数A
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福田の数学〜東京医科歯科大学2024医学部第1問〜n変数の不定方程式の解
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#東京医科歯科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$n$を$2$以上の自然数とする。自然数の組$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$を解とする方程式
$(*)~a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n$を考える。
(1) $n=3$のとき、$(*)$の解$(a_1,a_2,a_3)$のうち、$a_1\leqq a_2 \leqq a_3$を満たすものをすべて求めよ。
(2) $n\geqq 3$のとき、$(*)$の任意の解$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$において、$a_i=1$となる$i$が少なくとも1つ存在することを示せ。
(3) $(*)$のある解$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$において、$a_i=1$となる$i$がちょうど2個存在しているとする。このとき、$n$のとりうる値を全て求めよ。
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$n$を$2$以上の自然数とする。自然数の組$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$を解とする方程式
$(*)~a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n$を考える。
(1) $n=3$のとき、$(*)$の解$(a_1,a_2,a_3)$のうち、$a_1\leqq a_2 \leqq a_3$を満たすものをすべて求めよ。
(2) $n\geqq 3$のとき、$(*)$の任意の解$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$において、$a_i=1$となる$i$が少なくとも1つ存在することを示せ。
(3) $(*)$のある解$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$において、$a_i=1$となる$i$がちょうど2個存在しているとする。このとき、$n$のとりうる値を全て求めよ。
大学入試問題#906「色んな要素がモリモリ問題」昭和大学医学部(2012)
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#昭和大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
正の数$a,b$が$a^3+b^3=5$を満たすとき、$a+b$のとりうる値の範囲を求めよ。
出典：2012年昭和大学医学部
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正の数$a,b$が$a^3+b^3=5$を満たすとき、$a+b$のとりうる値の範囲を求めよ。
出典：2012年昭和大学医学部
福田の数学〜中央大学2024理工学部第2問〜確率の基本性質と3で割ったときの剰余類
単元：
#数A#場合の数と確率#整数の性質#確率#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$n$ を $3$ 以上の整数とする。$1, \, 2, \, \ldots, \, n$ の数が1つずつ書かれた $n$ 枚のカードがある。これらをよく混ぜて1枚のカードを引き、そこに書かれた数を $X$ とする。そのカードを元に戻し、よく混ぜてからもう一度1枚のカードを引き、そこに書かれた数を $Y$ とする。このとき $X-Y$ が $3$ の倍数である確率を $p(n)$、$X-Y-1$ が $3$ の倍数である確率を $q(n)$、$X-Y+1$ が $3$ の倍数である確率を $r(n)$ とする。
$(1)$ $q(3)=\fbox{ク}$ である。
$(2)$ $r(n)$ は $q(n)$ を用いて $r(n)=\fbox{ケ}$ と表せる。
$(3)$ $n$ が $3$ の倍数であるとき、$p(n)=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$ が成り立つ。
$(4)$ $n-1$ が $3$ の倍数であるとき、$p(n)=\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}$ が成り立つ。
$(5)$ $n-2$ が $3$ の倍数であるとき、$p(n)=\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}$ が成り立つ。
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$n$ を $3$ 以上の整数とする。$1, \, 2, \, \ldots, \, n$ の数が1つずつ書かれた $n$ 枚のカードがある。これらをよく混ぜて1枚のカードを引き、そこに書かれた数を $X$ とする。そのカードを元に戻し、よく混ぜてからもう一度1枚のカードを引き、そこに書かれた数を $Y$ とする。このとき $X-Y$ が $3$ の倍数である確率を $p(n)$、$X-Y-1$ が $3$ の倍数である確率を $q(n)$、$X-Y+1$ が $3$ の倍数である確率を $r(n)$ とする。
$(1)$ $q(3)=\fbox{ク}$ である。
$(2)$ $r(n)$ は $q(n)$ を用いて $r(n)=\fbox{ケ}$ と表せる。
$(3)$ $n$ が $3$ の倍数であるとき、$p(n)=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$ が成り立つ。
$(4)$ $n-1$ が $3$ の倍数であるとき、$p(n)=\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}$ が成り立つ。
$(5)$ $n-2$ が $3$ の倍数であるとき、$p(n)=\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}$ が成り立つ。
15°75°90°の直角三角形
福田のおもしろ数学225〜楕円と直線の交点を使った線分の長さの積の最小値
単元：
#数A#図形の性質#平面上の曲線#方べきの定理と２つの円の関係#2次曲線#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
点 $\mathrm{P}(2,1)$ を通る直線が楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$ と異なる2点 $\mathrm{Q}, \, \mathrm{R}$ で交わっている。$\mathrm{PQ} \cdot \mathrm{PR}$ の最小値を求めよ。
