微分とその応用
微分とその応用
福田のわかった数学〜高校３年生理系073〜平均値の定理(1)不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 平均値の定理(1)
$0 \lt a \lt b$のとき
$1-\frac{a}{b} \lt \log b-\log a \lt \frac{b}{a}-1$
を証明せよ。
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数学$\textrm{III}$ 平均値の定理(1)
$0 \lt a \lt b$のとき
$1-\frac{a}{b} \lt \log b-\log a \lt \frac{b}{a}-1$
を証明せよ。
福田の数学〜上智大学2021年TEAP利用理系第４問〜楕円と弦の中点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}$Oを原点とする座標平面において、楕円$D:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$ 上に異なる2点$P_1,P_2$
がある。$P_1$における接線$l_1$と$P_2$における接線$l_2$の交点を$Q(a,\ b)$とし、線分$P_1P_2$の
中点をRとする。
(1)$P_1$の座標を$(x_1,\ y_1)$とするとき、$l_1$の方程式は$x_1x+\boxed{\ \ チ\ \ }\ y_1y+\boxed{\ \ ツ\ \ }=0$
と表される。
(2)直線$P_1P_2$の方程式は、a,bを用いて$ax+\boxed{\ \ テ\ \ }\ by+\boxed{\ \ ト\ \ }=0$と表される。
(3)3点O,R,Qは一直線上にあって$\overrightarrow{ OR }=\frac{\boxed{\ \ ナ\ \ }}{a^2+\boxed{\ \ ニ\ \ }\ b^2}\overrightarrow{ OQ }$が成り立つ。
(4)$l_1$と$l_2$のどちらもy軸と平行ではないとする。このとき、$l_1$と$l_2$の傾きは
tの方程式$(a^2+\boxed{\ \ ヌ\ \ })t^2+\boxed{\ \ ネ\ \ }abt+(b^2+\boxed{\ \ ノ\ \ })=0$ の解である。
(5)$l_1$と$l_2$が直交しながら$P_1,P_2$が動くとする。
$(\textrm{i})Q$の軌跡の方程式を求めよ。 $(\textrm{ii})R$のy座標の最大値を求めよ。
$(\textrm{iii})R$の軌跡の概形を描け。
2021上智大学理系過去問
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${\Large\boxed{4}}$Oを原点とする座標平面において、楕円$D:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$ 上に異なる2点$P_1,P_2$
がある。$P_1$における接線$l_1$と$P_2$における接線$l_2$の交点を$Q(a,\ b)$とし、線分$P_1P_2$の
中点をRとする。
(1)$P_1$の座標を$(x_1,\ y_1)$とするとき、$l_1$の方程式は$x_1x+\boxed{\ \ チ\ \ }\ y_1y+\boxed{\ \ ツ\ \ }=0$
と表される。
(2)直線$P_1P_2$の方程式は、a,bを用いて$ax+\boxed{\ \ テ\ \ }\ by+\boxed{\ \ ト\ \ }=0$と表される。
(3)3点O,R,Qは一直線上にあって$\overrightarrow{ OR }=\frac{\boxed{\ \ ナ\ \ }}{a^2+\boxed{\ \ ニ\ \ }\ b^2}\overrightarrow{ OQ }$が成り立つ。
(4)$l_1$と$l_2$のどちらもy軸と平行ではないとする。このとき、$l_1$と$l_2$の傾きは
tの方程式$(a^2+\boxed{\ \ ヌ\ \ })t^2+\boxed{\ \ ネ\ \ }abt+(b^2+\boxed{\ \ ノ\ \ })=0$ の解である。
(5)$l_1$と$l_2$が直交しながら$P_1,P_2$が動くとする。
$(\textrm{i})Q$の軌跡の方程式を求めよ。 $(\textrm{ii})R$のy座標の最大値を求めよ。
$(\textrm{iii})R$の軌跡の概形を描け。
2021上智大学理系過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系072〜接線(4)共通接線(2)
単元：
#数Ⅱ#微分とその応用#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 接線(4) 共通接線(2)
2曲線$y=x^2$と$y=\frac{1}{x}$の両方に接する直線の方程式を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 接線(4) 共通接線(2)
