平面上のベクトルと内積

福田の数学〜東北大学2023年理系第５問〜空間ベクトルと内積

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

四面体OABCにおいて、

\vec{a}

=

\vec{O A}

,

\vec{b}

=

\vec{O B}

,

\vec{c}

=

\vec{O C}

とおき、次が成り立つとする。

∠

AOB=60°, |

\vec{a}

|=2, |

\vec{b}

|=3, |

\vec{c}

|=

\sqrt{6}

,

\vec{b}

・

\vec{c}

=3
ただし、

\vec{b}

・

\vec{c}

は、2つのベクトル

\vec{b}

と

\vec{c}

の内積を表す。さらに、線分OCと線分ABは垂直であるとする。点Cから3点O, A, Bを含む平面に下ろした垂線をCHとし、点Oから3点A, B, Cを含む平面に下ろした垂線をOKとする。
(1)

\vec{a}

・

\vec{b}

と

\vec{c}

・

\vec{a}

を求めよ。
(2)ベクトル

\vec{O H}

を

\vec{a}

と

\vec{b}

を用いて表せ。
(3)ベクトル

\vec{c}

とベクトル

\vec{H K}

は平行であることを示せ。

2023東北大学理系過去問

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福田の数学〜慶應義塾大学2023年看護医療学部第１問(1)〜交点の位置ベクトル

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)平行四辺形ABCDにおいて、辺CDの中点をMとし、直線ACと直線BMの交点をPとする。このとき、

\vec{A M}

,

\vec{A P}

をそれぞれ

\vec{A B}

,

\vec{A D}

を用いて表すと

\vec{A M}

=

ア

,

\vec{A P}

=

イ

2023慶應義塾大学看護医療学部過去問

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【高校数学】平面上のベクトルの基礎～加法・ベクトルの足し算～【数学Ｃ】

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
平面上のベクトルの基礎
加法・ベクトルの足し算を確認します！

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福田の数学〜北海道大学2023年文系第２問〜角の２等分線の位置ベクトル

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

三角形OABは辺の長さがOA=3, OB=5, AB=7であるとする。また、

∠

AOBの2等分線と直線ABとの交点をPとし、頂点Bにおける外角の2等分線と直線OPとの交点をQとする。
(1)

\vec{O P}

を

\vec{O A}

,

\vec{O B}

を用いて表せ。また、|

\vec{O P}

|の値を求めよ。
(2)

\vec{O Q}

を

\vec{O A}

,

\vec{O B}

を用いて表せ。また、|

\vec{O Q}

|の値を求めよ。

2023北海道大学文系過去問

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福田の数学〜大阪大学2023年理系第２問〜ベクトルと領域

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

平面上の3点O,A,Bが
|2

\vec{O A}

+

\vec{O B}

|=|

\vec{O A}

+2

\vec{O B}

|=1　かつ　(2

\vec{O A}

+

\vec{O B}

)・(

\vec{O A}

+

\vec{O B}

)=

\frac{1}{3}

を満たすとする。
(1)(2

\vec{O A}

+

\vec{O B}

)・(

\vec{O A}

+2

\vec{O B}

)を求めよ。
(2)平面上の点Pが
|

\vec{O P}

ー(

\vec{O A}

+

\vec{O B}

)|≦

\frac{1}{3}

　かつ　

\vec{O P}

・(2

\vec{O A}

+

\vec{O B}

)≦

\frac{1}{3}

を満たすように動くとき、|

\vec{O P}

|の最大値と最小値を求めよ。

2023大阪大学理系過去問

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福田の数学〜東京工業大学2023年理系第５問(PART1)〜4直線に接する球面の決定

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#点と直線#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

xyz空間の4点A(1,0,0), B(1,1,1), C(-1,1,-1), D(-1,0,0)を考える。
(1)2直線AB,BCから等距離にある点全体のなす図形を求めよ。
(2)4直線AB, BC, CD, DAに共に接する球面の中心と半径の組を全て求めよ。

2023東京工業大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題092〜神戸大学2018年度理系第５問〜回転体の体積

