高校入試過去問(数学)

【高校受験対策】数学-関数44

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・関数44

Q
右の図で、点Oは原点であり、放物線①は関数

y = x^{2}

のグラフで、直線②は関数

y = x - 1

のグラフである。
点Aは直線②上の点で、その

x

座標は

- 2

であり、点Pは放物線①上の点で、その

x

座標は正の数である。
点Pを通り

y

軸に平行な直線をひき、直線②との交点をQとする。
また、点Aを通り

x

軸に平行な直線をひき、直線PQとの交点をRとする。
これについて、次の(1)、(2)の問いに答えよ。

(1)関数

y = x^{2}

で、

x

の変域が

- 1 ≦ x ≦ 3

のとき、

y

の変域を求めよ。

(2)線分PQの長さと、線分QRの長さが等しになるとき、点Pの

x

座標はいくつか求めよ。

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【高校受験対策】数学-図形31

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・図形31

Q.
下の図のように、AB＝6cm、 BC＝8cm、CA＝3cm、BE＝12cmの三角柱ABC-DEFがある。
点Pは、点Bを出発して辺BE上を毎秒1cmの速さで動き、点で停止する。
点Qは、点Cを出発して辺CF上を毎秒2cmの速さで動き、点Fで折り返して点Cに戻ったところで停止する。
2点P、Qが同時に出発し、出発してからの時間を

x

秒

(0 ≦ x ≦ 12)

とする。
このことについて、次の問いに答えなさい。

①

0 ≦ x ≦ 6

のとき、四角形PBCQの面積を

x

を使って表せ。

②

6 ≦ x ≦ 12

のとき、四角形PBCQの面積を

x

を使って表せ。

③線分PQが長方形BCFEの面積を2等分するときの

x

の値をすべて求めよ。

④三角DPQがDP=DQの二等辺三角形となるとき、線分PQの長さを求めよ。

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【高校受験対策】数学-死守47

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・死守47

①

2 - 9 - (- 4)

を計算せよ。

➁

\frac{7 x + 2}{3} + x - 3

を計算せよ。

③

8 a \div (- 4 a^{2} b) \times a b^{2}

を計算せよ。

④

4 \sqrt{3} \div \sqrt{2} + \sqrt{54}

を計算せよ。

⑤

\frac{9}{2} < \sqrt{n} < 5

となるような自然数

n

の個数を求めよ。

⑥

y

は

x

に反比例し、

x = - 3

のとき

y = 8

である。

x = 6

のときの

y

の値を求めよ。

⑦面積が

15 c m^{2}

の三角の底辺の長さを

a

cm、高さを

b

cmとする。
このとき、

b

を

a

の式で表せ。

⑧2次方程式

x^{2} - a x - 12 = 0

の解の1つが2のとき、

a

の値ともう1つの解を求めよ。

⑨関数

y = x^{2}

について、

x

の変域が

a ≦ x ≦ 2

のとき、

y

の変域は

0 ≦ y ≦ 9

である。
このときの

a

の値を求めよ。

⑩ある中学校の3年生70人について、夏休みに読み終えた本の冊数を調べた。
この3年生70人が読み終えた本の冊数の中央値は6.5冊であった。
この結果から必ずいえることについて通べた文として正しいものを、次のア～エから1つ選なさい。

ア　3年生70人が読み終えた本の冊数の平均は、6.5冊である。
イ　3年生70人が読み終えた本の冊数を多い順に並べたとき、多いほうから数えて35番目と36番目の冊数の平均は、6.5冊である。
ウ　３年生70人が読み終えた本の冊数のうち、最も多い冊数と最も少ない冊数の平均は6.5冊である。
エ　3年生70人が読み終えた本の冊数を度数分布表に整理すると、 6.5冊を含む階級の度数が最も多い。

