関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）

福田の入試問題解説〜慶應義塾大学2022年医学部第１問(4)〜合成関数と漸化式

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(4)数列

{a_{n}}, {b_{n}}

(ただし

a_{1} \neq 0

かつ

a_{1} \neq 1

)に対して1次関数

f_{n} (x) = a_{n} x + b_{n} (n = 1, 2, \dots)

を定める。また、

α = a_{1}, β = b_{1}

とおく。すべての自然数nに対して

(f_{n} ◦ f_{1}) (x) = f_{n + 1} (x)

が成り立つとき、数列

{a_{n}}, {b_{n}}

の一般項を

α

と

β

の式で表すと

a_{n} = ク, b_{n} = ケ

となる。

2022慶應義塾大学医学部過去問

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根号を含む方程式

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

x^{2} - 5 = \sqrt{x + 5}

実数解を求めよ

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原始ピタゴラス数を探せ

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
原始ピタゴラス数に関して解説していきます.

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数３を使わずに分数関数の最小値を求める

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

x

は正の実数である.

\frac{x^{2} + x + 196}{x + 1}

は

x =

のとき,最小値

となる.

を求めよ.

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福田のわかった数学〜高校３年生理系090〜グラフを描こう(12)無理関数、凹凸、漸近線

単元： #関数と極限#微分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　グラフを描こう。(12)

y = \sqrt[3]{x^{3} - x^{2}}

　のグラフを描け。ただし凹凸、漸近線も調べよ。

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福田のわかった数学〜高校３年生理系089〜グラフを描こう(11)分数関数、凹凸、漸近線

単元： #関数と極限#微分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　グラフを描こう(11)

y = \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}

　のグラフを描け。ただし、凹凸、漸近線も調べよ。

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福田のわかった数学〜高校３年生理系088〜グラフを描こう(10)分数関数、凹凸、漸近線

単元： #関数と極限#微分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　グラフを描こう(10)

y = \frac{e^{x}}{x - 1}

　　　　　　　　　
のグラフを描け。ただし凹凸、漸近線を調べよ。

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【困難は分割せよ！】関数：ラ・サール高等学校～全国入試問題解法

単元： #数学(中学生)#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#高校入試過去問(数学)

指導講師：高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん

問題文全文(内容文)：
入試問題　ラ・サール高等学校

- 1 ≦ x ≦ 2, 3 ≦ y ≦ 4

のとき、

x^{2} y - y

の最大値と最小値を求めよ。

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福田のわかった数学〜高校３年生理系079〜グラフを描こう(1)分数関数のグラフ

単元： #関数と極限#微分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　グラフを描こう(1)

y = \frac{x^{2}}{x - 1}

のグラフを描け。

ただし凹凸は調べなくてよい。

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【数学Ⅲ/微分】逆関数の微分

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：【ゼロから理解できる】高校数学・物理

問題文全文(内容文)：
逆関数の微分法の公式を用いて、次の関数を微分せよ。

y = x^{\frac{1}{5}}

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お茶の水女子大　３次関数と放物線

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

y = x^{3} + (k + 1) x^{2} + k x

と

y = x^{2} q

とが全ての実数

q

において
共有点がただ1つである

k

の範囲を求めよ.

2021お茶の水女子大過去問

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東京海洋大　３次関数の基本

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

y = x^{3} - x

と

y = a x + b

が相異なる3点で交わる

a, b

の条件を求めよ.

2021東京海洋大過去問

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福田のわかった数学〜高校３年生理系044〜極限(44)関数の連続性(1)

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

数 学 III

関 数 の 連 続 性 (1)

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x^{2 n} - x^{2 n - 1} + a x^{2} + b x}{x^{2 n} + 1}

が連続関数となるように

a と b

を定めよ。

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福田のわかった数学〜高校３年生理系020〜極限(20)関数の極限、無理関数の極限(5)

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　無理関数の極限(5)

lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^{2} + 2 x + 3} - (a x + b))

を求めよ。

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福田のわかった数学〜高校３年生理系019〜極限(19)関数の極限、無理関数の極限(4)

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　無理関数の極限(4)

lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 1} -

\sqrt{x^{2} - x + 1})

　を求めよ。

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福田のわかった数学〜高校３年生理系018〜極限(18)関数の極限、無理関数の極限(3)

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　無理関数の極限(3)

lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 1} -

\sqrt{x^{2} - x + 1})

　を求めよ。

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福田のわかった数学〜高校３年生理系017〜関数の極限、無理関数の極限(2)

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　無理関数の極限(2)

lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}

　を求めよ。

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福田のわかった数学〜高校３年生理系016〜極限(16)関数の極限、無理関数の極限

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　極限(16)

lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 8} - 3}{\sqrt{x + 3} - 2}

　を求めよ。　

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【数Ⅲ】関数と極限：逆関数の交点

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

f (x) = \sqrt{1} 2 (x + 1) - 1

について、次の問いに答えなさい。
(1)　関数

y = f (x)

の逆関数

y = f^{- 1} (x)

を求めよ。
(2)　関数

y = f (x)

と

y = f^{- 1} (x)

のグラフの共有点の座標を求めよ。

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慶應（理）　関数の極限

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

x > 0, e a ≒ 2.71 ･ ･ ･

(1)

\sqrt{x} \log_{x} > - 1

を示せ.
(2)(1)を利用して

lim_{x \to + 0} x \log x = 0

を示せ.

