積分とその応用

【数Ⅲ】積分法の応用：～授業風景シリーズ～　回転体の体積　前編

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #チャート式#青チャートⅢ#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【高校数学　数学Ⅲ　積分法の応用】

y = x^{2} + 1, x = 1, x = 2

,x軸で囲まれた部分をx軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ。

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14東京都教員採用試験（数学：4番　y軸回転体　バームクーヘンの定理）

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

0 ≦ x ≦ 2 \sqrt{2}

y = x \sqrt{8 - x^{2}}

のグラフと

x

軸で囲まれた部分を

y

軸のまわりに1回転してできる回転体の体積

V

を求めよ。

出典：東京都教員採用試験

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数学「大学入試良問集」【19−6 楕円と回転体の体積】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#広島大学#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

0 < a < 1

とする。
点

(1, 0)

から楕円

\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1

に引いた接線の接点の

x

座標を

b

とする。

（1）

b

を

a

で表せ。

（2）
楕円

\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1

の

b ≦ x ≦ a

の部分と直線

x = b

で囲まれた図形を、

x

軸のまわり1回転してできる回転体の体積

V

を求めよ。

（3）

V

の値が最大となる

a

の値と、そのときの

V

の最大値を求めよ。

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練習問題48　岡山大学2011　面積、極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#数列の極限#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岡山大学#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

n \in I N, 0 ≦ x ≦ 1

曲線

y = x^{2} (1 - x)^{n}

と

x

軸で囲まれた図形の面積を

S_{n}

とする。

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} S_{k}

を求めよ。

出典：2011年岡山大学　練習問題

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【数Ⅲ】積分法：置換積分の区間の取り方

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
置換積分の区間の取り方を解説します！

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練習問題47　東京理科大学　部分積分　数検準1級　教員採用試験

単元： #大学入試過去問(数学)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#積分とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#その他#数学検定#数学検定準1級#東京理科大学#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int \frac{l o g x}{(x + 1)^{2}} d x

を計算せよ。

出典：東京理科大学

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福田の数学〜中央大学2021年理工学部第４問〜定積分と不等式、極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#関数の極限#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

自然数

n

に対し,

f_{n} (x) = x^{- 1 + \frac{1}{n}} (x > 0)

とおく.
また,正の実数

a_{n}

は

\int_{1}^{a_{n}} f_{n} (x) d x = 1

満たすものとする.次の問い　
答えよ.

(1)関数

f_{n} (x)

の不定積分を求めよ.

(2)

a_{n}

の値と極限

lim_{n \to \infty} a_{n}

を求めよ.また,正の実数

b_{n}

が

\int_{1}^{b_{n}} f_{n + 1} (x) d x = - 1

を満たすとき,

b_{n}

の値と極限

lim_{n \to \infty} b_{n}

を求めよ.

(3)2以上の自然数

k

に対して

\int_{k - 1}^{k} f_{n} (x) d x > \frac{1}{k}

を示し,これを利用して

a_{n} < 4

を証明せよ.

(4)

\int_{1}^{a_{n}} f_{n + 1} (x) d x < 1

を示し,これを利用して$a_n\lt a_{n+1}＄を証明せよ.

2021中央大理工学部過去問

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練習問題45　北海道大学　微分と積分　教員採用試験　数検準1級

単元： #大学入試過去問(数学)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#微分とその応用#積分とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#その他#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

0 ≦ x ≦ 2 π

関数

f (x) = \int_{0}^{x} e^{t} c o s t d t

の最大値とそのときの

x

の値を求めよ。

出典：北海道大学　教員採用試験

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数学「大学入試良問集」【19−5定積分で表された関数】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#神戸商船大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
（1）
次の定積分の値を求めよ。
　(ⅰ)

\int_{0}^{π} \sin x d x

　(ⅱ)

\int_{0}^{π} e^{2 x} \sin x d x

（2）
次の等式をみたす

f (x)

