漸化式
漸化式
福田の数学〜早稲田大学理工学部2025第3問〜完全順列と漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$1$から$n$までの異なる自然数が$1$つずつ書かれた
$n$枚のカードが一列に並んでいる。
このとき、
どのカードも現在とは異なる位置に移動するよう
並べ替えてできる順列の総数を$a_n$で表し、
並べ方の総数$n!$に閉める$a_n$の割合を$p_n$で表す。
例えば、$a_1=0,p_1=0,a_2=1,p_2=\dfrac{1}{2},$
$a_3=2,p_3=\dfrac{1}{3}$である。
(1)$a_4$の値を求めよ。
(2)$n\geqq 3$のとき、$a_n$を$a_{n-1}$と
$a_{n-2}$を用いて表せ。
(3)$n\geqq 2$のとき、$p_n-p_{n-1}$を
$n$を用いて表せ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
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$\boxed{3}$
$1$から$n$までの異なる自然数が$1$つずつ書かれた
$n$枚のカードが一列に並んでいる。
このとき、
どのカードも現在とは異なる位置に移動するよう
並べ替えてできる順列の総数を$a_n$で表し、
並べ方の総数$n!$に閉める$a_n$の割合を$p_n$で表す。
例えば、$a_1=0,p_1=0,a_2=1,p_2=\dfrac{1}{2},$
$a_3=2,p_3=\dfrac{1}{3}$である。
(1)$a_4$の値を求めよ。
(2)$n\geqq 3$のとき、$a_n$を$a_{n-1}$と
$a_{n-2}$を用いて表せ。
(3)$n\geqq 2$のとき、$p_n-p_{n-1}$を
$n$を用いて表せ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
【数B】【数列】漸化式8 ※問題文は概要欄
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
表の出る確率が1/3である硬貨を投げて、
表が出たら点数を1点増やし、
裏が出たら点数はそのままとするゲームについて考える。
0点から始めて、硬貨を$n$回投げたときの点数が偶数である確率$P_n$を求めよ。
ただし、0は偶数と考える。
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表の出る確率が1/3である硬貨を投げて、
表が出たら点数を1点増やし、
裏が出たら点数はそのままとするゲームについて考える。
0点から始めて、硬貨を$n$回投げたときの点数が偶数である確率$P_n$を求めよ。
ただし、0は偶数と考える。
【数B】【数列】漸化式7 ※問題文は概要欄
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
図のように、1辺の長さ1の正方形の各辺を2:1に内分する
4点を結んでできる正方形の面積を$S_1$とする。
同様に、新しくできた正方形の各辺を2:1に内分する
4点を結んでできる正方形の面積を$S_2$とする。
以下同様に、この操作を$n$回行った後にできる
正方形の面積を$S_n$とする。
(1) $S_n$をnの式で表せ。
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^n S_n$を求めよ。
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図のように、1辺の長さ1の正方形の各辺を2:1に内分する
4点を結んでできる正方形の面積を$S_1$とする。
同様に、新しくできた正方形の各辺を2:1に内分する
4点を結んでできる正方形の面積を$S_2$とする。
以下同様に、この操作を$n$回行った後にできる
正方形の面積を$S_n$とする。
(1) $S_n$をnの式で表せ。
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^n S_n$を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第3問〜確率漸化式
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
点$P, Q$を数直線の原点におき、
$1$個のさいころを投げて
出た目に応じて$P, Q$を動かす。
偶数の目が出たときは$P$を正の向きに$1$だけ動かし、
$5$または$6$の目が出たときは
$Q$を正の向きに$1$だけ動かす。
たとえば、$6$の目が出たときは$P, Q$をともに
正の向きに$1$だけ動かす。
$P$と$Q$の距離が初めて$2$となるまで
さいころを投げ続けることとし、
$P$と$Q$の距離が$2$となったら、
それ以降はさいころを投げない。
$n$回さいころを投げて$P$と$Q$の距離が
$2$となる確率を$p_n$とする。
(1)$P_2 = \boxed{シ}$である。
(2)$n$回さいころを投げて、
$P$が$Q$よりも正の向きに
$1$だけ進んでいる確率を$x_n$、
$P$と$Q$が同じ位置にある確率を$y_n$、
$Q$が$P$よりも正の向きに$1$だけ進んでいる確率を
$z_n$とすると、
$y_{n+1}=\boxed{ス}x_n+\boxed{セ}y_n+\boxed{ソ}z_n$
という関係式が成立する。
また、$x_n=\boxed{タ}z_n$が成り立つ。
ただし、$\boxed{ス}$～$\boxed{タ}$には数を記入すること。
(3)関係式
$z_{n+1}+\alpha y_{n+1}=\beta(z_n+\alpha y_n)$
