問題文全文(内容文)：
$x \gt 0$
$f(x)=(log\ x)^2-\displaystyle \int_{1}^{e} f(t) dt$のとき
$f(x)$を求めよ

出典：2023年横浜国立大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{-2}^{2} \displaystyle \frac{x^2・2^{-x}}{2^x+2^{-x}} dx$

出典：2015年東邦大学医学部　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \int_{1}^{n} \displaystyle \frac{1}{x^3}e^{-\frac{1}{x}} dx$

出典：2006年横浜市立大学医学部　入試問題

問題文全文(内容文)：
$n$：自然数
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\{(2n+1)\theta\}\cos\theta d\theta$

出典：2007年横浜市立大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} log\displaystyle \frac{x+2}{x+1}dx$

出典：2004年横浜市立大学医学部　入試問題

問題文全文(内容文)：
$C_1:y=x^2$と$C_2:y=a\ log\ x$は$x=k$で接する
（1）$a$の値を求めよ
（2）$C_1,C_2,x$軸で囲まれた部分を、直線$x=k$を中心に回転させてできる体積を求めよ

問題文全文(内容文)：
次の定積分の値を求めよ。
$\displaystyle \int_{0}^{4} |x^2-2x-3| dx$

2023中央大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ (3)$a$を定数とする。座標平面上の直線$y$=2$ax$+$\frac{1}{4}$と放物線$y$=$x^2$の2つの交点を$P_1$, $P_2$とする。$a$が0≦$a$≦1の範囲を動くとき、線分$P_1P_2$の通過する部分の面積は$\frac{\boxed{\ \ ル\ \ }}{\boxed{\ \ レ\ \ }}$である。

問題文全文(内容文)：
医療で使われる技術の1つとして、磁気共鳴画像法 (MRI) がある。
MRI は画像の濃淡を表す関数、例えば

$M(x)=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } I_n(x) $　(xは実数)

を用いて体内の様子を可視化する技術である。 ここで $I_n(x) $ は

$I_n(x) = \displaystyle \int_０^ｎ e^{ -t }cos(tx)dt $
(n=1, 2, 3, ...)である。以下の問いに答えよ。

(1) 定積分$I_n(x) $を求めよ。

(2) $M(x)=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } I_n(x) $ を求めよ

2023浜松医科大学医過去問


(3) 関数 $y= M(x)$ について、増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、そのグラフをかけ。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$　以下の問いに答えよ。
(1)$p$を実数とする。曲線$y$=|$x^2$+$x$-2|と直線$y$=$x$+$p$　の共有点の個数を求めよ。
(2)等式$f(x)$=$x^2$+$\displaystyle\int_{-1}^2(xf(t)-t)dt$　を満たす関数$f(x)$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
【法政大 過去問】

$f(x)=x^3-2x^2+2x-|2x^2-2x|$
とx軸とで囲まれた面積を求めよ.

問題文全文(内容文)：
すべての実数$x$に対して$f(x)=x+\displaystyle \int_{0}^{1} 2^{2t+x}f(t)\ dt$を満たすとき$f(0)$を求めよ

出典：2021年福島県立医科大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} (x+2)(x-1)^9 dx$

出典：2023年兵庫医科大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ 整式f(x)が恒等式
f(x)+$\displaystyle\int_{-1}^1(x-y)^2f(y)dy$=$2x^2$+$x$+$\frac{5}{3}$
を満たすとき、f(x)を求めよ。

2023京都大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{-2}^{3} (3\sqrt{ x^4-6x^2+9 }-4x) dx$

出典：2016年九州歯科大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 座標平面上の放物線y=3$x^2$-4xをCとおき、直線y=2xをlとおく。実数tに対し、C上の点P(t, $3t^2-4t$)とlの距離をf(t)とする。
(1)-1≦a≦2の範囲の実数aに対し、定積分
g(a)=$\displaystyle\int_{-1}^af(t)dt$
を求めよ。
(2)aが0≦a≦2の範囲を動くとき、g(a)-f(a)の最大値および最小値を求めよ。