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

座標空間において、Oを原点とし、A(2,0,0), B(0,2,0), C(1,1,0)とする。

△

OABを直線OCの周りに1回転してできる回転体をLとする。
(1)直線OC上にない点P(x,y,z)から直線OCにおろした垂線をPHとする。

\vec{O H}

と

\vec{H P}

をx,y,zの式で表せ。
(2)点P(x,y,z)がLの点であるための条件は

z^{2} ≦ 2 x y

　かつ　

0 ≦ x + y ≦ 2

であることを示せ。
(3)

1 ≦ a ≦ 2

とする。Lを平面x=aで切った切り口の面積S(a)を求めよ。
(4)立体

(x, y, z) | (x, y, z) \in L, 1 ≦ x ≦ 2

の体積を求めよ。

2018神戸大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題041〜上智大学2019年度TEAP文系第３問〜長方形の紙を折り返す問題

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#平面上のベクトル#図形と方程式#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

A B = 2, B C = 3

の長方形ABCDの形の紙がある。DE=aとなる辺DC上の
点Eを考える。AがEと重なるように紙を折るとき、折り目となる線と辺AD,
辺BCとの交点をそれぞれP,Qとする。

(1)aを用いて表すと、

A P = \frac{二}{ヌ} a^{2} + \frac{ネ}{ノ}

である.
(2)aを用いて表すと、

B Q = \frac{ハ}{ヒ} a^{2} + \frac{フ}{ヘ} a + \frac{ホ}{マ}

である。
(3)aを用いて表すと、

P Q = \frac{ミ}{ム} \sqrt{a^{2} + メ}

である。
(4)四角形ABQPの面積はaを用いて表すと、

\frac{モ}{ヤ} a^{2} + \frac{ユ}{ヨ} a + ラ

であり、その最小値は

\frac{リ}{ル}

である。

2019上智大過去問

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【数B】ベクトル：ベクトルの基本⑰2直線のなす鋭角を求める

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
2直線

\sqrt{3} x + 3 y - 1 = 0, - x + \sqrt{3} y - 2 = 0

のなす鋭角

α

を求めよ

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【数B】ベクトル：ベクトルの基本⑯点の存在範囲を考える

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
点の存在範囲を考える問題に関して解説していきます.

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題022〜一橋大学2016年度文系数学第５問〜ベクトルの絶対値の比の範囲

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#平面上のベクトル#解と判別式・解と係数の関係#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
平面上の2つのベクトル

\vec{a}

と

\vec{b}

は零ベクトルではなく、

\vec{a}

と

\vec{b}

のなす角度は
60°である。このとき

r = \frac{| \vec{a} + 2 \vec{b} |}{| 2 \vec{a} + \vec{b}}

のとりうる値の範囲を求めよ。

2016一橋大学文系過去問

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福田の数学〜北里大学2021年医学部第１問(1)〜空間ベクトルの内積と平面に下ろした垂線の長さ

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#平面上のベクトルと内積#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(1)一辺の長さが4の正四面体ABCDにおいて、辺BCの中点をEとおく。
動点Pは

P E = \frac{1}{2} A E

を満たしながら

△ A E D

の内部および周上を動くものとし、

∠ P E D = θ

とおく。このとき、

\vec{P B} ・ \vec{P C} = ア

である。また、

\vec{P B} ・ \vec{P C}

を

θ

を用いて表すと

\vec{P C} ・ \vec{P D} = イ

、その最大値は

ウ

である。

\vec{P C} ・ \vec{P D}

が最大となるときの点Pと平面ACDの距離は

エ

である。

2021北里大学医学部過去問

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福田の数学〜中央大学2022年経済学部第２問〜ベクトルの内積と三角形の面積

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

△ A B C

において、ベクトルの内積が

\vec{C A} ・ \vec{A B} = - 2, \vec{A B} ・ \vec{B C} = - 4, \vec{B C} ・ \vec{C A} = - 5

であるとき、以下の設問に答えよ。
(1)3辺AB,BC,CAの長さを求めよ。
(2)\triangle ABCの面積を求めよ。

2022中央大学経済学部過去問

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【数B】ベクトル：ベクトルの基本⑮直線の方程式を求める

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
A(3,5),方向ベクトルd=(1,2)のとき直線の方程式を求めよ。
A(1,3),B(2,4)のとき2点を通る直線の方程式を求めよ。
A(3,2),法線ベクトルd=(4,5)のとき直線の方程式を求めよ。