を満たす定数の組$(\alpha,\beta)$は$\boxed{チ}$と$\boxed{ツ}$の$2$組ある。
(4)$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\boxed{テ}$となる。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{3}$
点$P, Q$を数直線の原点におき、
$1$個のさいころを投げて
出た目に応じて$P, Q$を動かす。
偶数の目が出たときは$P$を正の向きに$1$だけ動かし、
$5$または$6$の目が出たときは
$Q$を正の向きに$1$だけ動かす。
たとえば、$6$の目が出たときは$P, Q$をともに
正の向きに$1$だけ動かす。
$P$と$Q$の距離が初めて$2$となるまで
さいころを投げ続けることとし、
$P$と$Q$の距離が$2$となったら、
それ以降はさいころを投げない。
$n$回さいころを投げて$P$と$Q$の距離が
$2$となる確率を$p_n$とする。
(1)$P_2 = \boxed{シ}$である。
(2)$n$回さいころを投げて、
$P$が$Q$よりも正の向きに
$1$だけ進んでいる確率を$x_n$、
$P$と$Q$が同じ位置にある確率を$y_n$、
$Q$が$P$よりも正の向きに$1$だけ進んでいる確率を
$z_n$とすると、
$y_{n+1}=\boxed{ス}x_n+\boxed{セ}y_n+\boxed{ソ}z_n$
という関係式が成立する。
また、$x_n=\boxed{タ}z_n$が成り立つ。
ただし、$\boxed{ス}$～$\boxed{タ}$には数を記入すること。
(3)関係式
$z_{n+1}+\alpha y_{n+1}=\beta(z_n+\alpha y_n)$
を満たす定数の組$(\alpha,\beta)$は$\boxed{チ}$と$\boxed{ツ}$の$2$組ある。
(4)$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\boxed{テ}$となる。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
福田のおもしろ数学472〜漸化式で与えられた数列の逆数の和
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$a_1=2,a_{n+1}={a_n}^2-a_n+1$のとき
$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+･･･+\dfrac{1}{a_{2025}}\lt 1$
を証明して下さい。
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$a_1=2,a_{n+1}={a_n}^2-a_n+1$のとき
$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+･･･+\dfrac{1}{a_{2025}}\lt 1$
を証明して下さい。
【数B】【数列】漸化式6 ※問題文は概要欄
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
平面上に$n$個の円があって、それらのどの2つも異なる2点で交わり、
またどの3つも1点で交わらないとする。
これらの$n$個の円が平面を$a_n$個の部分に分けるとき、$\{a_n\}$をnの式で表せ。
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平面上に$n$個の円があって、それらのどの2つも異なる2点で交わり、
またどの3つも1点で交わらないとする。
これらの$n$個の円が平面を$a_n$個の部分に分けるとき、$\{a_n\}$をnの式で表せ。
福田のおもしろ数学465〜最小公倍数を含んだ3項間漸化式
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$x_1=19,x_2=95$
$x_{n+2}=1cm(x_{n+1},x_n)+x_n$
を満たす数列$\{x_n\}$に対して
$x_{2025}$と$x_{2026}$の最大公約数を求めよ。
＊$1cm(a,b)$は$a$と$b$の最小公倍数を表す。
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$x_1=19,x_2=95$
$x_{n+2}=1cm(x_{n+1},x_n)+x_n$
を満たす数列$\{x_n\}$に対して
$x_{2025}$と$x_{2026}$の最大公約数を求めよ。
＊$1cm(a,b)$は$a$と$b$の最小公倍数を表す。
【数B】【数列】漸化式5 ※問題文は概要欄
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの
和$S_n$が$S_n=2a_n-n$であるとき、
数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。
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数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの
和$S_n$が$S_n=2a_n-n$であるとき、
数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。
【数B】【数列】漸化式4 ※問題文は概要欄
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材#数列
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる