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点 $\mathrm{P}(2,1)$ を通る直線が楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$ と異なる2点 $\mathrm{Q}, \, \mathrm{R}$ で交わっている。$\mathrm{PQ} \cdot \mathrm{PR}$ の最小値を求めよ。
福田のおもしろ数学224〜3次式が素数となる整数nを求める
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$n^3-7n+9$が素数となるような整数$n$をすべて求めよ。
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$n^3-7n+9$が素数となるような整数$n$をすべて求めよ。
直角三角形の中に直角
単元：
#数学(中学生)#中１数学#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#平面図形#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
次の図のxを求めよ。
（図は動画参照）
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次の図のxを求めよ。
（図は動画参照）
福田の数学〜中央大学2024経済学部第1問(3)〜パスワードで無事にログインできる確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
あるWebサイトにログインするには4桁の暗証番号を入力しなければならないが、それを忘れてしまった。覚えているのは、各桁の数は5以上ですべて異なる数であり、末尾の2桁は$78$か$87$のどちらかということだけである。このWebサイトでは暗証番号は3回まで入力することができるが、記憶に当てはまる班員台で手当たり次第に入力して無事にログインできる確率を求めよ。
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あるWebサイトにログインするには4桁の暗証番号を入力しなければならないが、それを忘れてしまった。覚えているのは、各桁の数は5以上ですべて異なる数であり、末尾の2桁は$78$か$87$のどちらかということだけである。このWebサイトでは暗証番号は3回まで入力することができるが、記憶に当てはまる班員台で手当たり次第に入力して無事にログインできる確率を求めよ。
大学入試問題#897「解法の迷走」 #北海道大学(2024)
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$
が整数となるような実数$x$をすべて求めよ。
出典：2024年北海道大学後期
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$\displaystyle \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$
が整数となるような実数$x$をすべて求めよ。
出典：2024年北海道大学後期
福田の数学〜中央大学2024経済学部第1問(2)〜集合の要素の個数
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#数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$1$から$1000$までの整数全体の集合を$U$とする。$U$の部分集合$A,B$をそれぞれ$A=\{x|xは5の倍数\},B=\{x|xは7の倍数\}$とするとき、$\overline A \cap \overline B$の要素の個数$n(\overline A \cap \overline B)$を求めよ。
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$1$から$1000$までの整数全体の集合を$U$とする。$U$の部分集合$A,B$をそれぞれ$A=\{x|xは5の倍数\},B=\{x|xは7の倍数\}$とするとき、$\overline A \cap \overline B$の要素の個数$n(\overline A \cap \overline B)$を求めよ。
福田のおもしろ数学217〜ルートの中の巨大な数の分数を計算しよう
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#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\sqrt{\dfrac{1111111088888889}{123456787654321}}$を計算して下さい
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$\sqrt{\dfrac{1111111088888889}{123456787654321}}$を計算して下さい
【分かりやすく順を追って…！】整数：福岡大学附属大濠高等学校～全国入試問題解法
単元：
#整数の性質#高校入試過去問(数学)
指導講師：
高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文)：
二つの正の整数を $m,n$とする。
$1 < \sqrt m < 2$, $5 < \sqrt n < 6 $ のとき、$ m + n $ で作られる素数は $\Box$ 通りある。
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二つの正の整数を $m,n$とする。
$1 < \sqrt m < 2$, $5 < \sqrt n < 6 $ のとき、$ m + n $ で作られる素数は $\Box$ 通りある。
福田のおもしろ数学215〜三平方の定理が成り立つ左辺の二項のどちらか一方は4の倍数である証明
単元：
#数A#数Ⅱ#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正の数$x,y$が$x^2+y^2=z^2$を満たすとき、$x$または$y$は$4$の倍数となることを証明してください。
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正の数$x,y$が$x^2+y^2=z^2$を満たすとき、$x$または$y$は$4$の倍数となることを証明してください。
【論点はまだある…！】整数：早稲田大学系属早稲田実業学校高等部～全国入試問題解法
単元：
#数学(中学生)#数A#整数の性質#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)#早稲田大学系属早稲田実業学校高等部
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高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文)：
$42024を素因数分解せよ$
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【論点はまだある…！】整数：早稲田大学系属早稲田実業学校高等部～全国入試問題解法
単元：
#数学(中学生)#整数の性質#高校入試過去問(数学)