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【数B】ベクトル：一次独立なベクトルで他のベクトルを扱おう！

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
アドバンスプラス数学B
問題618

\vec{a} = (2, 5), \vec{b} = (1, 3)

がある。次のベクトルを

\vec{a} + m \vec{b}

の形で表せ。
(1)

\vec{c} = (1, 0)

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【数C】一次独立なベクトルで他のベクトルを扱おう！

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

教材： #アドバンスプラス#アドバンスプラス数Ⅱ・B#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
アドバンスプラス数学B
問題618
vec(a)=(2,5),vec(b)=(1,3)がある。次のベクトルをl vec(a)+m vec(b)の形で表せ。
(1) vec(c)=(1,0)

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【数B】ベクトル：ベクトルの基本⑭係数比較、メネラウスの定理でベクトルを求める

単元： #数A#図形の性質#平面上のベクトル#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
三角形ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をD、辺ACを3:1に内分する点をEとし、線分CD,BEの交点をPとする。ABをb,ACをcとするとき、APをb,cを用いて表せ.

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【数C】ベクトルの大きさを自由自在に扱おう！

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

教材： #アドバンスプラス#アドバンスプラス数Ⅱ・B#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
アドバンスプラス数学B
問題617
vec(a)=(2,-1)について、
(1) vec(a)と平行な単位ベクトルを求めよ。
(2) vec(a)と同じ向きで、大きさが5であるvec(b)を求めよ。

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【数B】ベクトル：ベクトルの大きさを自由自在に扱おう！

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
アドバンスプラス数学B
問題617

\vec{a} = (2, - 1)

について、
(1)

\vec{a}

と平行な単位ベクトルを求めよ。
(2)

\vec{a}

と同じ向きで、大きさが5である

\vec{b}

を求めよ。

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【数C】単位ベクトルを成分で表そう！

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

教材： #アドバンスプラス#アドバンスプラス数Ⅱ・B#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
アドバンスプラス数学B
問題616
vec(a)=(-3,4)と同じ向きの単位ベクトルvec(e)を求めよ。

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【数B】ベクトル：単位ベクトルを成分で表そう！

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
アドバンスプラス数学B
問題616

\vec{a} = (- 3, 4)

と同じ向きの単位ベクトル

\vec{e}

を求めよ。

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【数B】ベクトル：ベクトルが「平行」であるときの典型解法をおさえよう！

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
アドバンスプラス数学B
問題615

\vec{a} = (1, x), \vec{b} = (x, 4)

が平行であるような実数xの値を求めよ。

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【数B】ベクトル：ベクトルの基本⑬内心ベクトルの求め方

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
角

A = 60 °, A B = 8, A C = 5

である三角形ABCの内心をIとする。

A B = b, A C = c

とするときAIをb,cを用いて表せ.

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【数B】ベクトル：ベクトルの基本⑫位置ベクトルの考え方

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
位置ベクトルの考え方についての動画です！

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【数B】ベクトル：ベクトルの基本⑪平面ベクトルのときの三角形の面積の計算

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
3点

A (- 2, 1), B (3, 0), C (2, 4)

が与えられたとき、三角形ABCの面積を求めよ

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福田の数学〜青山学院大学2022年理工学部第２問〜平面ベクトルの直交と絶対値の最小

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#平面上のベクトル#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
四面体OABCは

O A = O B = 2, O C = 3, A B = 1, B C = 4

を満たすとする。また、三角形ABCの重心をGとするとき、

O G = \sqrt{2}

である。
(1)

\vec{O A} ・ \vec{O B} = \frac{ア}{イ},

\vec{O A} ・ \vec{O C} = \frac{ウ エ}{オ}

(2)

\vec{O G}

と

\vec{O A} + k \vec{O B}

が垂直であるのは

k = カ キ

のときである。
(3)

t

を実数とする。

| t \vec{O A} - 2 t \vec{O B} + \vec{O C} |

の最小値は

\frac{\sqrt{ク ケ コ}}{サ}

であり、
そのときのtの値は

\frac{シ ス}{セ}

である。

2022青山学院大学理工学部過去問

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福田の数学〜立教大学2022年経済学部第２問〜平面ベクトルの直交条件

