問題文全文(内容文)：
任意の正の整数$x,y$に対して定義された関数$f$は

$f(x,x)=x,f(x,y)=f(y,x)(x+y)f(x,y)=$
$yf(x,x+y)$

を満たしている。
このような関数$f(x,y)$をすべて求めよ。

問題文全文(内容文)：
任意の実数$x,y$に対して$f(0)=1$、

$f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2$

が成り立つような実数値関数$f(x)$をすべて求めて下さい。

問題文全文(内容文)：
aは定数とする。次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。

(2)では、必要ならば$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \displaystyle \frac{x}{e^x} =0$を用いてよい。

(1)　$x^3-ax+2a$=0
(2)　$2x-1=ae^{ -x }$

問題文全文(内容文)：
次のことが成り立つことを証明せよ。

$0≦x≦1$のとき

$1-x+x²e^x≦e^x≦1+x+\displaystyle \frac{1}{2}
x²e^x$

問題文全文(内容文)：
$x→∞$のとき、$y=x$が$y=\log x$と比較して、
より急速に増大すること、すなわち

$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \displaystyle \frac{x}{\log x} =\infty$

が成り立つことを証明せよ。

ただし、まずは次の①～③のどれか１つを証明し、それを利用せよ。

①$x≧4$のとき、$x^2＞\log x$が成り立つ
②$x≧4$のとき、$x＞\log x$が成り立つ
③$x≧4$のとき、$\sqrt{x}＞\log x$が成り立つ

問題文全文(内容文)：
すべての正の数xに対して、

不等式$\sqrt{x}>a\log x$が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。

問題文全文(内容文)：
　次のことが成り立つことを証明せよ。

(1)　$b≧a>0$のとき　$logb-loga≧\displaystyle \frac{2(b-a)}{(b+a)}$

(2)　$0＜α＜β≦\displaystyle \frac{π}{2}$のとき　$\displaystyle \frac{α}{β}<\displaystyle \frac{sin α}{sin β}$

問題文全文(内容文)：
　$x＞0$のとき、次の不等式を証明せよ。

(1)　$sin x＞x-\displaystyle \frac{x^2}{2}$

(2)　$1-\displaystyle \frac{x}{2}＜\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}}＜1-\displaystyle \frac{x}{2}+\displaystyle \frac{3x^2}{8}$

問題文全文(内容文)：
微分しなさい
$y=(x+2)(x-1)(x-5)$
$y=(x^3-x)(x^2+1)(x-1)$
$ y= \dfrac{x}{(1+x^3)^2}$
$y= \dfrac{1}{x\sqrt[ 4 ]{ x }}$
$y=x \sqrt{x^2+2}$
$y= \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
$f(x) = \dfrac{1}{x^3+1}$の逆関数$f^{-1}(x)$ の $x=\dfrac{1}{9}$における微分係数を求めよ。

問題文全文(内容文)：
関数 $f(x) = 2^x - x^2$ について考える。必要ならば，$0.6 < \log 2 < 0.7, -0.4 < \log(\log 2) < -0.3$ を用いてよい。
(3) 方程式 $f(x) = 0$ の異なる実数解の個数を求めよ。
(4) 方程式 $f(x) = 0$ の実数解のうち，最小のものを $p$ とする。このとき，曲線 $y = f(x)$ の $x \leqq 0$ の部分，放物線 $y = -x^2 + \frac{2}{\log 2} x$，および $2$ つの直線 $x = p, x = 0$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
関数 $f(x) = 2^x - x^2$ について考える。必要ならば $0.6 < \log 2 < 0.7$ ，$-0.4 < \log(\log 2) < -0.3$ を用いてよい。
(1) $f(x)$ は区間 $x \geqq 4$ で増加することを示せ。
(2) 方程式 $f'(x) = 0$ の異なる実数解の個数を求めよ。

問題文全文(内容文)：
関数 $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^4 + 1}}$ ($x \geqq 0$) は $x =$ [い] のとき，極大値 $\frac{\sqrt{\text{[う]}}}{\text{[え]}}$ をとる。また，曲線 $y = f(x)$ 上の $x = \sqrt[\text{[お]}]{\text{[か]}}$ における点は変曲点である。ここで，この変曲点における接線が $x$ 軸および $y$ 軸と交わる点をそれぞれ $\text{A}, \text{B}$ とする。原点を $\text{O}$ とするとき，$\triangle \text{OAB}$ の面積は $\frac{\text{[きく]} \sqrt{\text{[けこ]}}}{\text{[さし]}}$ である。次に，$a$ を正の定数とする。方程式 $\sqrt{x^4 + 1} = ax$ は $a > \sqrt{\text{[す]}}$ のとき，異なる [せ] 個の実数解をもつ。