を求めよ。

f (x) = e^{2 x} + \int_{0}^{π} f (t) \sin t d t

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練習問題43　区分求積法　数検１級１次　教員採用試験

単元： #数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#積分とその応用#定積分#その他#数学検定#数学検定1級#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{_{2 n} P_{n}}

の極限値を求めよ。

\int_{0}^{1} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n})

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練習問題42　早稲田大学　定積分　数学検定1級　教員採用試験

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#その他#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{4}^{16} \sqrt{x} e^{- \sqrt{x}} d x

出典：早稲田大学　教員採用試験

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数学「大学入試良問集」【19−4 2曲線が接する条件】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#群馬大学#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
2曲線

y = \sqrt{x}, y = a l o g x

、が1点のみを共有するように正の数

a

を定め、このとき2曲線と

x

軸で囲まれる面積を求めよ。

ただし、必要なら

lim_{x \to \infty} \frac{l o g x}{x} = 0

は用いてよい。

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数学「大学入試良問集」【19−3 f(sinx)と置換積分】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#信州大学#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

f (x)

が

0 ≦ x ≦ 1

で連続な関数であるとき

\int_{0}^{π} x f (\sin x) d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f (\sin x) d x

が成立することを示し、これを用いて

\int_{0}^{π} \frac{x \sin x}{3 + \sin^{2} x} d x

を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−2 三角関数の面積の二等分】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#京都府立医科大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の不等式が定める図形を

D

とする。

0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}, 0 ≦ y ≦ \sin 2 x

（1）
曲線

y = a \sin x

と

y = \sin 2 x

が

0 < x < \frac{π}{2}

で交わるような定数

a

の範囲を求めよ。

（2）
曲線

y = a \sin x

が図形

D

を面積の等しい2つの部分に分けるような定数

a

を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−1 三角関数のグラフと面積】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#神奈川大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

0 ≦ x ≦ 2 π

における2つの関数

y = \cos x

と

y = \sin 2 x

について、次の各問いに答えよ。
（1）2つの関数のグラフの交点の

x

座標をすべて求めよ。
（2）2つの関数のグラフの概形をかけ。
（3）2つの関数のグラフだけによって囲まれている部分の面積を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【18−12 絶対値を含む定積分の最大最小】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#愛媛大学#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} | x - \sin^{2} θ | \sin θ d θ

の

0 ≦ x ≦ 1

における最大値と最小値を求めよ。

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【数Ⅲ】積分法の応用：体積

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線

C : y = a x^{2}

と直線

ℓ : y = b x

とで囲まれた図形をDとする。(a，bを正の定数とする)
Dを

ℓ

のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。

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数学「大学入試良問集」【18−9 定積分関数と微分】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#長崎大学#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = \int_{- x}^{x + 4} \frac{t}{t^{2} + 1} d t

について、次の各問いに答えよ。
（1）

f (x) = 0

となる

x

の値を求めよ。
（2）

f^{'} (x) = 0

となる

x

の値を求めよ。
（3）

f (x)

が最小値をもつことを示し、その最小値を求めよ。

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国際数学オリンピック　積和

単元： #積分とその応用#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\cos \frac{π}{7} - \cos \frac{2 π}{7} + \cos \frac{3 π}{7} = \frac{1}{2}

を示せ.

