数列 - 質問解決D.B.（データベース）

福田の数学〜慶應義塾大学2022年看護医療学部第２問(2)〜漸化式と和に関する不等式

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

(2)

a_{1} = 4, 4 a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 (n = 1, 2, 3, \dots)

で与えられる
数列

{a_{n}}

の一般項は

a_{n} = ア

である。
また

\sum_{n = 1}^{l} a_{n} ≧ 20

を満たす最小の自然数lは

イ

である。

2022慶應義塾大学看護医療学科過去問

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【よく出る応用問題！】f(n)の絡む漸化式を5分で解説！〔数学、高校数学〕

単元： #数列#漸化式#数学(高校生)#数B

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：
f(n)の絡む漸化式について解説します。
以下の漸化式で表される数列の一般項を求めよ。

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 n - 3

a_{1} = 1

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大学入試問題#250　福井大学(2012)　#定積分

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#指数関数#数列#漸化式#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#福井大学#数B#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

n

を0以上の整数とする。
次の2つの条件をみたす関数

f_{n} (x)

を求めよ。
（ⅰ）

f_{0} (x) = e^{x}

（ⅱ）

f_{n} (x) = \int_{0}^{x} (n + t) f_{n - 1} (t) d t

出典：2012年福井大学　入試問題

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深読みしすぎた計算シリーズまとめ１

単元： #数列#数学(高校生)

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
深読みしすぎた計算シリーズまとめ１

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【高校数学】階差数列の問題演習～標準的な問題～ 3-9.5【数学Ｂ】

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
一般項

a_{n}

を求めよ。

-5,1,8,17,29,45,66,...

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福田の数学〜慶應義塾大学2022年総合政策学部第１問〜ガウス記号を含む数列の和

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

実数xに対して、x以下の最大の整数を

[x]

と表すことにする。
いま、数列

{a_{n}}

を

a_{n} = [\sqrt{2 n} + \frac{1}{2}]

と定義すると

a_{1} = ア, a_{2} = イ, a_{3} = ウ, a_{4} = エ, a_{5} = オ, a_{6} = カ,

となる。このとき、

a_{n} = 10

となるのは、

キ ク ≦ n ≦ ケ コ

の場合に限られる。
また、

\sum_{n = 1}^{ケ コ} a_{n} = サ シ ス セ

である。

2022慶應義塾大学総合政策学部過去問

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『Σ』の記号の意味を理解させます

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数B

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
『

Σ

』の記号の意味を理解させます

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【よく出る！】分数型の漸化式はこれで一撃！〔数学、高校数学〕

単元： #数列#漸化式#数学(高校生)#数B

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：
以下の漸化式で表される数列の一般項を求めよ。

a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{3 a_{n} + 1}

a_{1} = 1

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【高校数学】階差数列の問題演習～基礎的な問題～ 3-9.5【数学Ｂ】

単元： #数Ⅱ#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：

\begin{array}{r} 一 般 項 a_{n} を 求 め よ \end{array}

\begin{array}{r} (1) 1, 7, 17, 31, 71, \dots \end{array}

\begin{array}{r} (2) 2, 3, 5, 9, 17, \dots \end{array}

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シグマΣの記号について～中学生でも理解させます～

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：

\begin{array}{r} (1) \sum_{k = 1}^{100} k \end{array}

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無限等比級数

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \dots = ?

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大学入試問題#237　岡山県立大学(2020)　#数学的帰納法

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#岡山県立大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(1 + 2 + 3 + ・ ・ ・ + n)^{2} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ・ ・ ・ + n^{3}

が成り立つことを示せ。

n

：自然数

2020年岡山県立大学　入試問題

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【テストによく出る！】漸化式の典型問題はこう解く！〔数学、高校数学〕

単元： #数列#漸化式#数学(高校生)#数B

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：
以下の漸化式で表される数列の一般項を求めよ。

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3

a_{1} = 1

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福田の数学〜慶應義塾大学2022年経済学部第２問〜絶対値を含む漸化式

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

数列

{a_{n}}

は

a_{n + 1} = - | a_{n} | - \frac{1}{2} a_{n} + 5 (n = 1, 2, 3, \dots)

を満たしている。
(1)

a_{1} = \frac{1}{2}

ならば、

a_{2} = \frac{ア イ}{ウ}, a_{3} = - \frac{エ オ}{カ}

である。
(2)

