数列の極限

練習問題１（数検準1級、教員採用試験数列の極限）

単元： #数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#関数と極限#数列の極限#その他#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{2} = a_{1} = 1

a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}

lim_{n \to \infty} \frac{l o g a_{n}}{n}

を求めよ。

この動画を見る　

10大阪府教員採用試験（数学：1番　数列の極限値）

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#その他#数学(高校生)#数B#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

- \frac{3}{2} < a_{1} < 3

,

a_{n + 1} = \sqrt{2 a_{n} + 3}

(1)

a_{1} < a_{2}

(2)

2 ≦ n, 0 < a_{n} < 3

(3)

1 ≦ n, 0 < 3 - a_{n} ≦ (\frac{2}{3})^{n - 1} (3 - a_{1})

(4)

lim_{n \to \infty} a_{n}

この動画を見る　

13神奈川県教員採用試験（数学：9番　数列の極限値）

単元： #関数と極限#数列の極限#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 1, a_{2} = 2, (a_{n + 2})^{5} = (a_{n + 1})^{4} ・ a_{n}

lim_{n \to \infty} a_{n}

を求めよ。

この動画を見る　

円周率πが無理数であることの証明（数III）

単元： #関数と極限#積分とその応用#数列の極限#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
定理(1947,IvanNiren)
πは無理数である

補題1　

^{\forall} a \in R

,

lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0

(n \in N)

補題2

f (x) = \frac{1}{n!} p^{n} x^{n} (π - x)^{n}

(p, n \in N)

nが十分大きいとき

0 < \int_{0}^{π} f (x) d x < 1

この動画を見る　

慶應義塾大（医）数列の極限

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

n

は自然数とする.これを解け.

a_{n} = \sqrt{n^{2} + n + 5}

lim_{n \to \infty} (a_{n} - [a_{n}])

慶應(医)過去問

この動画を見る　

17神奈川県教員採用試験（数学：9番　無限級数）

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n} s i n \frac{n π}{2}

この動画を見る　

09奈良県教員採用試験（数学：4番積分）

単元： #関数と極限#積分とその応用#数列の極限#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - l o g n

(1)

a_{n} > 0

を示せ。
(2)

lim_{n \to \infty} a_{n}

が存在することを示せ。

この動画を見る　

16神奈川県教員採用試験（数学：8番　数列の極限）

単元： #数列#漸化式#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

3 S_{n} = a_{n} + 6 n + 1

のとき

lim_{n \to \infty} a_{n}

を求めよ。

この動画を見る　

17東京都教員採用試験（数学：1-7番　シグマと極限値）

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#その他#数学(高校生)#数B#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

-(7)

lim_{n \to \infty} \frac{2 (1 + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2})^{4}}{(1 + 2^{5} + 3^{5} + \dots + n^{5})^{2}}

この動画を見る　

【数Ⅲ】極限：岐阜大の類題！　複素数z[n]をz[1]=1,z[n+1]=i／2(z[n]+1)(n=1,2,3,···)により定める。z[n]の実部x[n]，虚部y[n]を求めよ。

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
複素数

z_{1}

を

z_{1} = 1

,

z_{n + 1} = \frac{1}{2} (z_{n} + 1) (n = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot)

により定める。

z_{n}

の実部

x_{n}

，虚部

y_{n}

を求めよ。

この動画を見る　

東工大　末尾の０の個数問題

単元： #関数と極限#数列の極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

n

は自然数である.

f (n)

を

n!

の末尾に並ぶ

0

の個数とする.
(例)

f (10) = 2, f (100) = 24

lim_{n \to \infty} \frac{f (10^{n})}{10^{n}}

を求めよ.

1991東工大過去問

この動画を見る　

20年5月数検準1級1次試験（極限）

単元： #数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#関数と極限#数列の極限#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{n \to \infty} (\sqrt{4 n^{2} + 7 n} - 2 \sqrt{n^{2} + 2 n})

この動画を見る　

信州大　三次方程式の解の極限値

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#数列の極限#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#信州大学#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

2 x^{3} + 3 n x^{2} - 3 (n + 1) = 0 (n

自然数

)

（1）

n

の値に関わらず正の解をただ一つだけもつことを示せ

（2）
正の解を

α_{n}

とする。

lim_{n \to \infty} α_{n}

を求めよ

出典：1998年信州大学　過去問

この動画を見る　

素数の逆数の和は収束か発散か？杉山＆ヨビノリたくみ

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{p} + \dots = ?