数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
1) $a_1 = 1$, $\quad (n+1) a_{n+1} = n a_n$
(2) $a_1 = 1$, $n a_{n+1} = (n+1) a_n$
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次の条件によって定められる
数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
1) $a_1 = 1$, $\quad (n+1) a_{n+1} = n a_n$
(2) $a_1 = 1$, $n a_{n+1} = (n+1) a_n$
【数B】【数列】漸化式3 ※問題文は概要欄
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材#数列
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる
数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
$a_1$ = $1$, $a_{n+1} = 2a_n + 3n $
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次の条件によって定められる
数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
$a_1$ = $1$, $a_{n+1} = 2a_n + 3n $
【数B】【数列】漸化式2 ※問題文は概要欄
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材#数列
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる
数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
(1)$a_1 = 10$, $a_{n+1} = 2a_n + 2^{n+2}$
(2)$a_1 = 3$, $a_{n+1} = 6a_n + 3^{n+1}$
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次の条件によって定められる
数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
(1)$a_1 = 10$, $a_{n+1} = 2a_n + 2^{n+2}$
(2)$a_1 = 3$, $a_{n+1} = 6a_n + 3^{n+1}$
【数B】【数列】漸化式1 ※問題文は概要欄
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材#数列
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる数列
$\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 1}$
(2)$a_1 = \frac{1}{2}$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$
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次の条件によって定められる数列
$\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 1}$
(2)$a_1 = \frac{1}{2}$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$
福田の数学〜東北大学2025理系第2問〜漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
正の実数からなる$2$つの数列$\{x_n\},\{y_n\}$を
次のように定める。
$x_1=2,y_1=\dfrac{1}{2},x_{n+1}=(y_n)^5･(y_n)^2,$
$ \hspace{ 80pt } y_{n+1}=x_n･(y_n)^6$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$k$を実数とする。
$a_n=\log_2 x_n,b_n=\log_2 y_n$とおく。
このとき、$\{a_n+kb_n\}$が等位数列になるような
$k$の値をすべて求めよ。
(2)数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{2}$
正の実数からなる$2$つの数列$\{x_n\},\{y_n\}$を
次のように定める。
$x_1=2,y_1=\dfrac{1}{2},x_{n+1}=(y_n)^5･(y_n)^2,$
$ \hspace{ 80pt } y_{n+1}=x_n･(y_n)^6$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$k$を実数とする。
$a_n=\log_2 x_n,b_n=\log_2 y_n$とおく。
このとき、$\{a_n+kb_n\}$が等位数列になるような
$k$の値をすべて求めよ。
(2)数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田の数学〜北海道大学2025文系第3問〜3項間漸化式と数列の和
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
数列$\{a_n\}$を次のように定める。
$a_1=1,a_2=3,$