2023東京大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
第2問
[1](1)kを正の定数とし、次の3次関数を考える。
$f(x)=x^2(k-x)$
y=f(x)のグラフとx軸との共有点の座標は(0, 0)と($\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$, 0)である。
f(x)の導関数f'(x)は
f'(x)=$\boxed{\ \ イウ\ \ }x^2+\boxed{\ \ エ\ \ }kx$
である。
x=$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$のとき、f(x)は極小値$\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$をとる。
x=$\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}$のとき、f(x)は極大値$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx=$\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}$のときf(x)は最大となることがわかる。

$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$,　$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$~$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪0　①$\frac{1}{3}k$　②$\frac{1}{2}k$　③$\frac{2}{3}k$　
④k　⑤$\frac{3}{2}k$　⑥$-4k^2$　⑦$\frac{1}{8}k^2$　
⑧$\frac{2}{27}k^3$　⑨$\frac{4}{27}k^3$　ⓐ$\frac{4}{9}k^3$　ⓑ$4k^3$

(2)後の図のように底面が半径9の円で高さが15の円錐に内接する円柱を考える。円柱の底面の半径と体積をそれぞれx, Vとする。Vをxの式で表すと
V=$\frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\boxed{\ \ コ\ \ }}\pi x^2(\boxed{\ \ サ\ \ }-x)$(0＜x＜9)
である。(1)の考察より、x=$\boxed{\ \ シ\ \ }$のときVは最大となることがわかる。Vの最大値は$\boxed{\ \ スセソ\ \ }\pi$である。

[2](1)定積分$\displaystyle\int_0^{30}(\frac{1}{5}x+3)dx$の値は$\boxed{\ \ タチツ\ \ }$である。
また、関数$\displaystyle\frac{1}{100}x^2-\frac{1}{6}x+5$の不定積分は
$\displaystyle\int(\frac{1}{100}x^2-\frac{1}{6}x+5)dx$=$\displaystyle\frac{1}{\boxed{\ \ テトナ\ \ }}x^3-\frac{1}{\boxed{\ \ ニヌ\ \ }}x^2+\boxed{\ \ ネ\ \ }x+C$である。ただし、Cは積分定数とする。
(2)ある地域では、毎年3月頃「ソメイヨシノ(桜の種類)の開花予想日」が話題になる。太郎さんと花子さんは、開花日時を予想する方法の一つに、2月に入ってからの気温を時間の関数とみて、その関数を積分した値をもとにする方法があることを知った。ソメイヨシノの開花日時を予想するために、二人は図1の6時間ごとの気温の折れ線グラフを見ながら、次のように考えることにした。(※図1は動画参照)
xの値の範囲を0以上の実数全体として、2月1日午前0時から24x時間経った時点をx日後とする。(例えば、10.3日後は2月11日午前7時12分を表す。)また、x日後の気温をy℃とする。このとき、yはxの関数であり、これをy=f(x)とおく。ただし、yは負にはならないものとする。
気温を表す関数f(x)を用いて二人はソメイヨシノの開花日時を次の設定で考えることにした。
設定：正の実数tに対して、f(x)を0からtまで積分した値をS(t)とする。すなわち、S(t)=$\displaystyle\int_0^tf(x)dx$とする。このS(t)が400に到達したとき、ソメイヨシノが開花する。
設定のもと、太郎さんは気温を表す関数y=f(x)のグラフを図2(※動画参照)のように直線とみなしてソメイヨシノの開花日時を考えることにした。
(i)太郎さんは
$f(x)=\displaystyle\frac{1}{5}x+3$　(x ≧0)
として考えた。このとき、ソメイヨシノの開花日時は2月に入ってから$\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$となる。
$\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$の解答群
⓪30日後　①35日後　②40日後　
③45日後　④50日後　⑤55日後　
⑥60日後　⑦65日後
(ii)太郎さんと花子さんは、2月に入ってから30日後以降の気温について話をしている。
太郎：1次関数を用いてソメイヨシノの開花日時を求めてみたよ。
花子：気温の上がり方から考えて、2月に入ってから30日後以降の気温を表す関数が2次関数の場合も考えて見ようか。
花子さんは気温を表す関数f(x)を、0≦x≦30のときは太郎さんと同じように
f(x)=$\frac{1}{5}x+3$　...①
とし、x≧30のときは
f(x)=$\frac{1}{100}x^2-\frac{1}{6}x+5$　...②
として考えた。なお、x=30のとき①の右辺の値と②の右辺の値は一致する。花子さんの考えた式を用いて、ソメイヨシノの開花日時を考えよう。(1)より
$\displaystyle\int_0^{30}(\frac{1}{5}x+3)dx$=$\boxed{\ \ タチツ\ \ }$
であり
$\displaystyle\int_{30}^{40}(\frac{1}{100}x^2-\frac{1}{6}x+5)dx$=115
となることがわかる。
また、x ≧30の範囲においてf(x)は増加する。よって
$\displaystyle\int_{30}^{40}f(x)dx$ $\boxed{\boxed{\ \ ハ\ \ }}$ $\displaystyle\int_{40}^{50}f(x)dx$
であることがわかる。以上より、ソメイヨシノの開花日時は2月に入ってから$\boxed{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}$となる。