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【高校受験対策】数学-図形30

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・図形30

Q
図1のように、

A B = A C

である二等辺三角形

A B C

があります。
次の各問いに答えなさい。

①
図2のように、

A B = 9

、

B C = 6

のとき、辺

A B

上に

B E = 3

となるとなる点

E

をとり、
辺

B C

上に

∠ B A C = ∠ B D E

となる点

D

をとります。
このとき線分

B D

の長さを求めなさい。

②辺

B C

に平行な直線と辺

A B

、

A C

の交点を

F

、

G

とするとき、

△ A F G

の面積が

△ A B C

の面積の半分になるような点

F

および点

G

を、コンパスと定規を使って作図しなさい。
ただし作図に使った線は消さないこと。

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【高校受験対策】数学-死守45

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・死守45

①

- 5 + 2

を計算しなさい。

②

(x + 2)^{2}

を展開しなさい。

③

y

は

x

に反比例し、比例定数は 3である。

x

と

y

の関係を式に表しなさい。

④正五角形の内角の和は何度か、求めなさい。

⑤二次方程式

2 x^{2} - x = 0

を解きなさい。

⑥となる自然数

a

をすべて求めなさい。

⑦直線

6 x - y = 1

0と

x

軸との交点をPとする。
直線

a x - 2 y = 15

が点Pを通るとき、

a

の値を求めなさい。

⑧500円、100円、50円、10円の硬質が1枚ずつある。
この4枚の硬貨を同時に投げるとき、表が出た硬貨の合計金額が、600円以上になる確率を求めなさい。
ただしすべての硬貨の表と裏の出かたは同様に確からしいものとする。

⑨右の図は円錐の展開図です。
この展開図を組み立てたとき、側面となるおうぎ形は半径が16cm、中心角が135°である。
底面となる円の半径を求めなさい。

⑩右の表は、生徒100人の通学時間を度数分布表に表したものである。

a : b = 4 : 3

であるとき、中央値が含まれる階級の相対度数を求めなさい。

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【高校受験対策】数学-死守44

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・死守44

①

2 - (- 5)

を計算せよ。

②

7 + 3 \times (- 4)

を計算せよ。

③

\sqrt{45} - \frac{25}{\sqrt{5}}

を計算せよ。

④

4 (2 a - 3 b) - (a + 2 b)

を計算せよ。

⑤1次方程式

5 x - 2 = 2 (4 x - 7)

を解け。

⑥2次方程式

x (x - 1) = 3 (x + 4)

を解け。

⑦次の連立方程式を解け。

x - 2 y = 7

4 x + 3 y = 6

⑧A市におけるある日の最高気温と最低気温の温度差は19℃でした。
この日のA市の最高気温は15℃でした。最低気温は何℃求めなさい。

⑨比例式

x : x - 3 = \frac{3}{2}

を満たす

x

の値を求めなさい。

➉関数

y = - 7 x^{2}

グラフ上に

y

座標が-28である点があります。
この点の

x

座標を求めなさい。

⑪

y

は

x

に反比例し、

x = 3

のとき

y = 8

である。

x = - 2

のときの

y

の値を求めなさい。

⑫ 右の表はA中学校の1年生と3年生の通学時間を調査し、その結果を度数分布表に整理したものである。
この表をもとに、中央値が大きい方の学年とその学年の中央値がふくまれる階級を答えなさい。

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【高校受験対策】数学-死守43

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・死守43

①

- 6 + 9

の計算をしなさい。

➁

- 15 \times \frac{3}{10}

の計算をしなさい。

③

\sqrt{75} - 4 \sqrt{3}

の計算をしなさい。

④

\frac{x + y}{2} - \frac{2 x - y}{3}

の計算をしなさい。

⑤

x^{2} - x - 56

を因数分解しなさい。

⑥10以下の素数をすべて書きなさい。

⑦下の図はある反比例のグラフである。この関係の式を求めなさい。

⑧1本

a

円のえんぴつを6本と1冊

b

円のノートを5冊買うと、代金の合計は1000円以下になる。
このときの数量関係を不等式で表しなさい。

⑨右の図はある立体の投影図である。
この立体の表面積を求めなさい。

⑩4点、A,B,C,Dが同じ円周上にあるものを次のア~エの中からすべて選び、番号を書きなさい。

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【高校受験対策】数学-図形29(番号間違えました)