問題文全文(内容文)：
(1) 関数 $f(x) = \sin^{11} x$ の $-\pi \leqq x \leqq \pi$ における極大値は $x = $ [ア] $\pi$ のとき [イ] であり，極小値は $x = $ [ウ] $\pi$ のとき [エ] である。
また，曲線 $y = f(x)$ の $5$ つある変曲点の $x$ 座標を小さい順に $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ とするとき，
$\sum_{k=1}^{5} \cos^2 \alpha_k = \frac{[\text{オカ}]}{[\text{キク}]}$である。
(2) $0$ 以上の整数 $m, n$ に対して，
$S_{m,n} = \int_{-1}^{1} (1-x)^m (1+x)^n \, dx$
とすると，
$S_{3,1} = \frac{[\text{ケ}]}{[\text{コ}]}$である。
また，$n$ を $1$ 以上の整数とするとき，$S_{m,n}$ を $S_{m+1,n-1}$ を用いて表すと，
$S_{m,n} = \frac{[\text{サ}]}{[\text{シ}]} S_{m+1,n-1}$である。（選択肢略）
また，$S_{5,5} = \frac{[\text{スセソ}]}{[\text{タチツ}]}$である。
(3) (1)において，$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲で $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸および直線 $x = \frac{\pi}{2}$ で囲まれる部分の面積は $\frac{[\text{テトナ}]}{[\text{ニヌネ}]}$ である。

問題文全文(内容文)：
原点を $\mathrm{O}$ とする座標空間に3点 $\mathrm{A}(2,2,0)$, $\mathrm{B}(0,2,2)$, $\mathrm{P}(t,t,t)$ がある。線分 $\mathrm{AB}$ を直径とする球面を $K$ とし、球面 $K$ の中心を $\mathrm{C}$ とする。ただし、$t$ は正の実数とする。
(1) $\vec{\mathrm{OA}} \cdot \vec{\mathrm{OB}} =$ [ あ ] である。また、球面 $K$ の方程式は$$x^2 + y^2 + z^2 - [ い ]x - [ う ]y - [ え ]z + [ お ] = 0$$である。
(2) 直線 $\mathrm{OP}$ と球面 $K$ の共有点を $\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2$ とし、$\mathrm{OP}_1 < \mathrm{OP}_2$ とする。$\mathrm{P}_1$ の $x$ 座標は [ か ] / [ き ] であり、$\mathrm{P}_2$ の $x$ 座標は [ く ] である。このとき、三角形 $\mathrm{CP}_1\mathrm{P}_2$ の面積は [ け ][ こ ] $\sqrt{[ さ ]}$ / [ し ] である。
(3) 点 $\mathrm{P}$ を通り直線 $\mathrm{OP}$ に垂直な平面が球面 $K$ と接するとき、接点の座標を $(p,q,r)$ とすると、$p = [ す ] \mp [ せ ] \sqrt{[ そ ]} / [ た ]$ である。ただし、2つずつある [ す ][ せ ][ そ ][ た ] にはそれぞれ同じものが入る。このとき、2つの $p$ の値に対応する接点を $p$ の値が小さい順に $\mathrm{T}_1, \mathrm{T}_2$ とし、$\mathrm{T}_2$ から直線 $\mathrm{OT}_1$ に水線 $\mathrm{T}_2\mathrm{D}$ を引くと、$\mathrm{D}$ の座標は ( [ ち ] / [ つ ], [ て ] + $\sqrt{[ と ]}$ / [ な ], [ に ] / [ ぬ ] ) である。
(4) 点 $\mathrm{P}$ を通り直線 $\mathrm{OP}$ に垂直な平面 $\alpha$ との共有部分が円 $R$ となるときを考える。ただし、平面 $\alpha$ が点 $\mathrm{C}$ を通るときを除くとする。このとき、$\mathrm{C}$ を頂点とし円 $R$ を底面とする円すいの体積の最大値は [ ね ][ の ] $\sqrt{[ は ]}$ / [ ひ ][ ふ ] である。

問題文全文(内容文)：
【4】
(1) 関数 $f(x)$ を$f(x) = 3^{3x+1} - 42 \cdot 3^{2x-1} + 3^{x+1} \quad (x \leqq \log_3 4)$とする。$f(x)$ は $x = {\fbox{\quad}}$ のとき、最大値 ${\fbox{\quad}}$、最小値 ${\fbox{\quad}}$ をとる。
(2) $\log_2 10^5$ の整数部分は ${\fbox{\quad}}$ である。$\log_2 10^2$, $\log_2 10^3$, $\log_2 10^5$ の小数部分をそれぞれ $a, b, c$ とするとき、$2a + 7b - 5c = {\fbox{\quad}}$である。

問題文全文(内容文)：
aを実数とする。曲線y=e^x上の各点における法線のうちで、点p(a,3)を通るものの個数をn(a)とする。n(a)を求めよ。

問題文全文(内容文)：
放物線 $C : y = x ^ 2$ 上に点$P(t, t²)$をとる。$C$の点$P$における法線上に点$Q$を、$PQ=1$ であり、点$Q$の$y$座標が点$P$の$y$座標よりも大きくなるようにとる。 点$Q$の$x$座標を$f(t)$ とおく。次の問いに答えよ。
(1) $f(t)$ を求めよ。
(2) $t$が$0\leqq t$の範囲を動くときの$f(t)$の最小値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
(i) $\log_{10} 2=0.301$とする。このとき、$\log_{10} 1.28=0.\boxed{ウ}$である。
(ii)$n$は$2$以上の整数とする。$n^{100}<1.28^n$となる最小の$n$について、$2^a \leqq n < 2^{a+1}$となる整数$a$は$\boxed{エ}$

