整式の除法・分数式・二項定理

福田の数学〜慶應義塾大学2023年看護医療学部第１問(5)〜整式の割り算の余り

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(5)整式P(x)を
P(x)=

\sum_{n = 1}^{20} n x^{n}

=20

x^{20}

+19

x^{19}

+18

x^{18}

+...+2

x^{2}

+

x

と定める。このとき、P(x)をx-1で割った時の余りは

ク

である。
また、P(x)を

x^{2}

-1で割った時の余りは

ケ

である。

2023慶應義塾大学看護医療学部過去問

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福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第１問〜整式の割り算の商に関する論証

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#数列#漸化式#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

nを自然数として、整式

(3 x + 2)^{n}

を

x^{2}

+

x

+1で割った余りを

a_{n} x

+

b_{n}

とおく。
(1)

a_{n + 1}

と

b_{n + 1}

を、それぞれ

a_{n}

と

b_{n}

を用いて表せ。
(2)全てのnに対して、

a_{n}

と

b_{n}

は7で割り切れないことを示せ。
(3)

a_{n}

と

b_{n}

を

a_{n + 1}

と

b_{n + 1}

で表し、全てのnに対して、2つの整数

a_{n}

と

b_{n}

は互いに素であることを示せ。

2023早稲田大学理工学部過去問

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【短時間でマスター!!】二項定理と多項定理を解説！〔現役塾講師解説、数学〕

単元： #数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：
数学2B
二項定理・多項定理

(3 x - 1)^{7}

を展開したときに

x^{2}

の係数は？

(x^{2} - 2 y + 3 z)^{6}

の

x^{3} y^{2} z

の係数は？

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【短時間でマスター!!】二項定理を解説！〔現役塾講師解説、数学〕

単元： #数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：
数学2B
二項定理

(x - 3)^{4}

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【高校数学】分数式の恒等式～どこよりも分かりやすく丁寧に～ 1-7.5【数学Ⅱ】

単元： #数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

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福田の数学〜京都大学2023年理系第１問(2)〜整式の割り算と余り

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

問2　整式

x^{2023}

-1　を整式

x^{4}

+

x^{3}

+

x^{2}

+

x

+1　で割った時の余りを求めよ。

2023京都大学理系過去問

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福田の数学〜東京大学2023年理系第５問〜整式の割り算と２重因子をもつ条件

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#複素数と方程式#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

整式f(x)=

(x - 1)^{2} (x - 2)

を考える。
(1)g(x)を実数を係数とする整式とし、g(x)をf(x)で割った余りをr(x)とおく。

g (x)^{7}

をf(x)で割った余りと

r (x)^{7}

をf(x)で割った余りが等しいことを示せ。
(2)a,bを実数とし、h(x)=

x^{2}

+ax+b　とおく。

h (x)^{7}

をf(x)で割った余りを

h_{1} (x)

とおき、

h_{1} (x)^{7}

をf(x)で割った余りを

h_{2} (x)

とおく。

h_{2} (x)

がh(x)に等しくなるようなa,bの組を全て求めよ。

2023東京大学理系過去問

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【高校数学】繫分数式の計算～どこよりも分かりやすく丁寧に～ 1-6【数学Ⅱ】

単元： #数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

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【高校数学】分数式の計算～どこよりも分かりやすく丁寧に～ 1-5【数学Ⅱ】

単元： #数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

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愛があれば解決する。愛はなくても問題ない

単元： #数Ⅱ#式と証明#複素数と方程式#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#複素数

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\begin{array}{r} {\begin{cases} 2 x + 2 \sqrt{3} y = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} \\ 2 \sqrt{3} x - 2 y = \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \end{cases} \end{array}

連立方程式を解け.

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大学入試問題#434「基本的な式変形」　藤田医科大学(2023)　#式変形

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#藤田医科大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

α = \sqrt{6 + 2 \sqrt{5}}

のとき

α^{5} - α^{4} - 12 α^{3} + 12 α^{2} + 16 α

の値を求めよ。

出典：2023年藤田医科大学　入試問題

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ハルハルさんの作成問題「たぶん名作だと思います。難易度は高め」　図形　三角比

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#式と証明#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

θ

：実数
3辺の長さが

2 \sin θ, 2 \cos θ, \frac{\tan θ}{\sqrt{3}}

の三角形が単位円に内接している。
この条件を満たしている三角形の面積をすべて求めよ。

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関西大　フェルマーの小定理の証明

単元： #数A#数Ⅱ#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
Pは素数であり,m,kを自然数とする.
(1)

_{m} C_{0} +_{m} C_{1} +_{m} C_{2} + ･ ･ ･_{m} C_{m} - 1 +_{m} C_{m}

の値を求めよ.
(2)

1 ≦ k ≦ P - 1

のとき

_{P} C_{k}

はPの倍数である.
(3)

2^{P} - 2

はPの倍数である.

