。
(2)$N$は$144$の倍数になるような$p$の値を小さい順に$3$つ求めよ。
千葉大過去問
福田の数学〜千葉大学2022年理系第１問〜確率の基本性質
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
円周を12等分するように点$A_1,A_2,A_3,\ldots,A_{12}$が時計回りに並んでいる。
また、白球2個と黒球4個が入った袋がある。点Pを、次の操作によって
12個の点上を移動させる。
操作:袋から球を一つ取り出した後にサイコロを投げる。白球ならば時計回りに、
黒球ならば反時計回りに、サイコロの目の数だけPを移動させる。
取り出した球は袋に戻さないこととする。
Pを最初に点 $A_1$に置く。操作を1回行い、Pが$A_1$から移動した点をQとおく。
続けて操作を1回行い、PがQから移動した点をRとおく。
もう一度操作を行い、 PがRから移動した点をSとおく。
(1) $R=A_1$となる確率を求めよ。
(2)3点Q, R, Sを結んでできる図形が正三角形となる確率を求めよ。
2022千葉大学理系過去問
この動画を見る
円周を12等分するように点$A_1,A_2,A_3,\ldots,A_{12}$が時計回りに並んでいる。
また、白球2個と黒球4個が入った袋がある。点Pを、次の操作によって
12個の点上を移動させる。
操作:袋から球を一つ取り出した後にサイコロを投げる。白球ならば時計回りに、
黒球ならば反時計回りに、サイコロの目の数だけPを移動させる。
取り出した球は袋に戻さないこととする。
Pを最初に点 $A_1$に置く。操作を1回行い、Pが$A_1$から移動した点をQとおく。
続けて操作を1回行い、PがQから移動した点をRとおく。
もう一度操作を行い、 PがRから移動した点をSとおく。
(1) $R=A_1$となる確率を求めよ。
(2)3点Q, R, Sを結んでできる図形が正三角形となる確率を求めよ。
2022千葉大学理系過去問
整数問題 千葉大（医）類題
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
整数$k,n$を
$k^2=3^n+360$
全て求めよ。
千葉大(医)過去問
この動画を見る
整数$k,n$を
$k^2=3^n+360$
全て求めよ。
千葉大(医)過去問
数学「大学入試良問集」【16−2 複素数平面と三角形の形との関係】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
複素数平面上に三角形$ABC$があり、その頂点$A,B,C$を表す複素数をそれぞれ$z_1,z_2,z_3$とする。
複素数$\omega$に対して、$z_1=\omega z_3,z_2=\omega z_1,z_3=\omega z_2$が成り立つとき、次の各問いに答えよ。
（1）$1+\omega+\omega^2$の値を求めよ。
（2）三角形$ABC$はどんな形の三角形か。
（3）$z=z_1+2z_2+3z_3$の表す点を$D$とすると、三角形$OBD$はどんな形の三角形か。ただし、$O$は原点である。
この動画を見る
複素数平面上に三角形$ABC$があり、その頂点$A,B,C$を表す複素数をそれぞれ$z_1,z_2,z_3$とする。
複素数$\omega$に対して、$z_1=\omega z_3,z_2=\omega z_1,z_3=\omega z_2$が成り立つとき、次の各問いに答えよ。
（1）$1+\omega+\omega^2$の値を求めよ。
（2）三角形$ABC$はどんな形の三角形か。
（3）$z=z_1+2z_2+3z_3$の表す点を$D$とすると、三角形$OBD$はどんな形の三角形か。ただし、$O$は原点である。
数学「大学入試良問集」【7−1 二次関数の最大最小】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$a$を正の実数とする。
2次関数$f(x)=ax^2-2(a+1)x+1$に対して、次の問いに答えよ。
（1）関数$y=f(x)$のグラフの頂点の座標を求めよ。
（2）$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ。
この動画を見る
$a$を正の実数とする。
2次関数$f(x)=ax^2-2(a+1)x+1$に対して、次の問いに答えよ。
（1）関数$y=f(x)$のグラフの頂点の座標を求めよ。
（2）$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ。
数学「大学入試良問集」【6−6 外接球と四面体】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$AB=5,BC=7,CA=8$および$OA=OB=OC=t$を満たす四面体$OABC$がある。
（1）$\angle BAC$を求めよ。
（2）$\triangle ABC$の外接円の半径を求めよ。
（3）4つの頂点$O,A,B,C$が同一球面上にあるとき、その球の半径が最小となるような実数$t$の値を求めよ。
この動画を見る
$AB=5,BC=7,CA=8$および$OA=OB=OC=t$を満たす四面体$OABC$がある。
（1）$\angle BAC$を求めよ。
（2）$\triangle ABC$の外接円の半径を求めよ。
（3）4つの頂点$O,A,B,C$が同一球面上にあるとき、その球の半径が最小となるような実数$t$の値を求めよ。