この動画を見る　

もっちゃんと真面目に数学　素数、完全数、約数の個数、総和、メルセンヌ素数、調和級数発散のお話

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
素数、完全数、約数の個数、総和、メルセンヌ素数、調和級数発散　解説動画です

この動画を見る　

東工大　極限　東大大学院数学科卒　杉山さん

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

n

自然数
半径

\frac{1}{n}

の円を重ならないように、半径1の円に外接させる。
外接する円の最大個数を

a_{n}

とする。

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{n}

を求めよ

出典：1992年東京工業大学　過去問

この動画を見る　

What is e?? The essence of e. Why (e^x)’=e^x

単元： #関数と極限#微分とその応用#数列の極限#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
（1）

lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n}

lim_{h \to \infty} (1 + h)^{\frac{1}{h}}

（2）

y = e^{x}

（3）
動画内の図を見て求めよ

（4）

y = l o g_{e} x

y^{1} = \frac{1}{x}

この動画を見る　

名古屋市立(医)積分初のVチューバー解説アイシアちゃん/仮の姿は東大数学科院卒杉山聡

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#数列の極限#微分法#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#名古屋市立大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

n ：

自然数

S_{n} : y = e^{- x} \sin x

と

y

軸の囲む面積

((n - 1) π ≦ x ≦ n π)

（1）

S_{n}

は？

（2）

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} S_{k}

は？

この動画を見る　

でんがんとヨビノリを脇に添えてもっちゃんとバーゼル問題を解く！

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\frac{1}{1^{2}} +

\frac{1}{2^{2}} +

\frac{1}{3^{2}} ・ ・ ・ +

\frac{1}{n^{2}} =

\frac{π^{2}}{6}

この動画を見る　

慶應（医）３次方程式　ほぼ文系知識で解けます Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
慶応義塾大学過去問題

8 x^{3} - 6 x + 1 = 0

の3つの解をα,β,γ
(1)0<x<1の範囲にある実数解の個数
(2)

\sum_{n = 0}^{\infty} (α^{n} + β^{n} + γ^{n})

この動画を見る　

浜松医大　確率　サイコロ４個・ｎ個　高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#浜松医科大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
浜松医科大学過去問題
(1)4個のサイコロを投げて1,1,2,2のように同じ目がちょうど2個ずつでる確率
(2)n=4,5,6・・・としてn個のサイコロを投げて、少なくとも(n-2)個のサイコロに同じ目がそろって出る確率

P_{n}

　また

lim_{n \to \infty} \frac{P_{n} + 1}{P_{n}}

この動画を見る　

東大　入試問題　天才ヨビノリのたくみさんが解説 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
東京大学1990

a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}

,

b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2 k + 1}}

とするとき、

lim_{n \to \infty} a_{n}, lim_{n \to \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}

を求めよ。

この動画を見る　

東北大　確率漸化式　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
東北大学過去問題
立方体の上面に印をつける。床に接する面の4辺のうちから1辺を等確率で選び、その1辺を軸に立方体を倒す。
n回倒したとき、印の面が側面にくる確率を

a_{n}

,底面にくる確率を

b_{n}

(1)

a_{n}

をnで表せ
(2)

b_{n}

をnで表し、

lim_{n \to \infty} b_{n}

を求めよ

この動画を見る　

日本医科大学　バーゼル問題　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#日本医科大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
日本医科大学過去問題

a b c = 1

a > 0, b > 0, c > 0

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≧ \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}

を示せ

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \sqrt{a} - \sqrt{b} - \sqrt{c}

n \to \infty \frac{3}{2} ≦ 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} ≦ 2

この動画を見る　

東大入試問題　無限級数　数列の和 Japanese university entrance exam questions Tokyo University

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
東京大学過去問題
無限級数

\frac{r}{1 - r^{2}}

+

\frac{r^{2}}{1 - r^{4}}

+

\frac{r^{4}}{1 - r^{8}}

+

\dots

+

\frac{r^{2^{n - 1}}}{1 - r^{2^{n}}}

この動画を見る　

奇数の４乗の逆数の和　オイラー級数　πが登場

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\frac{1}{1^{4}} + \frac{1}{3^{4}} + \frac{1}{5^{4}} + \frac{1}{7^{4}} + \dots = \frac{π^{4}}{96}

この動画を見る　

分母が奇数の分数を無限に足したい引いたり、何故か答えにπが登場

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \dots = \frac{π}{4}

この動画を見る　

自然数の４乗の逆数の和　オイラー級数（Euler）　やっぱりπが登場

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\frac{1}{1^{4}}

+

\frac{1}{2^{4}}

+

\frac{1}{3^{4}}

+

\frac{1}{4^{4}}

+

\dots

\frac{1}{n^{4}}

=

\frac{π^{4}}{90}

この動画を見る　

天才オイラーが解決した問題。奇数の平方の逆数の和にπが登場

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
奇数の平方の逆数の和にπが出る？

この動画を見る　

オイラー（Euler）が解決した「自然数の平方の逆数の和」。円とは無関係なのに結論にπが登場

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
オイラー（Euler）が解決した「自然数の平方の逆数の和」を解説していきます.