関西大過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題016〜京都大学2016年度理系数学第２問〜素数の性質

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
素数p,qを用いて

p^{q} + q^{p}

と表される素数を全て求めよ。

2016京都大学理系過去問

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福田の数学〜上智大学2022年理工学部第１問(2)〜多項定理

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(2)

(1 + x + x^{2})^{10} の x^{16}

の係数は

ア

である。

2022上智大学理工部過去問

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福田の数学〜立教大学2022年経済学部第１問(3)〜整式の割り算と余り

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
aを定数とする。
3次式

F (x) = x^{3} - 6 x + a

を2次式

G (x) = x^{2} - 3 x + 2

で割った余りを

R (x)

とする。
G(x)がR(x)で割り切れるようなaの値をすべて求めよ。

2022立教大学経済学部過去問

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イラン数学オリンピック　整数問題

単元： #数A#数Ⅱ#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
Pが5以上の素数ならば,

7^{P} - 6^{P} - 1

は43の倍数であることを示せ.

イラン数学オリンピック過去問

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福田の数学〜明治大学2022年理工学部第１問(1)〜整式と二項定理とドモアブルの定理

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#複素数平面#整式の除法・分数式・二項定理#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(1)

f (x) = (x + 2) (x - 1)^{10}

とし、この式を展開して

f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . . . + a_{11} x^{11}

と表す。ただし、

a_{0}, a_{1}, . . ., a_{11}

は定数である。

(a)

多項式

f (x)

を

x - 2

で割った時の余りは

ア

である。

(b) a_{10} = - イ

である。

(c) a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10} = ウ エ オ

である。

(d) f (i) = カ キ - ク ケ i

である。ただし、

i

は虚数単位である。

2022明治大学理工学部過去問

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この式は「あれ」を使うしかないですよね【京都大学】【数学入試問題】

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：
多項式

(x^{100} + 1)^{100} + (x^{2} + 1)^{100} + 1

は多項式

x^{2} + x + 1

で割り切れるか。

京都大過去問

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福田の数学〜早稲田大学2022年社会科学部第３問〜整式の割り算の余りの問題

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#複素数と方程式#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
整式

P (x)

を

x - 1

で割ると1余り、

(x + 1)^{2}

で割ると

3 x + 2

余る。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)

P (x)

を

x + 1

で割った時の余りを求めよ。
(2)

P (x)

を

(x - 1) (x + 1)

で割った時の余りを求めよ。
(3)

P (x)

を

(x - 1) (x + 1)^{2}

で割った時の余りを求めよ。

2022早稲田大学社会科学部過去問

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パスカルの三角形の知られざる性質

単元： #数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
パスカルの三角形の性質

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100年前の東大入試「1000の１０乗根を小数第6位まで求めよ！」物理オリンピック金メダリスト林俊介解説

単元： #数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\sqrt[10]{1000}

を二項定理を用いて小数第六位まで求めよ.

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福田の数学〜早稲田大学2022年教育学部第１問(4)〜無限級数の和と部分分数分解

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(4)次の無限級数の和は自然数となる。その自然数を求めよ。

\sum_{n = 6}^{\infty} \frac{1800}{(n - 5) (n - 4) (n - 1) n}

2022早稲田大学教育学部過去問

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【頻出】あれを使う！落としてはいけない問題です【数学入試問題】【茨城大学】

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：

21^{2015}

を400で割ったときの余りを求めよ。

茨城大過去問

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【高校数学】整式の割り算～どこよりも丁寧に～ 1-4【数学Ⅱ】

単元： #数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：

(1)

(x^{3} - x^{2} - x - 2) \div (x^{2} + 2 x - 1)

の商と余りを求めよ

(2)

A = 2 x^{3} - 3 a x^{2} - 5 a^{2} x + 6 a^{3}

,

B = x - 2 a

をｘについての正式とみて,ＡをＢで割った商と余りを求めよ。

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整式の剰余

単元： #数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

x^{2022}

を

x^{6} - x^{5} + x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1

で割った余りを求めよ.

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いつも質問されるので。。。分数式の計算　駒沢大学　数II

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：

\frac{x^{2} + 8 x + 7}{x^{2} - 7 x + 10} \div \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 5 x + 6}

駒澤大学

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分数式の計算（数II）

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：

\frac{x + 2}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x - 1}

札幌学院大学

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【超難問】1+8が難しい世界

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#数と式#式と証明#式の計算（整式・展開・因数分解）#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
深読みしすぎた

1 + 8

の計算

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分数式の値　京都産業大学

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：

\frac{y + z}{x} = \frac{z + x}{y} = \frac{x + y}{z} = k

x + y + z \neq 0

のときk=▢

x + y + z = 0

のときk=▢

京都産業大学

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 整式の除法・分数式・二項定理

福田の数学〜慶應義塾大学2023年看護医療学部第１問(5)〜整式の割り算の余り

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この式は「あれ」を使うしかないですよね【京都大学】【数学 入試問題】

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【頻出】あれを使う！落としてはいけない問題です【数学 入試問題】【茨城大学】

【高校数学】整式の割り算～どこよりも丁寧に～ 1-4【数学Ⅱ】

整式の剰余

いつも質問されるので。。。分数式の計算 駒沢大学 数II

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