問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
$(1)$ 関数 $\displaystyle{y=\frac{x}{x^2+1}}$ の増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、そのグラフを描け。
$(2)$ $k$ を自然数とする。曲線 $\displaystyle{y=\frac{x}{x^2+1}}$ と $x$ 軸および2直線 $x=k$, $x=k+1$ で囲まれた図形の面積を $k$ を用いて表せ。
$(3)$ 無限級数
\begin{equation*}
\frac{1}{1^2+1}+\frac{2}{2^2+1}+\frac{3}{3^2+1}+\cdots+\frac{n}{n^2+1}+\cdots
\end{equation*}
の収束、発散を調べよ。

問題文全文(内容文)：
$f(x)=\sin{3x}-\sqrt3\cos{2x}$とし、座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする。
(1) 点$(0,f(0))$における曲線$C$の接線の方程式は$y=\boxed{あ}$である。
(2) $t$についての整式$g(t)$で、$f'(x)=g(\sin x)\cos x$が成り立つものを求めると、$g(t)=\boxed{い}$である。
(3) $x>0$の範囲で、$f'(x)=0$となる$x$の値を小さい順に$x_1,x_2,x_3,\cdots$とすると、$x_1=\boxed{う},x_2=\boxed{え},x_3=\boxed{お}$である。
(4) $0\leqq x\leqq \pi$の範囲での$f(x)$の最大値は$\boxed{か}$、最小値は$\boxed{き}$である。
(5) (4)で定めた$x_1$と$x_3$に対して、2点$(x_1,f(x_1)),(x_3,f(x_3))$を通る直線を$l$とする。このとき、$x_1\leqq x\leqq x_3$の範囲において直線$l$と曲線$C$で囲まれた部分の面積は$\boxed{く}$である。

問題文全文(内容文)：
任意の $x,y$ について $|\sin x - \sin y| \leqq k|x-y|$ が成り立つような定数 $k$ の最小値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$f(x)=\displaystyle \frac{1}{x^3}$において
$f'(1)$を定義に従って求めよ。

出典：1965年京都大学

問題文全文(内容文)：
$e^π$と$π^e$の大小を比較してください。

問題文全文(内容文)：
$\sqrt{ 1+x+x^2 }$
$x=1$における微分係数を定義に従って求めよ

出典：1965年京都大学

問題文全文(内容文)：
関数$f(x),g(x)$に対し、$s_n(x)=f(x)^n+g(x)^n$とおき、さらに$s_1(x)=x, s_2(x)=x^2+2$が成り立つとする。
(1) $f(x)+g(x)$と$s_3(x)$を求めよ。
(2) $s_{n+2}(x)$を$s_n(x)$と$s_{n+1}(x)$を用いて表せ。
(3) $s_n(x)$の$x=0$における値$s_n(0)$と微分係数$s_n'(0)$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$a$ を $1$ 以上の実数、$b$ を実数とし、関数 $f(x), \, g(x), \, h(x)$ を以下で定める。
$\displaystyle f(x)=-|2|x|-1|, \quad g(x)=ax+b, \quad h(x)=e^x$
$(1)$ すべての実数 $x$ に対して $f(x) \leq g(x)$ が成り立つ。$(a, \, b)$ の範囲は、条件 $a \geq 1$ の下では、$b \geq 1$ のとき $a \leq \fbox{ア}$ であり、$\frac{1}{2} \leq b \leq 1$ のとき $a \leq \fbox{イ}$ である。$b < \frac{1}{2}$ のとき条件を満たす $a$ は存在しない。
$(2)$ 実数$p$ に対し、$x=p$ における $y=h(x)$ の接線の方程式は $y=\fbox{ウ}$ である。したがって $a=e^p$ のとき、すべての実数 $x$ に対して $g(x) \leq h(x)$ が成り立つのは $b \leq \fbox{エ}$ のときであり、これは $a$ と $b$ の関係式として $b \leq \fbox{オ}$
$(3)$ すべての実数 $x$ に対し、$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ が成り立つような $(a, \, b)$ 全体のなす領域を $D$ とする。$D$ における $a$ の最大値は $\fbox{カ}$ である。また、$D$ の面積は $\fbox{キ}$ である。

問題文全文(内容文)：
$a$と$b$は実数の定数とする。関数
$f(x)=(1-2x^2)cos2x+2xsin2x+acos^2x+b\displaystyle \int_{0}^{x } tsin2t dt$
について、以下の問いに答えよ。

(1) $a=8 \pi ^2, \ b=-4 \pi$のとき、$0
(2) 次の条件(B)を満たす$a,b$を求めよ。
(B) $0 この動画を見る