2023共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
定積分$\displaystyle \int_{-1}^{1}\left| x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} \right | dx$を求めよ。

京都大過去問

問題文全文(内容文)：
関数$f(x)$は,等式$f(x)=3x^2 \displaystyle \int_{-1}^{1} f(t) dt+x+\displaystyle \int_{0}^{1} [{f(t)}]^{2} dt+$
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(t) dt$を満たす。
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(t) dt \neq 0$とするとき,$f(0)$の値を求めよ。


自治医科大過去問

問題文全文(内容文)：
$(1)f(x)=3x^2-2x+ \displaystyle \int_{-1}^{1}f(t)dtを満たす関数f(x)を求めよ.$
$(2)f(x)=3x+\displaystyle \int_{0}^{1}(x+t)f(t)dtを満たす関数f(x)を求めよ.$
$(3)y=\displaystyle \int_{1}^{x}(t^2-2t-3)dtの極値を求めよ.$
$(4)\displaystyle \int_{1}^{x}f(t)dt=3x^2-2x+aを満たす関数f(x)と定数aを求めよ.$

問題文全文(内容文)：
サイコロを3回投げて出た目を順に$a,b,c$とするとき,

$ \displaystyle \int_{a-3}^{a+3} (x-b)(x-c)dx=0 $

となる確率を求めよ。

一橋大過去問

問題文全文(内容文)：
右の図(※動画参照)のような平行六面体OABC-DEFGにおいて、
すべての辺の長さは1であり、$\overrightarrow{ OA },\ \overrightarrow{ OC },\ \overrightarrow{ OD }$のどの
2つのなす角も$\frac{\pi}{3}$であるとする。
(1)$\overrightarrow{ OF }$を$\overrightarrow{ OA },\ \overrightarrow{ OC },\ \overrightarrow{ OD }$を用いて表すと、
$\overrightarrow{ OF }= \boxed{き}$である。
(2)$|\overrightarrow{ OF }|,\ \cos \angle AOF$を求めると$|\overrightarrow{ OF }|= \boxed{く},$
$\ \cos \angle AOF=\boxed{け}$である。
(3)三角形ACDを底面とする三角錐OACDを、直線OFの周りに1回転して
できる円錐の体積は$\boxed{こ}$である。
(4)対角線OF上に点Pをとり、$|\overrightarrow{ OP }|=t$とおく。点Pを通り、$\overrightarrow{ OF }$に垂直な平面
をHとする。平行六面体$OABC-DEFG$を平面Hで切った時の断面が六角形
となるようなtの範囲は$\boxed{さ}$である。このとき、平面Hと辺AEの交点をQ
として、$|\overrightarrow{ AQ }|$をtの式で表すと$|\overrightarrow{ AQ }|=\boxed{し}$である。
また、$|\overrightarrow{ PQ }|^2$を$t$の式で表すと
$|\overrightarrow{ PQ }|^2=|\overrightarrow{ OQ }|^2-|\overrightarrow{ OP }|^2=\boxed{す}$
である。
(5)平行六面体$OABC-DEFG$を、直線OFの周りに1回転してできる回転体
の体積は$\boxed{こ}$である。