2曲線$y=x^2$と$y=\frac{1}{x}$の両方に接する直線の方程式を求めよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系071〜接線(3)共通接線(1)
単元：
#微分とその応用#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 接線(3) 共通接線(1)
2曲線$\ y=e^xとy=\sqrt{x+a}$がともに点Pを通り、点Pにおいて共通の
接線をもつとき、aの値と接線の方程式を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 接線(3) 共通接線(1)
2曲線$\ y=e^xとy=\sqrt{x+a}$がともに点Pを通り、点Pにおいて共通の
接線をもつとき、aの値と接線の方程式を求めよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系070〜接線(2)媒介変数表示の接線
単元：
#平面上の曲線#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$接線(2) 媒介変数表示の接線
$\left\{
\begin{array}{1}
x=\theta-\sin\theta\\
y=1-\cos\theta
\end{array}
\right.$
で表される曲線の$\theta=\frac{3\pi}{2}$のときの点Pにおける接線を求めよ。
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数学$\textrm{III}$接線(2) 媒介変数表示の接線
$\left\{
\begin{array}{1}
x=\theta-\sin\theta\\
y=1-\cos\theta
\end{array}
\right.$
で表される曲線の$\theta=\frac{3\pi}{2}$のときの点Pにおける接線を求めよ。
【数Ⅲ】微分法：伝説の静岡大学のグラフの問題を紹介！！どんなグラフになるか予想しよう！（概要欄にネタバレあり）
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#静岡大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数$f(x),g(x)$を $f(x)=x^4-x^2+6(\vert x\vert\leqq 1),\dfrac{12}{\vert x\vert +1}(\vert x\vert\gt 1)$,$g(x)=\dfrac{1}{2}\cos2\pi x+\dfrac{7}{2}(\vert x\vert\leqq 2)$ で定義する。このとき次の問いに答えよ。
$f(x),g(x)$の増減を調べ、2曲線$C_1：y=f(x),C_2：y=g(x)$のグラフの概形を同じ座標平面上にかけ。
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関数$f(x),g(x)$を $f(x)=x^4-x^2+6(\vert x\vert\leqq 1),\dfrac{12}{\vert x\vert +1}(\vert x\vert\gt 1)$,$g(x)=\dfrac{1}{2}\cos2\pi x+\dfrac{7}{2}(\vert x\vert\leqq 2)$ で定義する。このとき次の問いに答えよ。
$f(x),g(x)$の増減を調べ、2曲線$C_1：y=f(x),C_2：y=g(x)$のグラフの概形を同じ座標平面上にかけ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系069〜接線(1)陰関数の接線
単元：
#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 接線(1) 陰関数の定義
曲線 $\sqrt x+\sqrt y=1$
上の点$P(\frac{1}{4},\ \frac{1}{4})$における接線および
法線の方程式を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 接線(1) 陰関数の定義
曲線 $\sqrt x+\sqrt y=1$
上の点$P(\frac{1}{4},\ \frac{1}{4})$における接線および
法線の方程式を求めよ。
【数Ⅲ】微分法：三角関数の微分公式＋演習
単元：
#微分とその応用#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数を微分しよう。
①$y=2\cos\dfrac{5x}{2}\sin\dfrac{x}{2}$
②$y=\sin^3 x$
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次の関数を微分しよう。
①$y=2\cos\dfrac{5x}{2}\sin\dfrac{x}{2}$
②$y=\sin^3 x$
福田の数学〜上智大学2021年理工学部第４問〜空間ベクトルと曲線の追跡
単元：
#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}$立方体OADB-CFGEを考える。$0 \leqq x \leqq 1$となる実数xに対し、