この動画を見る　

<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 数列の極限

練習問題１（数検準1級、教員採用試験 数列の極限）

10大阪府教員採用試験（数学：1番 数列の極限値）

13神奈川県教員採用試験（数学：9番 数列の極限値）

円周率πが無理数であることの証明（数III）

慶應義塾大（医）数列の極限

17神奈川県教員採用試験（数学：9番 無限級数）

09奈良県教員採用試験（数学：4番 積分）

16神奈川県教員採用試験（数学：8番 数列の極限）

17東京都教員採用試験（数学：1-7番 シグマと極限値）

【数Ⅲ】極限：岐阜大の類題！ 複素数z[n]をz[1]=1,z[n+1]=i／2(z[n]+1)(n=1,2,3,···)により定める。z[n]の実部x[n]，虚部y[n]を求めよ。

東工大 末尾の０の個数問題

20年5月数検準1級1次試験（極限）

信州大 三次方程式の解の極限値

素数の逆数の和は収束か発散か？杉山＆ヨビノリたくみ

もっちゃんと真面目に数学 素数、完全数、約数の個数、総和、メルセンヌ素数、調和級数発散のお話

東工大 極限 東大大学院 数学科卒 杉山さん

What is e?? The essence of e. Why (e^x)’=e^x

名古屋市立(医)積分 初のVチューバー解説 アイシアちゃん/仮の姿は東大数学科院卒杉山聡

でんがんとヨビノリを脇に添えてもっちゃんとバーゼル問題を解く！

慶應（医）３次方程式 ほぼ文系知識で解けます Mathematics Japanese university entrance exam

浜松医大 確率 サイコロ４個・ｎ個 高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam

東大 入試問題 天才ヨビノリのたくみさんが解説 Mathematics Japanese university entrance exam

東北大 確率漸化式 高校数学 Japanese university entrance exam questions

日本医科大学 バーゼル問題 高校数学 Japanese university entrance exam questions

東大入試問題 無限級数 数列の和 Japanese university entrance exam questions Tokyo University

奇数の４乗の逆数の和 オイラー級数 πが登場

分母が奇数の分数を無限に足したい引いたり、何故か答えにπが登場

自然数の４乗の逆数の和 オイラー級数（Euler） やっぱりπが登場

天才オイラーが解決した問題。奇数の平方の逆数の和にπが登場

オイラー（Euler）が解決した「自然数の平方の逆数の和」。円とは無関係なのに結論にπが登場

練習問題１（数検準1級、教員採用試験数列の極限）

10大阪府教員採用試験（数学：1番　数列の極限値）

13神奈川県教員採用試験（数学：9番　数列の極限値）

17神奈川県教員採用試験（数学：9番　無限級数）

09奈良県教員採用試験（数学：4番積分）

16神奈川県教員採用試験（数学：8番　数列の極限）

17東京都教員採用試験（数学：1-7番　シグマと極限値）

【数Ⅲ】極限：岐阜大の類題！　複素数z[n]をz[1]=1,z[n+1]=i／2(z[n]+1)(n=1,2,3,···)により定める。z[n]の実部x[n]，虚部y[n]を求めよ。

東工大　末尾の０の個数問題

信州大　三次方程式の解の極限値

もっちゃんと真面目に数学　素数、完全数、約数の個数、総和、メルセンヌ素数、調和級数発散のお話

東工大　極限　東大大学院数学科卒　杉山さん

名古屋市立(医)積分初のVチューバー解説アイシアちゃん/仮の姿は東大数学科院卒杉山聡

慶應（医）３次方程式　ほぼ文系知識で解けます Mathematics Japanese university entrance exam

浜松医大　確率　サイコロ４個・ｎ個　高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam

東大　入試問題　天才ヨビノリのたくみさんが解説 Mathematics Japanese university entrance exam

東北大　確率漸化式　高校数学 Japanese university entrance exam questions

日本医科大学　バーゼル問題　高校数学 Japanese university entrance exam questions

東大入試問題　無限級数　数列の和 Japanese university entrance exam questions Tokyo University

奇数の４乗の逆数の和　オイラー級数　πが登場

自然数の４乗の逆数の和　オイラー級数（Euler）　やっぱりπが登場