2022明治大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
xの関数$f(x)$を$f(x)=x^3$とする。
(1)xの関数$g(x)$を$g(x)=x^3-2x^2-x+3$とする。曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$は
3個の交点をもつ。それら交点を$\ x \ $座標が小さい順にA,B,Cとすると、
点$A,B,C$の$\ x\ $座標はそれぞれ$ \boxed{ア},\ \boxed{イ},\ \boxed{ウ}$ である。

曲線$y=g(x)$の接線の傾きが最小となるのは、
接点の$\ x\ $座標が$\frac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}$のときで、
その最小値は$-\frac{\boxed{カ}}{\boxed{\ \ キ\ \ }}$である。
また、点Bを通る$y=g(x)$の接線の傾きの最小値は$-\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$である。

(2)$x$ の関数$h(x)$が

$h(x)=-x^2+\frac{x}{6}\int_0^3h(t)dt+4$
を満たすとき、$h(x)=-x^2+\boxed{\ \ コ\ \ }\ x+4$である。
曲線$y=f(x)$と$y=h(x)$の交点の中点は$(\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }},\ \frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }})$であり、

$y=f(x)$と$y=h(x)$で囲まれる図形の面積は
原点を通る直線$y=\boxed{\ \ コ\ \ }x$で2等分される。

2022明治大学全統過去問

問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{5}}$aを実数とする。関数
$f(x)=-x^2+6x(a-2 \leqq x \leqq a)$
の最大値をg(a)、最小値をh(a)とする。このとき、
$ab$平面において$b=g(a)$のグラフとa軸によって囲まれる部分の面積は$\boxed{\ \ ア\ \ }$であり、
ab平面において$b=h(a)$のグラフとa軸によって囲まれる部分の面積は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。

2022早稲田大学人間科学部過去問

問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{5}}$関数$f(x)$を$f(x)=(x+1)(|x-1|-1)+2$で定める。
(1)$y=f(x)$のグラフをかきなさい。
(2)kを実数とする。このとき、方程式$f(x)=k$が異なる3つの実数解
をもつようなkの値の範囲は$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。
(3)曲線$y=f(x)$上の点$P(0,f(0))$における接線lの方程式は$y=\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
また、曲線$y=f(x)$と直線lは2つの共有点をもつが、点Pとは異なる共有点を
Qとするとき、点Qのx座標は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$である。さらに、曲線$y=f(x)$と直線lで
囲まれた図形の面積は$\boxed{\ \ エ\ \ }$である。
(4)関数$F(x)$を$F(x)=\int_0^xf(t)dt$で定める。このとき、$F'(x)=0$を満たすxを
すべて求めると$x=\boxed{\ \ オ\ \ }$である。これより、関数$F(x)$は
$x=\boxed{\ \ カ\ \ }$で最小値$\boxed{\ \ キ\ \ }$をとることがわかる。

2022慶應義塾大学看護医療学科過去問

問題文全文(内容文)：
三角関数積⇒和の公式笑っちゃう覚え方を解説していきます.

問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{3}}$xy平面上の曲線Cを$y=x^2(x-1)(x+2)$とする。
(1)Cに2点で下から接する直線Lの方程式は

$y=\frac{\boxed{\ \ アイウ\ \ }}{\boxed{\ \ エオカ\ \ }}\ x+\frac{\boxed{\ \ キクケ\ \ }}{\boxed{\ \ コサシ\ \ }}$である。

(2)CとLが囲む図の斜線部分の面積(※動画参照)は

$\frac{\boxed{\ \ スセソ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ タチツ\ \ }}}{\boxed{\ \ テトナ\ \ }}$となる。

ただし、次の公式を使ってもかまわない(m,nは正の整数)
$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^m(x-\beta)^ndx=\frac{(-1)^nm!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$

2022慶應義塾大学環境情報学部過去問

問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{3}}$実数$k \gt 0$ に対して、関数$A(k)=\int_0^2|x^2-kx|dx$とすると