$\overrightarrow{ OP }=x\ \overrightarrow{ OG }$と
なる点Pを考え、$\angle APB=\theta$とおく。
(1)$x=0$のとき、$\theta=\boxed{\ \ し\ \ }$である。また、$x=1$のとき、$\theta=\boxed{\ \ す\ \ }$である。
$\boxed{\ \ し\ \ }\ ,\boxed{\ \ す\ \ }$の選択肢
$(\textrm{a})0 (\textrm{b})\frac{\pi}{6} (\textrm{c})\frac{\pi}{3} (\textrm{d})\frac{\pi}{2}$
$(\textrm{e})\frac{2}{3}\pi (\textrm{f})\frac{5}{6}\pi (\textrm{g})\pi $
(2)$0 \lt x \lt 1$の範囲で$\theta=\frac{\pi}{2}$となるxの値は、$x=\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$である。
(3)$y=\cos\theta$とおき、yをxの関数と考える。このとき、yをxで表せ。また、
$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で、xy平面上にそのグラフを描け。ただし、増減・凹凸・
座標軸との共有点・極値・変曲点などを明らかにせよ。
2021上智大学理工学部過去問
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${\Large\boxed{4}}$立方体OADB-CFGEを考える。$0 \leqq x \leqq 1$となる実数xに対し、
$\overrightarrow{ OP }=x\ \overrightarrow{ OG }$と
なる点Pを考え、$\angle APB=\theta$とおく。
(1)$x=0$のとき、$\theta=\boxed{\ \ し\ \ }$である。また、$x=1$のとき、$\theta=\boxed{\ \ す\ \ }$である。
$\boxed{\ \ し\ \ }\ ,\boxed{\ \ す\ \ }$の選択肢
$(\textrm{a})0 (\textrm{b})\frac{\pi}{6} (\textrm{c})\frac{\pi}{3} (\textrm{d})\frac{\pi}{2}$
$(\textrm{e})\frac{2}{3}\pi (\textrm{f})\frac{5}{6}\pi (\textrm{g})\pi $
(2)$0 \lt x \lt 1$の範囲で$\theta=\frac{\pi}{2}$となるxの値は、$x=\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$である。
(3)$y=\cos\theta$とおき、yをxの関数と考える。このとき、yをxで表せ。また、
$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で、xy平面上にそのグラフを描け。ただし、増減・凹凸・
座標軸との共有点・極値・変曲点などを明らかにせよ。
2021上智大学理工学部過去問
【数Ⅲ】微分法：指数対数の微分、演習
単元：
#微分とその応用#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数を微分しよう
(1)$y=\log(x^2+1)$ (2)$y=\log_2\vert 2x\vert $
(3)$y=\log\vert \tan x\vert $ (4)$y=\log\vert \sin x\vert$
(5)$y=e^(2x)$ (6)$y=2^(-3x)$
(7)$y=e^x \sin x$ (8)$y=\log\dfrac{x}{x}$
(9)$y=(\log x)^3$ (10)$y=\log_2\vert \cos x\vert $
(11)$y=\log(\log x)$ (12)$y=a-(-2x+1)$
(13)$y=2^{\sin x}$ (14)$y=\log_3\dfrac{x}{3^x}$
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次の関数を微分しよう
(1)$y=\log(x^2+1)$ (2)$y=\log_2\vert 2x\vert $
(3)$y=\log\vert \tan x\vert $ (4)$y=\log\vert \sin x\vert$
(5)$y=e^(2x)$ (6)$y=2^(-3x)$
(7)$y=e^x \sin x$ (8)$y=\log\dfrac{x}{x}$
(9)$y=(\log x)^3$ (10)$y=\log_2\vert \cos x\vert $
(11)$y=\log(\log x)$ (12)$y=a-(-2x+1)$
(13)$y=2^{\sin x}$ (14)$y=\log_3\dfrac{x}{3^x}$
福田のわかった数学〜高校３年生理系068〜微分(13)関数方程式
単元：