- 2 ≦ a_{n} ≦ - 1

ならば

a_{n + 1}

および

a_{n + 2}

の取り得る値の範囲は、
それぞれ

キ ≦ a_{n + 1} ≦ \frac{ク}{ケ}, - \frac{コ}{サ} ≦ a_{n + 1} ≦ - シ

である。
以下、

a_{1} = 2 + (\frac{2}{3})^{10}

とする。
(3)

a_{n} < 0

となる自然数nの内最小のものをmとすると、

m = ス セ

である。
(4)(3)の

m

に対して、自然数kが

2 k ≧ m

を満たすとき、

a_{2 k + 2} = - \frac{ソ}{タ} a_{2 k} - \frac{チ}{ツ}

より

a_{2 k} = - \frac{テ ト}{ナ} + \frac{3}{ニ ヌ} (- \frac{ネ}{ノ})^{k - ハ}

が成り立つ。

2022慶應義塾大学経済学部過去問

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大学入試問題#233　岡山県立大学(2012)　#数列

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#岡山県立大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 1

a_{n + 1} = \frac{4}{n} S_{n}

一般項

a_{n}

を求めよ。

出典：2012年岡山県立大学　入試問題

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【高校数学】階差数列の一般項～どこよりも丁寧に～ 3-9【数学B】

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：

a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k}

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福田の入試問題解説〜慶應義塾大学2022年医学部第１問(4)〜合成関数と漸化式

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(4)数列

{a_{n}}, {b_{n}}

(ただし

a_{1} \neq 0

かつ

a_{1} \neq 1

)に対して1次関数

f_{n} (x) = a_{n} x + b_{n} (n = 1, 2, \dots)

を定める。また、

α = a_{1}, β = b_{1}

とおく。すべての自然数nに対して

(f_{n} ◦ f_{1}) (x) = f_{n + 1} (x)

が成り立つとき、数列

{a_{n}}, {b_{n}}

の一般項を

α

と

β

の式で表すと

a_{n} = ク, b_{n} = ケ

となる。

2022慶應義塾大学医学部過去問

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【漸化式ニガテな人は見て！】漸化式の見方の基礎はこれだけです〔数学、高校数学〕

単元： #数列#漸化式#数学(高校生)#数B

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：
以下の漸化式で表される数列の一般項を求めよ。
(1)

a_{n + 1} = a_{n} + 3

a_{1} = 2

(2)

a_{n + 1} = 2 a_{n}

a_{1} = 1

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東北大文系　虚数のナイスな問題

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
pは0でない実数である.

x^{2} - p x + 5 p = 0

の解を

α, β

とする.
(1)

α^{5} + β^{5} = p \5

となるpを求めよ.
(2)

α

は虚数で

α^{5}

が実数となるpを求めよ.

東北大文系過去問

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【群数列ニガテな人は見て！！】群数列はこれさえ出来れば大丈夫！〔数学、高校数学〕

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：
2から順に偶数を並べた数列で、各郡に含まれる数が、1、3、5

\dots

個となるような数列を考える。
2|4,6,8|10,12,14,16,18|20,

\dots

このとき、第n郡の初項と末項を求めよ

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中学生でも解ける京大の入試問題！解けますか？【数学入試問題】【京都大学】

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数B

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：
1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。

京都大過去問

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福田の数学〜浜松医科大学2022年医学部第４問〜確率漸化式と誤った答案に対する指摘

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#浜松医科大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
次の問題
問題
表面と裏面が出る確率がそれぞれであるコインを投げる試行を繰り返し、同
じ面が3回連続して出た時点で試行を終了する。n回投げ終えた段階で試行が
終了する確率

p_{n}

を求めよ。
に対する次の答案Aについて以下の問いに答えよ。
(1) もし答案Aに誤りがあれば誤りを指摘し、その理由を述べよ。ただし、すでに
指摘してある誤った結論から論理的に導き出した結論を誤りとして指摘する必要
はない。誤りがないときは「誤りなし」と答えよ。
(2) 答案Aで導かれたp_nと正解の

p_{n}

とで値が異なるとき、値が異なる最小のnを
求め、そのnに対する正解のpnの値を答えよ。そのようなnがないときは
「すべて一致する」と答えよ。

答案A
自然数nに対して、コインをn回投げ終えた段階で、その後最短で試行が終了するために
必要な回数がk回(

k ≧ 0

)である確率を

p_{n} (k)