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高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文)：
$205^2$の値を利用して、$42024$の値を素因数分解せよ。
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傍接円の半径 難関高校受験者必見！！
福田のおもしろ数学213〜コンビネーション200から100までを割り切る2桁の最大の素数
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#数A#場合の数と確率#整数の性質#場合の数#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$_{200} \textrm{C}_{100}$を割り切る2桁の最大の素数は？
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答え方が困る？？ 整数問題 （高校数学です）
引けるか！？補助線
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#数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#数学(高校生)
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数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
次の角度を求めよ（図は動画参照）
$\angle x+\angle y=$
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次の角度を求めよ（図は動画参照）
$\angle x+\angle y=$
福田のおもしろ数学208〜必要条件で絞って十分で切り返す
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#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$f(x)=ax^3+bx^2+c$ がある。
すべての整数 $n$ に対して $f(n)$ が整数となるための $a,b,c$ の必要十分条件を求めよ。
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大学入試問題#885「油断したら沼るかも」 #奈良県立医科大学(2014) 三角関数と整数問題
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#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#三角関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#奈良県立医科大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\sqrt{ \displaystyle \frac{a}{20} } \lt \cos\displaystyle \frac{\pi}{8} \lt \sqrt{ \displaystyle \frac{a+1}{20} }$を満たす整数$a$を求めよ。
出典：2014年奈良県立医科大学
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$\sqrt{ \displaystyle \frac{a}{20} } \lt \cos\displaystyle \frac{\pi}{8} \lt \sqrt{ \displaystyle \frac{a+1}{20} }$を満たす整数$a$を求めよ。
出典：2014年奈良県立医科大学
福田の数学〜千葉大学2024年理系第4問(3)〜コンビネーションに関する不等式の評価
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#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正の整数$n,p,q$が$p > q$かつ$_p\mathrm{C}_2+_q\mathrm{C}_2=n$を満たすとする。$_m\mathrm{C}_2 \leqq n$となる最大の整数$m$を求めよ。
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正の整数$n,p,q$が$p > q$かつ$_p\mathrm{C}_2+_q\mathrm{C}_2=n$を満たすとする。$_m\mathrm{C}_2 \leqq n$となる最大の整数$m$を求めよ。
ピカチュウ割と話せる説
福田のおもしろ数学203〜整数を取る4変数の最大値
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#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a,b,c,d$はすべて正の整数とする。
$a+b+c+d=63$のとき$ab+bc+cd$の最大値を求めよ。
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$a,b,c,d$はすべて正の整数とする。
$a+b+c+d=63$のとき$ab+bc+cd$の最大値を求めよ。
福田の数学〜千葉大学2024年文系第2問〜袋から元に戻さないで球を取り出し得点を考える確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
白球が3個、黒球が5個、赤球が2個入った袋がある。以下のゲームを続けて$n$回続けて行う。
袋から球を1個取り出す。白球だった場合は1点を獲得する。黒球だった場合はさいころを投げて、出た目が3の倍数だった場合には1点、そうでない場合には0点を獲得する。赤球だった場合はコインを投げて、表が出た場合は2点、裏が出た場合は0点を獲得する。取り出した球は袋に戻さない。
(1) $n=2$のとき、総得点がちょうど3点となる確率を求めよ。
(2) $n=3$のとき、総得点がちょうど5点となる確率を求めよ。
(3) $n=3$のとき、総得点が4点以上となる確率を求めよ。
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白球が3個、黒球が5個、赤球が2個入った袋がある。以下のゲームを続けて$n$回続けて行う。
袋から球を1個取り出す。白球だった場合は1点を獲得する。黒球だった場合はさいころを投げて、出た目が3の倍数だった場合には1点、そうでない場合には0点を獲得する。赤球だった場合はコインを投げて、表が出た場合は2点、裏が出た場合は0点を獲得する。取り出した球は袋に戻さない。
(1) $n=2$のとき、総得点がちょうど3点となる確率を求めよ。
(2) $n=3$のとき、総得点がちょうど5点となる確率を求めよ。
(3) $n=3$のとき、総得点が4点以上となる確率を求めよ。
福田の数学〜千葉大学2024年文系第1問〜三角形の成立条件と対数
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#指数関数と対数関数#対数関数#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