#微分とその応用#微分法#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 微分(13) 関数方程式
$x \gt 0$ で定義された微分可能な関数$f(x)$において、$f(xy)=f(x)+f(y)$
が正の数$x,\ y$に対して常に成り立ち、$f'(1)=1$とする。
(1)$f(1)$ を求めよ。
(2)$f'(x)=\frac{1}{x}$ を示せ。
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数学$\textrm{III}$ 微分(13) 関数方程式
$x \gt 0$ で定義された微分可能な関数$f(x)$において、$f(xy)=f(x)+f(y)$
が正の数$x,\ y$に対して常に成り立ち、$f'(1)=1$とする。
(1)$f(1)$ を求めよ。
(2)$f'(x)=\frac{1}{x}$ を示せ。
福田の数学〜上智大学2021年理工学部第２問(1)〜条件を満たす関数と命題の否定
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#微分とその応用#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{2}}$(1)実数全体で定義され、実数の値をとる関数$f(x)$に対する次の条件$p$を考える。
$p:「K以上の全ての実数xに対してf(x) \geqq 1」$が成り立つような実数Kが存在する。
$(\textrm{i})$次に挙げた関数$(\textrm{a})～(\textrm{d})$のそれぞれについて、pを満たすならばo、pを
満たさないならばxをマークせよ。
$(\textrm{a})f(x)=xe^{-x} (\textrm{b})f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2+1} (\textrm{c})f(x)=x+\sin x (\textrm{d})f(x)=x\sin x$
$(\textrm{ii})$次の条件がpの否定になるように、$\boxed{\ \ あ\ \ }～\boxed{\ \ え\ \ }$のそれぞれの選択肢から、
あてはまるものを選べ。
・$「\boxed{\ \ あ\ \ }\ \boxed{\ \ い\ \ }$実数に対して$\boxed{\ \ う\ \ }」が\boxed{\ \ え\ \ }$
$\boxed{\ \ あ\ \ }$の選択肢$:(\textrm{a})K$以上の $(\textrm{b})K$未満の
$\boxed{\ \ い\ \ }$の選択肢:$(\textrm{a})$すべての $(\textrm{b})$ある
$\boxed{\ \ う\ \ }$の選択肢$:(\textrm{a})f(x) \geqq 1 (\textrm{b})f(x) \lt 1$
$\boxed{\ \ え\ \ }$の選択肢$:(\textrm{a})$どんな実数Kについても成り立つ $\\(\textrm{b})$成り立つような実数Kが存在する
$(\textrm{iii})$関数$f(x)$に対して、$g(x)=2f(x)$で関数$g(x)$を定める。次に挙げた命題$(\textrm{A})～(\textrm{D})$
のそれぞれについて、正しければoを、正しくなければxを、マークせよ。
$(\textrm{A})f(x)$が$p$を満たすならば、$g(x)$も$p$を満たす。
$(\textrm{B})g(x)$が$p$を満たすならば、$f(x)$もpを満たす。
$(\textrm{C})f(x)$が$p$を満たさないならば、$g(x)$もpを満たさない。
$(\textrm{D})f(x)$がpを満たさないならば、$g(x)$も$p$を満たす。
2021上智大学理工学部過去問
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${\Large\boxed{2}}$(1)実数全体で定義され、実数の値をとる関数$f(x)$に対する次の条件$p$を考える。
$p:「K以上の全ての実数xに対してf(x) \geqq 1」$が成り立つような実数Kが存在する。
$(\textrm{i})$次に挙げた関数$(\textrm{a})～(\textrm{d})$のそれぞれについて、pを満たすならばo、pを
満たさないならばxをマークせよ。
$(\textrm{a})f(x)=xe^{-x} (\textrm{b})f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2+1} (\textrm{c})f(x)=x+\sin x (\textrm{d})f(x)=x\sin x$
$(\textrm{ii})$次の条件がpの否定になるように、$\boxed{\ \ あ\ \ }～\boxed{\ \ え\ \ }$のそれぞれの選択肢から、
あてはまるものを選べ。
・$「\boxed{\ \ あ\ \ }\ \boxed{\ \ い\ \ }$実数に対して$\boxed{\ \ う\ \ }」が\boxed{\ \ え\ \ }$
$\boxed{\ \ あ\ \ }$の選択肢$:(\textrm{a})K$以上の $(\textrm{b})K$未満の