とする。このとき、
kは0,1,2のいずれかであるから、確率の総和は

p_{n} (0) + p_{n} (1) + p_{n} (2) = 1

である。また、

p_{n} (0) = p_{n}, p_{n + 1} (0) = \frac{1}{2} p_{n} (1), p_{n + 2} (0) = \frac{1}{4} p_{n} (2)

であるから漸化式

p_{n} + 2 p_{n + 1} + 4 p_{n + 2} = 1 (n ≧ 1)

を得る。ここで

\frac{1}{7} + \frac{2}{7} + \frac{4}{7} = 1

なので、

q_{n} = 2^{n} (p_{n} - \frac{1}{7})

とすれば

q_{n} + q_{n + 1} + q_{n + 2} = 0

である。よって

n ≧ 4

に対して

q_{n} = - q_{n - 1} - q_{n - 2} = (q_{n - 2} + q_{n - 3}) - q_{n - 2} = q_{n - 3}

が成立する。以上より、

Q (x) = {\begin{matrix} q_{1} (n を 3 で 割 っ た 時 の 余 り が 1 の と き) \\ q_{2} (n を 3 で 割 っ た 時 の 余 り が 2 の と き) \\ q_{3} (n が 3 で 割 り 切 れ る と き) \end{matrix}

とすれば求める確率は

p_{n} = \frac{q_{n}}{2^{n}} + \frac{1}{7} = \frac{Q (n)}{2^{n}} + \frac{1}{7} (n ≧ 4)

である。また最初の2項は定義より

p_{1} = p_{2} = 0

であり

p_{n}

の漸化式で

n = 1

とすれば

p_{1} + 2 p_{2} + 4 p_{3} = 1

　であるから

p_{3} = \frac{1}{4}

である。さらに

q_{1} = - \frac{2}{7}, q_{2} = - \frac{4}{7}, q_{3} = \frac{6}{7}

である。したがって

p_{1} = p_{2} = 0, p_{3} = \frac{1}{4}, p_{n} = \frac{Q (n)}{2^{n}} + \frac{1}{7} (n ≧ 4)

となる。

2022浜松医科大学医学部過去問

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【等比数列の和はこれで一撃！】等比数列の和の公式は覚えなくていいです〔数学、高校数学〕

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：
5,10,20,40,80

\dots

で表される等比数列の第n項までの和を求めよ。

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福田の数学〜筑波大学2022年理系第２問〜確率漸化式と常用対数

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
整数

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots

を、さいころをくり返し投げることにより、以下のように
定めていく。まず

a_{1} = 1

とする。そして、正の整数

n

に対し、

a_{n + 1}

の値を、n回目に
出たさいころの目に応じて、次の規則で定める。

(規 則)

　n回目に出た目が1,2,3,4なら

a_{n + 1} = a_{n} 、 5, 6

なら

a_{n + 1} = - a_{n}

例えば、さいころを3回投げ、その出た目が順に5,3,6であったとすると、

a_{1} = 1, a_{2} = - 1, a_{3} = - 1, a_{4} = 1

となる。

a_{n} = 1

となる確率を

p_{n}

とする。ただし、

p_{1} = 1

とし、さいころのどの目も、
出る確率は

\frac{1}{6}

であるとする。
(1)

p_{2}, p_{3}

を求めよ。
(2)

p_{n + 1}

を

p_{n}

を用いて表せ。
(3)

p_{n} ≦ 0.5000005

を満たす最小の正の整数nを求めよ。
ただし、

0.47 < \log_{10} 3 < 0.48

であることを用いてよい。

2022筑波大学理系過去問

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【階差数列の攻略法はこれ！】階差数列の一般項の求め方を解説しました〔数学、高校数学〕

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：
階差数列の一般項の求め方について解説します。

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福田の数学〜千葉大学2022年理系第７問〜不定方程式の自然数解と漸化式で与えられた数列

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

x, y

についての方程式

x^{2} - 6 x y + y^{2} = 9 \dots \dots (*)

に関する次の問いに答えよ。
(1)

x, y

がともに正の整数であるような(*)の解のうち、yが最小であるものを
求めよ。
(2)数列

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots

が漸化式

a_{n + 2} - 6 a_{n + 1} + a_{n} = 0 (n = 1, 2, 3, \dots)