国際数学オリンピック

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福田の数学〜慶應義塾大学2021年医学部第１問(2)〜回転体の体積と極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(2) 0 < α < 1, m > 0

とする。

曲 線 y = x^{α} - m x (x ≧ 0)

と

x 軸

で囲まれた図形を

x 軸

の周りに1回転させてできる回転体の体積を

V

とする。

m

を固定して

a \to + 0

とするときの

V

の極限値を

m

の式で表すと、

lim_{a \to + 0} V = (え)

となる。
また、

α

を固定して

m \to \infty

とするとき

m^{3} V

が

0

でない数に収束するならば

α = (お)

である。

2021慶應義塾大学医学部過去問

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【数Ⅲ】積分法：楕円で構成された図形の面積

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #チャート式#青チャートⅢ#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【高校数学　数学Ⅲ　積分法の応用】
2つの楕円

x^{2} ＋ 3 y^{2} = 4 ・ ・ ・ ① 、 3 x^{2} ＋ y^{2} = 4 ・ ・ ・ ②

がある。
（１）2つの楕円の4つの交点の座標を求めよ。
（２）2つの楕円の内部の重なった部分の面積を求めよ。

（出典元）青チャート数学Ⅲより

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福田の数学〜早稲田大学2021年教育学部第１問(2)〜ねじれの位置にある線分の回転

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　(2)座標空間に

2

点

A (0, - 1, 1)

と

B (- 1, 0, 0)

をとる。線分

A B

を

z

軸の周りに
1回転してできる面と2つの平面

z = 0, z = 1

とで囲まれた部分の体積を求めよ。

2021早稲田大学教育学部過去問

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福田の数学〜早稲田大学2021年理工学部第３問〜複素数平面上の点の軌跡

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#積分とその応用#複素数平面#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

　複素数

α = 2 + i,

β = - \frac{1}{2} + i

に対応する複素数平面上の点を

A (α), B (β)

とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)複素数平面上の点

C (α^{2}), D (β^{2})

と原点

O

の3点は一直線上にあることを示せ。

(2)点

P (z)

が直線

A B

上を動くとき、

z^{2}

の実部を

x

、虚部を

y

として、点

Q (z^{2})

の軌跡
を

x, y

の方程式で表せ。

(3)点

P (z)

が三角形

O A B

の周および内部にあるとき、点

Q (z^{2})

全体のなす図形をK
とする。

K

を複素数平面上に図示せよ。

(4)(3)の図形

K

の面積を求めよ。

2021早稲田大学理工学部過去問

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数学「大学入試良問集」【12−2 微分と直方体の体積】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#朝日大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
縦

x

、横

y

、高さ

z

の和が12、表面積が90であるような直方体を考える。
（1）

y + z

および

y z

を

x

の式で表せ。
（2）このような直方体が存在するための

x

の範囲を求めよ。
（3）このような直方体のうち体積が最大であるものを求めよ。

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福田の数学〜慶應義塾大学2021年理工学部第４問〜はさみうちの原理と区分求積

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

(1)

a

は

0 < a ≦ \frac{1}{2}

を満たす定数とする。

x ≧ 0

の範囲で不等式

a (x - \frac{x^{2}}{4}) ≦ \log (1 + a x)

　が成り立つことを示しなさい。

(2)

b

を実数の定数とする。

x ≧ 0

の範囲で不等式

\log (1 + \frac{1}{2} x) ≦ b x

が成り立つような

b

の最小値は

タ

である。

(3)

n

と

k

を自然数とし、

I (n, k) = lim_{t \to + 0}

\int_{0}^{\frac{k}{n}} \frac{\log (1 + \frac{1}{2} t x)}{t (1 + x)} d x

とおく。

I (n, k)

を求めると、

I (n, k) = チ

である。また

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} I (n, k) = ツ

　である。

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【数Ⅲ】積分法：①逆関数を用いた積分！　曲線y=e^x,x=1,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線

y = e^{x}, x = 1

,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ

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【数Ⅲ】積分法：②バウムクーヘン型積分！　曲線y=e^x,x=1,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線

y = e^{x}, x = 1

,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ

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09愛知県教員採用試験（数学：2番　微積）

単元： #関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#関数の極限#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

0 ≦ x ≦ \frac{1}{\sqrt{3}}

f (x) = \int_{x}^{\sqrt{3} x} \sqrt{1 - t^{2}} d t

(1)f(x)の最大値
(2)