$(n+1)a_{n+2}-(2n+3)a_{n+1}+(n+2)a_n=0$
$\qquad (n=1,2,3,･･････)$
(1)$b_n=a_{n-1}-a_n$とおくと、
$b_{n+1}=\dfrac{n+2}{n+1}b_n \quad (n=1,2,3,･･････)$
が成り立つことを示せ。
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{225}\dfrac{1}{a_n}$の値を求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
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$\boxed{3}$
数列$\{a_n\}$を次のように定める。
$a_1=1,a_2=3,$
$(n+1)a_{n+2}-(2n+3)a_{n+1}+(n+2)a_n=0$
$\qquad (n=1,2,3,･･････)$
(1)$b_n=a_{n-1}-a_n$とおくと、
$b_{n+1}=\dfrac{n+2}{n+1}b_n \quad (n=1,2,3,･･････)$
が成り立つことを示せ。
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{225}\dfrac{1}{a_n}$の値を求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
福田の数学〜京都大学2025文系第3問〜確率漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$n$は正の整数とする。
$1$枚の硬貨を投げ、
表が出たら$1$、裏が出たら$2$と記録する。
この試行を$n$回繰り返し、
記録された順に数字を左から
並べて$n$桁の数$X$を作る。
ただし、数の表し方は十進法とする。
このとき、$X$が$6$で割り切れる確率を求めよ。
$2025$年京都大学文系過去問題
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$\boxed{3}$
$n$は正の整数とする。
$1$枚の硬貨を投げ、
表が出たら$1$、裏が出たら$2$と記録する。
この試行を$n$回繰り返し、
記録された順に数字を左から
並べて$n$桁の数$X$を作る。
ただし、数の表し方は十進法とする。
このとき、$X$が$6$で割り切れる確率を求めよ。
$2025$年京都大学文系過去問題
福田の数学〜京都大学2025理系第6問〜確率確率漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{6}$
$n$は$2$以上の整数とする。
$1$枚の硬貨を続けて$n$回投げる。
このとき、$k$回目$(1\leqq l \leqq n)$に表が出たら
$X_k=1$、裏が出たら$X_k=0$として、
$X_1,X_2,\cdots ,X_n$を定める。
$Y_n=\displaystyle \sum_{k-2}^{n} X_{k-1}X_k$とするとき、
$Y_n$が奇数である確率$p_n$を求めよ。
$2025$年京都大学理系過去問題
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$\boxed{6}$
$n$は$2$以上の整数とする。
$1$枚の硬貨を続けて$n$回投げる。
このとき、$k$回目$(1\leqq l \leqq n)$に表が出たら
$X_k=1$、裏が出たら$X_k=0$として、
$X_1,X_2,\cdots ,X_n$を定める。
$Y_n=\displaystyle \sum_{k-2}^{n} X_{k-1}X_k$とするとき、
$Y_n$が奇数である確率$p_n$を求めよ。
$2025$年京都大学理系過去問題
福田の数学〜東京大学2025理系第5問〜バブルソートが題材となった数が整列する条件を漸化式にする
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$n$を$2$以上の整数とする。
$1$から$n$までの数字が書かれた札が各$1$枚ずつ合計$n$枚あり、
横一列におかれている。
$1$以上$(n-1)$以下の整数$i$に対して、
次の操作$(T_i)$を考える。
$(T_i)$左から$i$番目の札の数字が、
左から$(i+1)$番目の札の数字よりも大きければ、
これら$2$枚の札の位置を入れ替える。
そうでなければ、札の位置を変えない。
最初の状態において札の数字は左から
$A_1,A_2,\cdots A_n$であったとする。
この状態から$(n-1)$回の操作$(T_1),(T_2),\cdots (T_{n-1})$を
順に行った後、続けて$(n-1)$回の操作
$(T_{n-1}),\cdots ,(T_2),(T_1)$を順に行ったところ、
札の数字は左から$1,2,\cdots ,n$と小さい順に並んだ。
以下の問いに答えよ。
(1)$A_1$と$A_2$の少なくとも一方は$2$以下であることを示せ。
(2)最初の状態としてありうる札の数字の並び方
$A_1,A_2,\cdots 、A_n$no総数を$c_n$とする。
$n$が$4$以上の整数であるとき、
$c_n$を$c_{n-1}$と$c_{n-2}$を用いて表せ。
$2025$年東京大学理系過去問題
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$\boxed{5}$
$n$を$2$以上の整数とする。
$1$から$n$までの数字が書かれた札が各$1$枚ずつ合計$n$枚あり、
横一列におかれている。
$1$以上$(n-1)$以下の整数$i$に対して、
次の操作$(T_i)$を考える。
$(T_i)$左から$i$番目の札の数字が、