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
tを正の実数とする。

O A = 1, O B = t

である三角形OABにおいて、

\vec{a} = \vec{O A}

\vec{b} = \vec{O B}, ∠ A O B = θ

とする。ただし、

0 < θ < \frac{π}{2}

とする。また、辺OAの中点
をM、辺OBを1:2に内分する点をNとする。次の問いに答えよ。
(1)

\vec{A N}

と

\vec{B M}

を

\vec{a}

と

\vec{b}

を用いて表せ。
(2)内積

\vec{A N} ・ \vec{B M}

を

t

と

\cos θ

を用いて表せ。
(3)

\vec{A N} ∟ \vec{B M}

であるとき、

\cos θ

を

t

を用いて表せ。
(4)

\vec{A N} ∟ \vec{B M}

であるとき、

\cos θ

の最小値とそれを与えるtの値をそれぞれ求めよ。
(5)

\vec{A N} ∟ \vec{B M}

となるθが存在するtの値の範囲を求めよ。

2022立教大学経済学部過去問

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【数C】平行四辺形状のマス目上にあるベクトルを表そう！

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

教材： #アドバンスプラス#アドバンスプラス数Ⅱ・B#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
Adプラ数学B問題606
次に図示された2つのベクトルvec(p),vec(q)をvec(a),vec(b)で表せ。

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【数B】ベクトル：平行四辺形状のマス目上にあるベクトルを表そう！

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
Adプラ数学B問題606
次に図示された2つのベクトル

\vec{p}, \vec{q}

を

\vec{a}, \vec{b}

で表せ。

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福田の数学〜立教大学2022年理学部第１問(3)〜垂線の足の位置ベクトル

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#平面上のベクトル#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
三角形ABCにおいて、

A B = 5, A C = 6

、角Aの大きさは

\frac{π}{3}

であるとする。
Aから辺BCに垂線AHを下ろす。このとき

B H : C H = ウ : エ

である。

2022立教大学理学部過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 平面上のベクトルと内積

福田の数学〜東北大学2023年理系第５問〜空間ベクトルと内積

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題092〜神戸大学2018年度理系第５問〜回転体の体積

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【数B】ベクトル：ベクトルの基本⑰2直線のなす鋭角を求める

【数B】ベクトル：ベクトルの基本⑯点の存在範囲を考える

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題022〜一橋大学2016年度文系数学第５問〜ベクトルの絶対値の比の範囲

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福田の数学〜中央大学2022年経済学部第２問〜ベクトルの内積と三角形の面積

【数B】ベクトル：ベクトルの基本⑮直線の方程式を求める

【数B】ベクトル：一次独立なベクトルで他のベクトルを扱おう！

【数C】一次独立なベクトルで他のベクトルを扱おう！

【数B】ベクトル：ベクトルの基本⑭係数比較、メネラウスの定理でベクトルを求める

【数C】ベクトルの大きさを自由自在に扱おう！

【数B】ベクトル：ベクトルの大きさを自由自在に扱おう！

【数C】単位ベクトルを成分で表そう！

【数B】ベクトル：単位ベクトルを成分で表そう！

【数B】ベクトル：ベクトルが「平行」であるときの典型解法をおさえよう！

【数B】ベクトル：ベクトルの基本⑬内心ベクトルの求め方

【数B】ベクトル：ベクトルの基本⑫位置ベクトルの考え方

【数B】ベクトル：ベクトルの基本⑪平面ベクトルのときの三角形の面積の計算

福田の数学〜青山学院大学2022年理工学部第２問〜平面ベクトルの直交と絶対値の最小

福田の数学〜立教大学2022年経済学部第２問〜平面ベクトルの直交条件

【数C】平行四辺形状のマス目上にあるベクトルを表そう！

【数B】ベクトル：平行四辺形状のマス目上にあるベクトルを表そう！

福田の数学〜立教大学2022年理学部第１問(3)〜垂線の足の位置ベクトル