(1) 3辺の長さが$2,5,a$である三角形が存在するような、$a$の値の範囲を求めよ。
(2) 3辺の長さが$\log_{10}(5x),\log_{10}(x+10),\log_{10}3$である三角形が存在するような、$x$の値の範囲を求めよ。
(3) ある二等辺三角形の3辺の長さが$\log_{10}(5x),\log_{10}(x+10),\log_{10}3$であるとき、$x$の値を求めよ。
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(1) 3辺の長さが$2,5,a$である三角形が存在するような、$a$の値の範囲を求めよ。
(2) 3辺の長さが$\log_{10}(5x),\log_{10}(x+10),\log_{10}3$である三角形が存在するような、$x$の値の範囲を求めよ。
(3) ある二等辺三角形の3辺の長さが$\log_{10}(5x),\log_{10}(x+10),\log_{10}3$であるとき、$x$の値を求めよ。
298 ユークリッドの互除法2：余りを計算して効率的に最大公約数を求めよう！ #shorts
単元：
#数A#情報Ⅰ(高校生)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)#プログラミング#プログラムによる動的シミュレーション
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
298 ユークリッドの互除法2：余りを計算して効率的に最大公約数を求めよう！ #shorts
【問題文】
このプログラムは次の2つの性質を使って最大公約数を求めるものである。
性質1）xをyで割ったあまりが0のとき、xとyの最大公約数はyである。
性質2）xをyで割ったあまりが0と異なるとき、xとyの最大公約数はyとxをyでわったあまりの最大公約数に等しい。
空欄に入る最も適切なものを選べ。
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298 ユークリッドの互除法2：余りを計算して効率的に最大公約数を求めよう！ #shorts
【問題文】
このプログラムは次の2つの性質を使って最大公約数を求めるものである。
性質1）xをyで割ったあまりが0のとき、xとyの最大公約数はyである。
性質2）xをyで割ったあまりが0と異なるとき、xとyの最大公約数はyとxをyでわったあまりの最大公約数に等しい。
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298 ユークリッドの互除法2：余りを計算して効率的に最大公約数を求めよう！ #shorts
単元：
#数A#情報Ⅰ(高校生)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)#プログラミング#プログラムによる動的シミュレーション
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
298 ユークリッドの互除法2：余りを計算して効率的に最大公約数を求めよう！ #shorts
【問題文】
このプログラムは次の2つの性質を使って最大公約数を求めるものである。
性質1）xをyで割ったあまりが0のとき、xとyの最大公約数はyである。
性質2）xをyで割ったあまりが0と異なるとき、xとyの最大公約数はyとxをyでわったあまりの最大公約数に等しい。
空欄に入る最も適切なものを選べ。
※プログラムは動画内参照
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298 ユークリッドの互除法2：余りを計算して効率的に最大公約数を求めよう！ #shorts
【問題文】
このプログラムは次の2つの性質を使って最大公約数を求めるものである。
性質1）xをyで割ったあまりが0のとき、xとyの最大公約数はyである。
性質2）xをyで割ったあまりが0と異なるとき、xとyの最大公約数はyとxをyでわったあまりの最大公約数に等しい。
空欄に入る最も適切なものを選べ。
※プログラムは動画内参照
297 ユークリッドの互除法1：引き算だけを使って最大公約数を求めよう！ #shorts
単元：
#数A#情報Ⅰ(高校生)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)#プログラミング#プログラムによる動的シミュレーション
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
297 ユークリッドの互除法1：引き算だけを使って最大公約数を求めよう！ #shorts
【問題文】
このプログラムは次の3つの性質を使って最大公約数を求めるものである。
性質1）xとyの値が等しいとき、xとyの最大公約数はxである。
性質2）xがyより大きいとき、xとyの最大公約数は(x - y)とyの最大公約数に等しい。
性質3）xがyより小さいとき、xとyの最大公約数はxと(y - x)の最大公約数に等しい。
空欄に入る最も適切なものを選べ。
※プログラムは動画内参照
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297 ユークリッドの互除法1：引き算だけを使って最大公約数を求めよう！ #shorts
【問題文】
このプログラムは次の3つの性質を使って最大公約数を求めるものである。
性質1）xとyの値が等しいとき、xとyの最大公約数はxである。
性質2）xがyより大きいとき、xとyの最大公約数は(x - y)とyの最大公約数に等しい。
性質3）xがyより小さいとき、xとyの最大公約数はxと(y - x)の最大公約数に等しい。
空欄に入る最も適切なものを選べ。
※プログラムは動画内参照
297 ユークリッドの互除法1：引き算だけを使って最大公約数を求めよう！ #shorts
単元：
#数A#情報Ⅰ(高校生)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)#プログラミング#プログラムによる動的シミュレーション
指導講師：
めいちゃんねる
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297 ユークリッドの互除法1：引き算だけを使って最大公約数を求めよう！ #shorts
【問題文】
このプログラムは次の3つの性質を使って最大公約数を求めるものである。
性質1）xとyの値が等しいとき、xとyの最大公約数はxである。
性質2）xがyより大きいとき、xとyの最大公約数は(x - y)とyの最大公約数に等しい。
性質3）xがyより小さいとき、xとyの最大公約数はxと(y - x)の最大公約数に等しい。
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297 ユークリッドの互除法1：引き算だけを使って最大公約数を求めよう！ #shorts
【問題文】
このプログラムは次の3つの性質を使って最大公約数を求めるものである。
性質1）xとyの値が等しいとき、xとyの最大公約数はxである。
性質2）xがyより大きいとき、xとyの最大公約数は(x - y)とyの最大公約数に等しい。
性質3）xがyより小さいとき、xとyの最大公約数はxと(y - x)の最大公約数に等しい。
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