左から$(i+1)$番目の札の数字よりも大きければ、
これら$2$枚の札の位置を入れ替える。
そうでなければ、札の位置を変えない。
最初の状態において札の数字は左から
$A_1,A_2,\cdots A_n$であったとする。
この状態から$(n-1)$回の操作$(T_1),(T_2),\cdots (T_{n-1})$を
順に行った後、続けて$(n-1)$回の操作
$(T_{n-1}),\cdots ,(T_2),(T_1)$を順に行ったところ、
札の数字は左から$1,2,\cdots ,n$と小さい順に並んだ。
以下の問いに答えよ。
(1)$A_1$と$A_2$の少なくとも一方は$2$以下であることを示せ。
(2)最初の状態としてありうる札の数字の並び方
$A_1,A_2,\cdots 、A_n$no総数を$c_n$とする。
$n$が$4$以上の整数であるとき、
$c_n$を$c_{n-1}$と$c_{n-2}$を用いて表せ。
$2025$年東京大学理系過去問題
福田のおもしろ数学411〜漸化式で定まる数列の2020項までの和と2030項までの和から2025項までの和を求める
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
数列$\{a_n\}$は$a_n=a_{n-1}-a_{n-2} (n\geqq 3)$を
満たしている。
$\displaystyle \sum_{n=1}^{2020}=2030$ $\quad $ $\displaystyle \sum_{n=1}^{2030}=2020$
を満たすとき
$\displaystyle \sum_{n=1}^{2025} a_n$の値を求めよ。
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数列$\{a_n\}$は$a_n=a_{n-1}-a_{n-2} (n\geqq 3)$を
満たしている。
$\displaystyle \sum_{n=1}^{2020}=2030$ $\quad $ $\displaystyle \sum_{n=1}^{2030}=2020$
を満たすとき
$\displaystyle \sum_{n=1}^{2025} a_n$の値を求めよ。
福田のおもしろ数学374〜365と366を1から365までの整数で割った余りの総和の大小比較
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$360$を$1,2,3,…,365$で割った余りの総和を$A$、$366$を$1,2,3,…,365$で割った余りの総和を$B$とする。$A$と$B$の大小を比較せよ。
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$360$を$1,2,3,…,365$で割った余りの総和を$A$、$366$を$1,2,3,…,365$で割った余りの総和を$B$とする。$A$と$B$の大小を比較せよ。
福田のおもしろ数学371〜初項が素数で漸化式で定義された数列が素数でない項をもつ証明
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$a_1=p$(素数), $a_{n+1}=2a_n-1$で定まる数列には素数でない項が存在する。証明せよ。
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$a_1=p$(素数), $a_{n+1}=2a_n-1$で定まる数列には素数でない項が存在する。証明せよ。
福田のおもしろ数学366〜漸化式で定義された数列の周期性を示す
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
数列 ${x_n}$ が $x_1$ を正の整数とし、
$
x_{n+1} =
\begin{cases}
\frac{1}{2}x_n & (x_n\text{ が偶数})\\
a+x_n & (x_n\text{ が奇数})
\end{cases}
$
($a$ は正の奇数) を満たしている。この数列の周期性を示せ。
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数列 ${x_n}$ が $x_1$ を正の整数とし、
$
x_{n+1} =
\begin{cases}
\frac{1}{2}x_n & (x_n\text{ が偶数})\\
a+x_n & (x_n\text{ が奇数})
\end{cases}
$
($a$ は正の奇数) を満たしている。この数列の周期性を示せ。
福田のおもしろ数学351〜漸化式で定まる数列の第2025項の取り得る値の個数
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$a_1 = 1, a_{n+1} + a_n = ( a_{n+1} - a_n )^2$ で定まる、すべての項が正の数列 $\{ a_n \}$ に対し $a_2025$ の取りうる値は何個あるか。
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$a_1 = 1, a_{n+1} + a_n = ( a_{n+1} - a_n )^2$ で定まる、すべての項が正の数列 $\{ a_n \}$ に対し $a_2025$ の取りうる値は何個あるか。
福田の数学〜北里大学2024医学部第3問〜確率漸化式
単元：
#数A#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
箱Aには赤玉2個、白玉1個入っており、箱Bには白玉3個が入っている。2つの箱A、Bについて、次の操作を繰り返す。