$\boxed{\ \ い\ \ }$の選択肢:$(\textrm{a})$すべての $(\textrm{b})$ある
$\boxed{\ \ う\ \ }$の選択肢$:(\textrm{a})f(x) \geqq 1 (\textrm{b})f(x) \lt 1$
$\boxed{\ \ え\ \ }$の選択肢$:(\textrm{a})$どんな実数Kについても成り立つ $\\(\textrm{b})$成り立つような実数Kが存在する
$(\textrm{iii})$関数$f(x)$に対して、$g(x)=2f(x)$で関数$g(x)$を定める。次に挙げた命題$(\textrm{A})～(\textrm{D})$
のそれぞれについて、正しければoを、正しくなければxを、マークせよ。
$(\textrm{A})f(x)$が$p$を満たすならば、$g(x)$も$p$を満たす。
$(\textrm{B})g(x)$が$p$を満たすならば、$f(x)$もpを満たす。
$(\textrm{C})f(x)$が$p$を満たさないならば、$g(x)$もpを満たさない。
$(\textrm{D})f(x)$がpを満たさないならば、$g(x)$も$p$を満たす。
2021上智大学理工学部過去問
福田の数学〜上智大学2021年理工学部第１問〜双曲線の方程式と回転体の体積
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#2次曲線#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#上智大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 媒介変数表示
$x=\frac{2}{\cos\theta}, y=3\tan\theta+1$
で表される図形Cを考える。
(1)Cは頂点$(±\boxed{\ \ ア\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ })$、焦点$(±\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }},\ \boxed{\ \ エ\ \ })$、
漸近線$y=±\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}x+\boxed{\ \ キ\ \ }$をもつ双曲線である。
(2)双曲線Cと直線$x=4$は、2点$(4,\ \boxed{\ \ ク\ \ }±\boxed{\ \ ケ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }})$
で交わる。\\
(3)双曲線Cと直線x=4で囲まれる部分をy軸の周りに1回転\\
させてできる立体の体積は\ \boxed{\ \ サ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}\ \pi である。
\end{eqnarray}
2021上智大学理工学部過去問
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${\Large\boxed{1}}$ 媒介変数表示
$x=\frac{2}{\cos\theta}, y=3\tan\theta+1$
で表される図形Cを考える。
(1)Cは頂点$(±\boxed{\ \ ア\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ })$、焦点$(±\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }},\ \boxed{\ \ エ\ \ })$、
漸近線$y=±\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}x+\boxed{\ \ キ\ \ }$をもつ双曲線である。
(2)双曲線Cと直線$x=4$は、2点$(4,\ \boxed{\ \ ク\ \ }±\boxed{\ \ ケ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }})$
で交わる。\\
(3)双曲線Cと直線x=4で囲まれる部分をy軸の周りに1回転\\
させてできる立体の体積は\ \boxed{\ \ サ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}\ \pi である。
\end{eqnarray}
2021上智大学理工学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系067〜微分(12)微分の計算
単元：
#微分とその応用#微分法#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 微分(12) 微分計算
$y=\sqrt[3]{\frac{2x+1}{x(x-2)^2}}$
を微分せよ。
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数学$\textrm{III}$ 微分(12) 微分計算