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・図形28

Q
図1のように、円

o

の円周上に3点、

A, B, C

を

A B = A C

となるようにとり、

△ A B C

をつくる。
点

C

をふくまない

\overset{⌢}{A B}

上に、点

D

を

∠ D A B < ∠ B A C

となるようにとり、点

B

と点

D

を線分で結ぶ。
線分

C D

上に点

E

を

∠ E A C = ∠ D A B

となるようにとる。

①図1において、

△ A D E ∽ △ A B C

を証明しなさい。

②図2は、図1において

∠ B A C = 60 °

、点

C

を含まない

\overset{⌢}{A D}

と

\overset{⌢}{D B}

の長さの比が

3 : 1

となる場合を表している。
図2において、円

o

の半径が4cmのとき、

△ A D C

の面積を求めなさい。

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【高校受験対策】数学-図形28

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・図形28

Q
右の図1で、四角形

A B C D

は平行四辺形である。
点

P

は辺

C D

上にある点で、頂点

C

,頂点

D

のいずれにも一致しない。頂点

A

と点

P

を結ぶ。

問1
図1において、

∠ A B C = 50 °

、

∠ D A P

の大きさを

a °

とするとき、

∠ A P C

の大きさを

a

を用いて表しなさい。

問2
右の図2は、図1において頂点

B

と点

P

を結び、頂点

D

を通り線分

B P

に平行な直線を引き、
辺

A B

との交点を

Q

、線分

A P

との交点を

R

とする。次の(1)、(2)に答えよ。

(1)

△ A B P ∽ △ P D R

であることを証明せよ。

(2) 図2において頂点

C

と点

R

を結び、線分

B P

と線分

C R

の交点を

S

とする。

C P : P D = 2 : 1

のとき、四角に

Q B S R

の面積は

△ A Q R

の面積の何倍であるが求めなさい。

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【高校受験対策】数学-死守42

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・死守42

Q.次の計算をしなさい。

①

13 - 4^{2}

②

\sqrt{50} - 3 \sqrt{2}

③

18 x y^{3} \div (- 3 y)^{2}

④

3 x + 7 + 3 (x - 2)

⑤

(\sqrt{7} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{5})

⑥方程式

x - y + 1 = 3 x + 7 = - 2 y

を解きなさい。

⑦

a, b

を負の数とするとき、次のア～エの式のうちその値がつねに負になるものはどれですか。
一つ選び記号を書きなさい。

ア　

a b

イ　

a + b

ウ　

- (a + b)

エ　

(a - b)^{2}

⑧1辺の長さが

x c m

の正方形がある。
この正方形の縦の長さを4cm長くし、横の長さを5cm長くして長方形をつくったところ、
できた長方形の面積は210

c m^{2}

であった。

x

の値を求めなさい。

⑨

x = 5 - 2 \sqrt{3}

のとき

x^{2} - 10 x + 2

の値を求めなさい。

⑩右の表は、ある果樹園で収穫された50個のみかんの重さを度数分布表にまとめたものである。
この度数分布表から、50個のみかんの重さの最頻値を求めなさい。

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【高校受験対策】数学-規則性8

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・規則性8

Q.
形も大きさも同じ半径1cmの円盤がたくさんある。
これらを図1のように、縦m枚、横n枚(m,nは3以上の整数)の長形状に並べる。
このとき4つの角にある円盤の中心を結んでできる図形は長方形である。
さらに図2のように、それぞれの円盤は

x

で示した、点で他の円盤と接しており、ある円盤が接している円盤の枚数をその円盤に書く。
例えば、図2はm=3、n=4の長方形状に円盤を並べたものであり、
円盤Aは2枚の円盤と接しているので、円盤Aに書かれる数は2となる。
同様に円盤Bに書かれる数は3、円盤Cに書かれる数は4となる。
また、m=3、n=4の長方形状に円盤を並べたとき、すべての円盤に他の円盤と押している枚数をそれぞれ書くと、図3のようになる。