2019慶應(理)過去問

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数検準1級2次過去問【2020年12月】3番：合成関数

単元： #数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

0 ≦ x ≦ 4

f (x) = \begin{array}{r} {\begin{cases} x + 2 (0 ≦ x < 2) \\ - 2 x + 8 (2 ≦ x ≦ 4) \end{cases} \end{array}

(1)

f (f (x)) (0 ≦ x ≦ 4)

を求めよ。
(2)

f (f (x)) = x

をみたすxをすべて求めよ。

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東京海洋大　漸化式と３次関数

単元： #数列#漸化式#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

n

は自然数とする.

a_{1} = 1

であり,

a_{n + 1} = 27^{n^{2} - 3 n - 9} a_{n}

とする.

(1)一般項

a_{n}

を求めよ.
(2)

a_{n}

が最小となる値を求めよ.

2013東京海洋大過去問

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一橋大　３次関数の最大値

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

f (x) = x^{3} - 3 a x^{2} + a

,

x ≦ 2

の範囲で

f (x)

の最大値が

105

となるような

a

の値を求めよ.

一橋大過去問

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東京電機大　４次関数と直線の共有点

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x

と

y = k (x - 1)

の共有点の個数を求めよ.

東京電機大過去問

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11奈良県教員採用試験（数学：高校3番逆関数と積分）

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#指数関数#対数関数#関数と極限#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

高　

f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

(x ≧ 0)

の逆関数をg(x)
(1)g(x)を求めよ。
(2)y=g(x),x=2,x軸で囲まれた面積

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20年5月数学検定1級1次試験（微分）

単元： #数Ⅱ#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#三角関数#三角関数とグラフ#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学検定#数学検定1級#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x=sinθ

y = - l o g t a n \frac{θ}{2} - c o s θ

θ = \frac{π}{3}

における

\frac{d y}{d x^{2}}

を求めよ。

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三角関数の基本　合成公式　図書館情報大

単元： #数Ⅱ#三角関数#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\sqrt{3} \sin 2 x + 2 \sin^{2} x - 1

,

0 ≦ x < π

における最大値,最小値を求めよ.

1985図書館情報大過去問

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慶応義塾大　4次方程式

単元： #関数と極限#微分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} - k = 0

が相異なる4つの実数解をもつ

k

の範囲
そのときの4つの解のうち最大のものを

α

とする。

α

の範囲を求めよ

出典：1989年慶應義塾大学　過去問

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京都大合成関数不等式

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a ≧ 2, f (x) = (x + a) (x + 2)

f (f (x)) > 0

がすべての実数

x

に対して成り立つような

a

の範囲を求めよ

出典：2013年京都大学　過去問

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京都大　微分　合成関数 Mathematics Japanese university entrance exam Kyoto University

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
1993年国立大学法人京都大学

f (x) = x^{3} - 3 a x

(1) f (x) = t

が相違3実根をもつ

a, t

の条件

(2) g (x) = f (f (x)), g (x) = 0

が相違9実根をもつ

a

の範囲

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）

福田の入試問題解説〜慶應義塾大学2022年医学部第１問(4)〜合成関数と漸化式

根号を含む方程式

原始ピタゴラス数を探せ

数３を使わずに分数関数の最小値を求める

福田のわかった数学〜高校３年生理系090〜グラフを描こう(12)無理関数、凹凸、漸近線

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福田のわかった数学〜高校３年生理系088〜グラフを描こう(10)分数関数、凹凸、漸近線

【困難は分割せよ！】関数：ラ・サール高等学校～全国入試問題解法

福田のわかった数学〜高校３年生理系079〜グラフを描こう(1)分数関数のグラフ

【数学Ⅲ/微分】逆関数の微分

お茶の水女子大 ３次関数と放物線

東京海洋大 ３次関数の基本

福田のわかった数学〜高校３年生理系044〜極限(44)関数の連続性(1)

福田のわかった数学〜高校３年生理系020〜極限(20)関数の極限、無理関数の極限(5)

福田のわかった数学〜高校３年生理系019〜極限(19)関数の極限、無理関数の極限(4)

福田のわかった数学〜高校３年生理系018〜極限(18)関数の極限、無理関数の極限(3)

福田のわかった数学〜高校３年生理系017〜関数の極限、無理関数の極限(2)

福田のわかった数学〜高校３年生理系016〜極限(16)関数の極限、無理関数の極限

【数Ⅲ】関数と極限：逆関数の交点

慶應（理） 関数の極限

数検準1級2次過去問【2020年12月】3番：合成関数

東京海洋大 漸化式と３次関数

一橋大 ３次関数の最大値

東京電機大 ４次関数と直線の共有点

11奈良県教員採用試験（数学：高校3番 逆関数と積分）

20年5月数学検定1級1次試験（微分）

三角関数の基本 合成公式 図書館情報大

慶応義塾大 4次方程式

京都大 合成関数 不等式

京都大 微分 合成関数 Mathematics Japanese university entrance exam Kyoto University

お茶の水女子大　３次関数と放物線

東京海洋大　３次関数の基本

慶應（理）　関数の極限

東京海洋大　漸化式と３次関数

一橋大　３次関数の最大値

東京電機大　４次関数と直線の共有点

11奈良県教員採用試験（数学：高校3番逆関数と積分）

三角関数の基本　合成公式　図書館情報大

慶応義塾大　4次方程式

京都大合成関数不等式

京都大　微分　合成関数 Mathematics Japanese university entrance exam Kyoto University