$y=\sqrt[3]{\frac{2x+1}{x(x-2)^2}}$
を微分せよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系066〜微分(11)定義に従った微分(3)
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 微分(11) 定義に従って(3)
$f'(a)$が存在するとき、
$\lim_{x \to a}\frac{a^2f(x)-x^2f(a)}{x-a}$
を$a,f(a),f'(a)$で表せ。
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数学$\textrm{III}$ 微分(11) 定義に従って(3)
$f'(a)$が存在するとき、
$\lim_{x \to a}\frac{a^2f(x)-x^2f(a)}{x-a}$
を$a,f(a),f'(a)$で表せ。
05東京都教員採用試験（数学：4番 極小値の総和）
単元：
#微分とその応用#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$x \gt 0$
$f(x)=\displaystyle \frac{e^{2x}}{\sin\ 2x}$の極小値の総和$S$を求めよ。
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$x \gt 0$
$f(x)=\displaystyle \frac{e^{2x}}{\sin\ 2x}$の極小値の総和$S$を求めよ。
【数Ⅲ】微分法：対数微分、この計算式をどうしますか？
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$f(x)=(1+a^x)^{\frac{1}{x}}$は,$0＜a＜1$の時単調である
[上級問題精講数学Ⅲ、416(1)]
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$f(x)=(1+a^x)^{\frac{1}{x}}$は,$0＜a＜1$の時単調である
[上級問題精講数学Ⅲ、416(1)]
福田のわかった数学〜高校３年生理系065〜微分(10)定義に従った微分(2)log xの微分
福田の数学〜中央大学2021年理工学部第４問〜定積分と不等式、極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#関数の極限#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$自然数$n$に対し,$f_n(x)=x^{-1+\frac{1}{n}}(x\gt 0)$とおく.
また,正の実数$a_n$は$\displaystyle \int_{1}^{a_n}f_n(x)dx=1$満たすものとする.次の問い
答えよ.
(1)関数$f_n(x)$の不定積分を求めよ.
(2)$a_n$の値と極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ.また,正の実数$b_n$が$\displaystyle \int_{1}^{b_n}f_{n+1}(x)dx=-1$を満たすとき,$b_n$の値と極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n$を求めよ.
(3)2以上の自然数$k$に対して$\displaystyle \int_{k-1}^{k}f_n(x)dx \gt \dfrac{1}{k}$を示し,これを利用して$a_n\lt 4$を証明せよ.
(4)$\displaystyle \int_{1}^{a_n}f_{n+1}(x)dx\lt 1$を示し,これを利用して$a_n\lt a_{n+1}＄を証明せよ.
2021中央大理工学部過去問
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$\boxed{4}$自然数$n$に対し,$f_n(x)=x^{-1+\frac{1}{n}}(x\gt 0)$とおく.
また,正の実数$a_n$は$\displaystyle \int_{1}^{a_n}f_n(x)dx=1$満たすものとする.次の問い
答えよ.
(1)関数$f_n(x)$の不定積分を求めよ.
(2)$a_n$の値と極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ.また,正の実数$b_n$が$\displaystyle \int_{1}^{b_n}f_{n+1}(x)dx=-1$を満たすとき,$b_n$の値と極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n$を求めよ.
(3)2以上の自然数$k$に対して$\displaystyle \int_{k-1}^{k}f_n(x)dx \gt \dfrac{1}{k}$を示し,これを利用して$a_n\lt 4$を証明せよ.
(4)$\displaystyle \int_{1}^{a_n}f_{n+1}(x)dx\lt 1$を示し,これを利用して$a_n\lt a_{n+1}＄を証明せよ.