①m=4、n=5のとき、3が書かれた円盤の枚数を求めなさい。

②m=5、n=6のとき、円盤に書かれた数の合計を求めなさい。

③m=

x

、n=

x

のとき、円盤に書かれた数の合計は440であった。
このとき

x

の値を求めなさい。

④の文のⅠ、Ⅱ、Ⅲに当てはまる数を求めなさい。ただしa,bは20以上の整数で、a \lt bとする。
m=a+1、n=b+1として、円盤を図1のように並べる。
4つの角にある円盤の中心を結んでできる長方形の面積が780

c m^{2}

となるとき、
4が書かれた円盤の枚数はa=(Ⅰ)、b=(Ⅱ)のとき最も多くなり、その枚数は(Ⅲ)枚である。

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【高校受験対策】数学-死守41

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・死守41

①

5 \div \frac{1}{2} \times (- 8)

を計算しなさい。

②

(\sqrt{7} - 1)^{2}

を計算しなさい。

③

a = 3

、

b = - 4

のとき、

(- a b)^{3} \div a b^{2}

の値を求めなさい。

④2次方程式で

x^{2} = 6 x

を解きなさい。

⑤次の連立方程式を解きなさい。

- x + 2 y = 8

3 x - y = 6

⑥4枚の硬貨を同時に投げたとき、表と裏が2枚ずつ出る確率を求めなさい。

⑦底面の半径が3cm、高さが4cmである円柱の表面積を求めなさい。
ただし円周率は

π

とする。

⑧右の図の円

o

において、

∠ x

の大きさを求めなさい。

⑨左の表はとある市における、7月の日ごとの最高気温を度数分布表にまとめたものである。
次のア～エのうち、この表から読み取れることとして正しいものをすべて選び、記号で答えなさい。

ア　最高気温が37.0℃の日は5日あった。
イ　最高気温が40.0℃以上の日は1日もなかった
ウ　28,0℃以上 30.0℃未満の階級の相対度数は1である。
エ　中央値が含まれるのは34.0℃以上36.0℃未満の階級である。

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【高校受験対策】数学-文章題7

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・文章題7

Q
ガス会社Aとガス会社Bでは、定額の基本料金と使用したガス1

m^{3}

当たりにかかる料金を会社ごとに定めており、
契約している世帯の1か月のガス料金は次の計算式によって決まる。

(1か月のガス料金)=(基本料金)+(1

m^{3}

当たりにかかる料金)×(1か月の使用量(

m^{3}

))

①
ガス会社Aと契約しているある世帯において、使用量が2.2

m^{3}

であった月の料金は2822円であり、
使用量が3.1

m^{3}

であった月の料金は3281円であった。
ガス会社Aが定めている基本料金と1

m^{3}

当たりにかかる料金をそれぞれ求めなさい。

②
ガス会社Bでは、ガス会社Aよりも基本料金を90円安く定めている。
1か月の使用量が4.5

m^{3}

のとき、ガス会社A、ガス会社Bのいずれの会社と契約している場合でも、
この月のガス料金は同じ額になるという。
ガス会社Bが定めている1

m^{3}

当たりにかかる料金を求めなさい。

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【高校受験対策】数学-死守40

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・死守40

Q.次の①~③の計算をしなさい。

①

- 7 + 3

➁

5 x^{2} x

③

8 \times \frac{3 a - 1}{4}

④

4 x + 5 y - (x + 3 y)

⑤

4 a^{3} b \div 2 a b

⑥

\sqrt{50} - \sqrt{8}

⑦

\frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{4}

⑧

(x + 3) (2 x - 1)