（操作）2つの箱A,Bからそれぞれ1個ずつ玉を同時に取り出し、箱Aから取り出した玉を箱Bに入れて、箱Bから取り出した玉を箱Aに入れる。
ｎ回目の操作を終えたときに箱Aに入っている赤玉の個数が2個、1個、0個である確率をそれぞれ$p_n,q_n,r_n$とする。
（１）$p_1,q_1,p_2,q_2$を求め、$r_n$を$p_n$と$q_n$を用いて表せ。
（２）$p_{n+1}$を$p_n,q_n$で表せ。また$q_{n+1}$を$q_n$を用いて表せ。
（３）$q_n$を求めよ。
（４）$s_n=3^np_n$とおいて、$s_n$を求めよ。また、$p_n$を求めよ。
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箱Aには赤玉2個、白玉1個入っており、箱Bには白玉3個が入っている。2つの箱A、Bについて、次の操作を繰り返す。
（操作）2つの箱A,Bからそれぞれ1個ずつ玉を同時に取り出し、箱Aから取り出した玉を箱Bに入れて、箱Bから取り出した玉を箱Aに入れる。
ｎ回目の操作を終えたときに箱Aに入っている赤玉の個数が2個、1個、0個である確率をそれぞれ$p_n,q_n,r_n$とする。
（１）$p_1,q_1,p_2,q_2$を求め、$r_n$を$p_n$と$q_n$を用いて表せ。
（２）$p_{n+1}$を$p_n,q_n$で表せ。また$q_{n+1}$を$q_n$を用いて表せ。
（３）$q_n$を求めよ。
（４）$s_n=3^np_n$とおいて、$s_n$を求めよ。また、$p_n$を求めよ。
福田の数学〜早稲田大学2024商学部第1問(3)〜漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
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問題文全文(内容文)：
$C$を$1$でない正の実数とする。正の実数の数列$\{a_n\}$が次の条件を満たしている。
$a_1=C,$${a_n}^{n+1}{a_{n+1}}^n=C^{-(2n+1)}$
このとき、一般項$a_n$を$C$を用いて表せ。
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$C$を$1$でない正の実数とする。正の実数の数列$\{a_n\}$が次の条件を満たしている。
$a_1=C,$${a_n}^{n+1}{a_{n+1}}^n=C^{-(2n+1)}$
このとき、一般項$a_n$を$C$を用いて表せ。
福田の数学〜早稲田大学2024商学部第1問(2)〜不等式で決定される自然数の列
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
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問題文全文(内容文)：
$n$を$2$以上の整数とし、$a_1,a_2,a_3,・・・,a_n$を正の整数とする。
$a_1=1,{a_{i+3}}^3\lt 27{a_i}^4(i=1,2,3,・・・,n-1)$
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{a_{i+1}}=\frac{a_1}{a_{2}}+\frac{a_2}{a_{3}}+\frac{a_3}{a_{4}}+・・・+\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\lt 1$
であるとき、$a_n$のとりうる値の最大値は？
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$n$を$2$以上の整数とし、$a_1,a_2,a_3,・・・,a_n$を正の整数とする。
$a_1=1,{a_{i+3}}^3\lt 27{a_i}^4(i=1,2,3,・・・,n-1)$
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{a_{i+1}}=\frac{a_1}{a_{2}}+\frac{a_2}{a_{3}}+\frac{a_3}{a_{4}}+・・・+\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\lt 1$
であるとき、$a_n$のとりうる値の最大値は？
福田のおもしろ数学295〜与えられた不等式を満たす数列の1との大小関係
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
どの項も正である数列$\{a_n\}$について
$(a_{n+1})^2+a_na_{n+2}\leqq a_n+a_{n+2}$
が成り立つとき、
$a_{2024}\leqq 1$を示せ。
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どの項も正である数列$\{a_n\}$について
$(a_{n+1})^2+a_na_{n+2}\leqq a_n+a_{n+2}$
が成り立つとき、
$a_{2024}\leqq 1$を示せ。
福田のおもしろ数学290〜3項間漸化式の第2024項を求める
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$x_1=1,x_2=2,x_{n+2}$ は $(x_{n+1}+1)(x_n+1)$ の一の位と定義する。 $x_{2024}$ を求めよ。
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$x_1=1,x_2=2,x_{n+2}$ は $(x_{n+1}+1)(x_n+1)$ の一の位と定義する。 $x_{2024}$ を求めよ。
福田のおもしろ数学284〜(1+1/n)^nが増加数列である証明