2021中央大理工学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系064〜微分(9)定義に従った微分(1)
練習問題46 岡山大学 対数の性質を利用した不等式の証明 数検準１級 教員採用試験
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#指数関数と対数関数#対数関数#微分とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#その他#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#岡山大学#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
実数$a,b,$は
$0 \lt a \lt b$をみたしているとき
$(b+1)^a \lt (a+1)^b$が成り立つことを表せ。
出典：岡山大学
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実数$a,b,$は
$0 \lt a \lt b$をみたしているとき
$(b+1)^a \lt (a+1)^b$が成り立つことを表せ。
出典：岡山大学
練習問題45 北海道大学 微分と積分 教員採用試験 数検準1級
単元：
#大学入試過去問(数学)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#微分とその応用#積分とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#その他#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$0 \leqq x \leqq 2\pi$
関数
$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}e^t\ cos\ t\ dt$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ。
出典：北海道大学 教員採用試験
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$0 \leqq x \leqq 2\pi$
関数
$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}e^t\ cos\ t\ dt$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ。
出典：北海道大学 教員採用試験
福田のわかった数学〜高校３年生理系063〜微分(8)多重因子(2)
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 微分(8) 多重因子(2)
$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ を
$(x-1)^3$で割った余りを$f(1),f'(1),f''(1)$を
用いて表せ。
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数学$\textrm{III}$ 微分(8) 多重因子(2)
$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ を
$(x-1)^3$で割った余りを$f(1),f'(1),f''(1)$を
用いて表せ。
12東京都教員採用試験（数学：1-(5) 連続と微分）
単元：
#微分とその応用#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}(x \neq 0) \\
0(x=0)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$ は連続であるが微分可能でないことを示せ
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$f(x)=\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}(x \neq 0) \\
0(x=0)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$ は連続であるが微分可能でないことを示せ
福田のわかった数学〜高校３年生理系062〜微分(7)多重因子(1)
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 微分(7) 多重因子(1)
整式$f(x)$が$(x-\alpha)^3$で割り切れる$\iff f(a)=f'(a)=f''(a)=0$
であることを示せ。
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数学$\textrm{III}$ 微分(7) 多重因子(1)
整式$f(x)$が$(x-\alpha)^3$で割り切れる$\iff f(a)=f'(a)=f''(a)=0$
であることを示せ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系061〜微分(6)高次導関数
単元：
#微分とその応用#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 微分(6) 高次導関数
$f(x)=\sin x$の第$n$次導関数は
$f^{(n)}(x)=\sin(x+\frac{n\pi}{2})$であることを示せ。
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数学$\textrm{III}$ 微分(6) 高次導関数
$f(x)=\sin x$の第$n$次導関数は
$f^{(n)}(x)=\sin(x+\frac{n\pi}{2})$であることを示せ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系060〜微分(5)陰関数の微分(2)
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 微分(5) 陰関数の微分(2)
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点$(p,q)$での接線の方程式
は $\frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$ であることを示せ。
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数学$\textrm{III}$ 微分(5) 陰関数の微分(2)
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点$(p,q)$での接線の方程式
は $\frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$ であることを示せ。
【数学Ⅲ/微分】三角関数の微分②（積の微分、2倍角の公式など）
単元：
#三角関数#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
次の関数を微分せよ。
（1）
$y=\displaystyle \frac{1}{\sin^2x}$
（2）
$y=x\sin3x$
（3）
$y=\sin x\cos x$
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次の関数を微分せよ。
（1）
$y=\displaystyle \frac{1}{\sin^2x}$
（2）
$y=x\sin3x$
（3）
$y=\sin x\cos x$
【数学Ⅲ/微分】三角関数の微分①（合成関数の微分）
単元：
#微分法#数Ⅲ
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
次の関数を微分せよ。
（1）
$y=\sin x-\tan x$
（2）
$y=\cos(3x+1)$
（3）
$y=\cos x^2$
（4）
$y=\sin^3x$
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次の関数を微分せよ。
（1）
$y=\sin x-\tan x$
（2）
$y=\cos(3x+1)$
（3）
$y=\cos x^2$
（4）
$y=\sin^3x$
福田のわかった数学〜高校３年生理系059〜微分(4)陰関数の微分
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 微分(4) 陰関数の微分
$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$について$\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}$を
$x$と$y$を用いて表せ。ただし、$y\neq 0$とする。
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数学$\textrm{III}$ 微分(4) 陰関数の微分
$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$について$\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}$を
$x$と$y$を用いて表せ。ただし、$y\neq 0$とする。