を展開しなさい。

⑨

x^{2} - 9 y^{2}

を因数分解しなさい。

⑩

2 < \sqrt{a} < 3

を満たす自然数

a

を小さい順にすべて書きなさい。

⑪「1個

a

gのおもり2個と、1個

b

gのおもり3個の合計の重さは500gである。」
という数量の関係を等式で表しなさい。

⑫2次方程式

(x - 1)^{2} = x + 4

を解きなさい。

⑬関数

y = x^{2}

について、

x

の変域が

- 1 ≦ x ≦ 3

のとき、

y

の変域を求めなさい。

⑭右の図の直方体ABCD-EFGHにおいて、 AB=6cm.、AD=4cm、AE=4cmのとき、四面体ABCFの体積を求めなさい。

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【高校受験対策】数学-図形27

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・図形27

Q.
右の図のように、1辺の長さが4cmの立方体

A B C D E F G H

がある。
辺

B F

上に点

P

をとり、辺

E F

、

F G

の中点をそれぞれ

Q, R

とする。
このとき次の問いに答えなさい

①辺

A G

の長さを求めなさい。

②

A P + P G

の長さを最も短くしたとき、

A P + P G

の長さを求めなさい。

③3点、

A, Q, R

を通る平面でこの立方体を切ったとき、切り口の図形の面積を求めなさい。

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【高校受験対策】数学-死守39

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・死守39

①

- 7 + 5

➁

(- 3) \times 4 - (- 6) \times 4

③

\frac{2}{3} \div - \frac{8}{3} + \frac{1}{2}

④

4 (- x + 3 y) - 5 (x + 2 y)

⑤

\frac{14}{\sqrt{7}} + \sqrt{3} \times \sqrt{21}

⑥

x^{2} + 5 x - 36

を因数分解しなさい。

⑦2次方程式

3 x^{2} + 3 x - 1 = 0

を解きなさい。

⑧

x

についての方程式

3 x - 4 = x - 2 a

の解が

5

であるとき、

a

の値を求めなさい。

⑨

n

を自然数とするとき、

4 < \sqrt{n} < 10

をみたす

n

の値は何個あるか求めなさい。

➉下の図のように

△ A B C

がある。
このとき、

△ A B C

を点

o

を中心として点対称移動させた図形をかきなさい。

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高校入試　作図有名問題３

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

P

を通り

△ A B C

を二等分する直線
作図せよ

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高校入試有名作図問題四角形の面積を二等分

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

B

を通り四角形

A B C D

の面積を2等分する直線

△ A B D > △ B C D

作図せよ

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高校入試　作図問題　円外の１点から円に接線を引け

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
点

P

から円0に接線を引け。

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渋谷教育学園幕張高校　税込価格が１万円以下は何通り？

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)#渋谷教育学園幕張高等学校

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
1万円以下の税込価格で存在しない価格は何通りか。
税率8%、税抜き価格は自然数。税込み価格は小数点以下は切り捨て

出典：渋谷教育学園幕張高等学校　過去問

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大阪星光学院（改）整数問題

単元： #数学(中学生)#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)#大阪聖光学院高等学校

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

x, y

自然数

x^{2} + 11 y^{2} = 759

出典：大阪星光学院中学校・高等学校　過去問

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開成高校　整数問題　最大公約数・最小公倍数

単元： #数学(中学生)#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)#開成高等学校

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a, b

は自然数

(a < b)

最大公約数を

g (\neq 1)

最小公倍数を

l

a^{2} + b^{2} + g^{2} + l^{2} = 1300

a, b

を求めよ

出典：開成高等学校　過去問

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早稲田高等学院　有理数問題

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)#早稲田大学高等学院

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\frac{31}{36} -

{

(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) + a

}

^{2} = \sqrt{b}

を満たす有理数

a, b

の組を2組求めよ。

出典：早稲田大学高等学院　過去問

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慶應女子高　約数の個数・総和

単元： #数学(中学生)#高校入試過去問(数学)#慶應義塾女子高等学校

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
約数の個数が4個で、その約数の和が84である自然数

出典：慶應義塾女子高等学校　過去問

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