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
数列 $ \large{ a }\scriptsize{ n } = \left(1+\frac{1}{n} \right)^n $ は増加することを証明せよ。
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数列 $ \large{ a }\scriptsize{ n } = \left(1+\frac{1}{n} \right)^n $ は増加することを証明せよ。
福田の数学〜上智大学2024理工学部第3問〜円の内部を反射しながら進む点の通過範囲
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#数列#平面上のベクトルと内積#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B#数C
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問題文全文(内容文)：
点$O$を中心とし半径が$1$の円形のビリヤード台がある。台の縁の点$P_1$に大きさが無視できる球$Q$を置き、半径$P_1O$とのなす角が$\frac{\pi}{8}$の方向へ球$Q$を打ち出す。
球$Q$は、ビリヤード台の縁に当たると、図のように入射角と反射角が等しくなるように反射し、一度打ち出されたら止まらないものとする。
$i=1,2,3,\cdots$に対し、点$P_i$の次に球$Q$が縁に当たる点を$P_{i+1}$とし、$\overrightarrow{OP_i}=\overrightarrow{p_i}$とする。
（1）$\overrightarrow{p_3}=\fbox{あ}\overrightarrow{p_1}+\fbox{い}\overrightarrow{p_2},\overrightarrow{p_4}=\fbox{う}\overrightarrow{p_1}+\fbox{え}\overrightarrow{p_2}$である。
（2）$P_i=P_1となるiのうち、 i\geqq 2で最小のものは\fbox{ソ}である。$
（3）$線分P_1P_2とP_3P_4 との交点をA、線分P_1P_2とP_6P_7との交点をBとすると$
$\overrightarrow{OA}=\fbox{お}\overrightarrow{p_1}+\fbox{か}\overrightarrow{p_2},\overrightarrow{OB}=\fbox{き}\overrightarrow{p_1}+\fbox{く}\overrightarrow{p_2}$である。
（4）球$Q$が点$P_1$から打ち出されてから初めて再び点$P_1$に到達するまでに、中心$O$と球$Q$とを結ぶ線分$OQ$がちょうど2回通過する領域の面積は$\fbox{タ}+\fbox{チ}\sqrt{2}$である。
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点$O$を中心とし半径が$1$の円形のビリヤード台がある。台の縁の点$P_1$に大きさが無視できる球$Q$を置き、半径$P_1O$とのなす角が$\frac{\pi}{8}$の方向へ球$Q$を打ち出す。
球$Q$は、ビリヤード台の縁に当たると、図のように入射角と反射角が等しくなるように反射し、一度打ち出されたら止まらないものとする。
$i=1,2,3,\cdots$に対し、点$P_i$の次に球$Q$が縁に当たる点を$P_{i+1}$とし、$\overrightarrow{OP_i}=\overrightarrow{p_i}$とする。
（1）$\overrightarrow{p_3}=\fbox{あ}\overrightarrow{p_1}+\fbox{い}\overrightarrow{p_2},\overrightarrow{p_4}=\fbox{う}\overrightarrow{p_1}+\fbox{え}\overrightarrow{p_2}$である。
（2）$P_i=P_1となるiのうち、 i\geqq 2で最小のものは\fbox{ソ}である。$
（3）$線分P_1P_2とP_3P_4 との交点をA、線分P_1P_2とP_6P_7との交点をBとすると$
$\overrightarrow{OA}=\fbox{お}\overrightarrow{p_1}+\fbox{か}\overrightarrow{p_2},\overrightarrow{OB}=\fbox{き}\overrightarrow{p_1}+\fbox{く}\overrightarrow{p_2}$である。
（4）球$Q$が点$P_1$から打ち出されてから初めて再び点$P_1$に到達するまでに、中心$O$と球$Q$とを結ぶ線分$OQ$がちょうど2回通過する領域の面積は$\fbox{タ}+\fbox{チ}\sqrt{2}$である。
福田の数学〜上智大学2024理工学部第2問〜漸化式と約数倍数の証明
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる数列 ${a_n}$ を考える。
$a_1=2, \, a_{n+1}=a_n^2+a_n+1$
$(1)$ $a_n-2$ は $5$ で割り切れることを証明せよ。
$(2)$ $a_n^2+1$ は $5^n$ で割り切れることを証明せよ。
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次の条件によって定められる数列 ${a_n}$ を考える。
$a_1=2, \, a_{n+1}=a_n^2+a_n+1$
$(1)$ $a_n-2$ は $5$ で割り切れることを証明せよ。
$(2)$ $a_n^2+1$ は $5^n$ で割り切れることを証明せよ。