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x}

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数検準1級2次過去問（7番　微分積分）

単元： #数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

y = (1 + l o g x) l o g x

とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

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数検準1級1次過去問（5番　積分）

単元： #数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#積分とその応用#定積分#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(1)

\int x (x^{2} + 4)^{\frac{1}{3}} d x

(2)

\int_{2}^{2 \sqrt{15}} x (x^{2} + 4)^{\frac{1}{3}} d x

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 積分とその応用

【数Ⅲ】積分法の応用：～授業風景シリーズ～ 回転体の体積 前編

14東京都教員採用試験（数学：4番 y軸回転体 バームクーヘンの定理）

数学「大学入試良問集」【19−6 楕円と回転体の体積】を宇宙一わかりやすく

練習問題48 岡山大学2011 面積、極限

【数Ⅲ】積分法：置換積分の区間の取り方

練習問題47 東京理科大学 部分積分 数検準1級 教員採用試験

福田の数学〜中央大学2021年理工学部第４問〜定積分と不等式、極限

練習問題45 北海道大学 微分と積分 教員採用試験 数検準1級

数学「大学入試良問集」【19−5定積分で表された関数】を宇宙一わかりやすく

練習問題43 区分求積法 数検１級１次 教員採用試験

練習問題42 早稲田大学 定積分 数学検定1級 教員採用試験

数学「大学入試良問集」【19−4 2曲線が接する条件】を宇宙一わかりやすく

数学「大学入試良問集」【19−3 f(sinx)と置換積分】を宇宙一わかりやすく

数学「大学入試良問集」【19−2 三角関数の面積の二等分】を宇宙一わかりやすく

数学「大学入試良問集」【19−1 三角関数のグラフと面積】を宇宙一わかりやすく

数学「大学入試良問集」【18−12 絶対値を含む定積分の最大最小】を宇宙一わかりやすく

【数Ⅲ】積分法の応用：体積

数学「大学入試良問集」【18−9 定積分関数と微分】を宇宙一わかりやすく

国際数学オリンピック 積和

福田の数学〜慶應義塾大学2021年医学部第１問(2)〜回転体の体積と極限

【数Ⅲ】積分法：楕円で構成された図形の面積

福田の数学〜早稲田大学2021年教育学部第１問(2)〜ねじれの位置にある線分の回転

福田の数学〜早稲田大学2021年理工学部第３問〜複素数平面上の点の軌跡

数学「大学入試良問集」【12−2 微分と直方体の体積】を宇宙一わかりやすく

福田の数学〜慶應義塾大学2021年理工学部第４問〜はさみうちの原理と区分求積

【数Ⅲ】積分法：①逆関数を用いた積分！ 曲線y=e^x,x=1,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ

【数Ⅲ】積分法：②バウムクーヘン型積分！ 曲線y=e^x,x=1,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ

09愛知県教員採用試験（数学：2番 微積）

数検準1級2次過去問（7番 微分積分）

数検準1級1次過去問（5番 積分）

【数Ⅲ】積分法の応用：～授業風景シリーズ～　回転体の体積　前編

14東京都教員採用試験（数学：4番　y軸回転体　バームクーヘンの定理）

練習問題48　岡山大学2011　面積、極限

練習問題47　東京理科大学　部分積分　数検準1級　教員採用試験

練習問題45　北海道大学　微分と積分　教員採用試験　数検準1級

練習問題43　区分求積法　数検１級１次　教員採用試験

練習問題42　早稲田大学　定積分　数学検定1級　教員採用試験

国際数学オリンピック　積和

【数Ⅲ】積分法：①逆関数を用いた積分！　曲線y=e^x,x=1,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ

【数Ⅲ】積分法：②バウムクーヘン型積分！　曲線y=e^x,x=1,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ

09愛知県教員採用試験（数学：2番　微積）

数検準1級2次過去問（7番　微分積分）

数検準1級1次過去問（5番　積分）