を満たすとする。このとき、

(x, y) = (a_{n + 1}, a_{n})

が(*)を満たすならば、

(x, y) = (a_{n + 2}, a_{n + 1})

も(*)を満たすことを示せ。
(3)(*)の整数解(x,y)は無数に存在することを示せ。

2022千葉大学理系過去問

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早稲田（教育）見た目は数２か数３　中身は中学入試

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#複素数#数列#早稲田大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a_{1} = a_{2} = 1, a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}, \sum_{n = 1}^{2019} i a_{n},

i

は虚数単位である.これを解け.

早稲田大(教育)過去問

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【超難問】2-1が難しすぎる世界

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
深読みしすぎた2-1の計算紹介動画です

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記号は数II,中身は難関中学入試

単元： #数Ⅱ#数列#過去問解説(学校別)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a_{n} = [\log_{4} n], \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = 1104

nの値を求めよ.

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大阪府立大　漸化式と数学的帰納法・合同式の基本問題

単元： #大学入試過去問(数学)#漸化式#大阪府立大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

3 (a_{n} + 1) + 4^{2 n - 1}

は13の倍数であることを示せ.

大阪府立大(経済)過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 数列

福田の数学〜慶應義塾大学2022年看護医療学部第２問(2)〜漸化式と和に関する不等式

【よく出る応用問題！】f(n)の絡む漸化式を5分で解説！〔数学、高校数学〕

大学入試問題#250 福井大学(2012) #定積分

深読みしすぎた計算シリーズまとめ１

【高校数学】階差数列の問題演習～標準的な問題～ 3-9.5【数学Ｂ】

福田の数学〜慶應義塾大学2022年総合政策学部第１問〜ガウス記号を含む数列の和

『Σ』の記号の意味を理解させます

【よく出る！】分数型の漸化式はこれで一撃！〔数学、高校数学〕

【高校数学】階差数列の問題演習～基礎的な問題～ 3-9.5【数学Ｂ】

シグマΣの記号について～中学生でも理解させます～

無限等比級数

大学入試問題#237 岡山県立大学(2020) #数学的帰納法

【テストによく出る！】漸化式の典型問題はこう解く！〔数学、高校数学〕

福田の数学〜慶應義塾大学2022年経済学部第２問〜絶対値を含む漸化式

大学入試問題#233 岡山県立大学(2012) #数列

【高校数学】階差数列の一般項～どこよりも丁寧に～ 3-9【数学B】

福田の入試問題解説〜慶應義塾大学2022年医学部第１問(4)〜合成関数と漸化式

【漸化式ニガテな人は見て！】漸化式の見方の基礎はこれだけです〔数学、高校数学〕

東北大文系 虚数のナイスな問題

【群数列ニガテな人は見て！！】群数列はこれさえ出来れば大丈夫！〔数学、高校数学〕

中学生でも解ける京大の入試問題！解けますか？【数学 入試問題】【京都大学】

福田の数学〜浜松医科大学2022年医学部第４問〜確率漸化式と誤った答案に対する指摘

【等比数列の和はこれで一撃！】等比数列の和の公式は覚えなくていいです〔数学、高校数学〕

福田の数学〜筑波大学2022年理系第２問〜確率漸化式と常用対数

【階差数列の攻略法はこれ！】階差数列の一般項の求め方を解説しました〔数学、高校数学〕

福田の数学〜千葉大学2022年理系第７問〜不定方程式の自然数解と漸化式で与えられた数列

早稲田（教育）見た目は数２か数３ 中身は中学入試

【超難問】2-1が難しすぎる世界

記号は数II,中身は難関中学入試

大阪府立大 漸化式と数学的帰納法・合同式の基本問題

数列

大学入試問題#250　福井大学(2012)　#定積分

大学入試問題#237　岡山県立大学(2020)　#数学的帰納法

大学入試問題#233　岡山県立大学(2012)　#数列

東北大文系　虚数のナイスな問題

中学生でも解ける京大の入試問題！解けますか？【数学入試問題】【京都大学】

早稲田（教育）見た目は数２か数３　中身は中学入試

大阪府立大　漸化式と数学的帰納法・合同式の基本問題