$A(k)=
\left\{\begin{array}{1}
\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }\ k^3+\ \boxed{\ \ ウエ\ \ }\ k^2+\ \boxed{\ \ オカ\ \ }\ k+\ \boxed{\ \ キク\ \ }}{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}
(0 \lt k \lt \boxed{\ \ サシ\ \ })

\frac{\boxed{\ \ スセ\ \ }\ k+\ \boxed{\ \ ソタ\ \ }}{\boxed{\ \ チツ\ \ }}(\boxed{\ \ サシ\ \ } \leqq k)
\end{array}
\right.$
となる。この関数A(k)が最小となるのは$k=\sqrt{\boxed{\ \ テト\ \ }}$のときで、そのときの
A(k)の値は$\frac{\boxed{\ \ ナニ\ \ }+\boxed{\ \ ヌネ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}}{\boxed{\ \ ヒフ\ \ }}$

2022慶應義塾大学総合政策学部過去問

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{6}}$関数$F(x)=\frac{1}{2}+\int_0^{x+1}(|t-1|-1)dt$に対し、
$y=F(x)$で定まる曲線をCとする。
(1)$F(x)$を求めよ。
(2)$C$と$x$軸の共有点のうち、x座標が最小の点をP、最大の点をQ
とする。PにおけるCの接線をlとするとき、Cとlで囲まれた図形の面積Sを求めよ。
また、Qを通る直線mがSを2等分するとき、lとmの交点Rの座標を求めよ。

2022慶應義塾大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
定積分について述べた次の文章を読んで、後の問いに答えよ。
$f(x)$を整式とする。$F'(x)=f(x)$となる$F(x)$を1つ選び、
$f(x)$のaからbまでの定積分を
$#\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\ldots①$
で定義する。定積分の値はF(x)の選び方によらずに定まる。
定積分は次の性質(A),(B),(C)をもつ。
(A)$\int_a^b\left\{kf(x)+lg(x)\right\}dx=k\int_a^bf(x)dx+l\int_a^bg(x)dx$
(B)$a \leqq c \leqq b$のとき、$\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\int_a^bf(x)dx$
(C)区間$a \leqq x \leqq b$において$g(x) \geqq h(x)$ならば、$\int_a^bg(x)dx \geqq \int_a^bh(x)dx$
ただし、f(x),g(x),h(x)は整式、k,lは定数である。
以下、$f(x)$が区間$0 \leqq x \leqq 1$上で増加関数になる場合を考える。
$n$を自然数とする。定積分の性質$\boxed{\ \ ア\ \ }$を用い、定数関数に対する定積分の計算を行うと、
$\frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n}) \leqq \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx \leqq \frac{1}{n}f(\frac{i}{n})　　(i = 1,2,\ldots,n)　　　　　\ldots②$
が成り立つことがわかる。$S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i-1}{n})$とおくと、
不等式②と定積分の性質$\boxed{\ \ イ\ \ }$より次の不等式が成り立つ。
$0 \leqq \int_0^1f(x)dx-S_n \leqq \frac{f(1)-f(0)}{n}　　　　　\ldots③$
よって、$n$を限りなく大きくすると$S_n$は$\int_0^1f(x)dx$に限りなく近づく。

(1)関数F(x),G(x)が微分可能であるとき、$\left\{F(x)+G(x)\right\}'=F'(x)+G'(x)$が
成り立つことと定積分の定義①を用いて、性質(A)で$k=l=1$とした場合の等式
$\int_a^b\left\{f(x)+g(x)\right\}dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$　を示せ。
(2)定積分の定義①と関数の増減と導関数の関係を用いて、次を示せ。
$a \lt b$のとき、区間$a \leqq x \leqq b$において$g(x) \gt 0$ならば、$\int_a^bg(x)dx \gt 0$
(3)(A),(B),(C)のうち、空欄$\boxed{\ \ ア\ \ }$に入る記号として最もふさわしいものを
1つ選び答えよ。また、文章中の下線部の内容を詳しく説明することで、
不等式②を示せ。
(4)(A),(B),(C)のうち、空欄$\boxed{\ \ イ\ \ }$に入る記号として最もふさわしいものを
1つ選び答えよ。また、不等式③を示せ。

2022九州大学文系過去問