問題文全文(内容文)：
2011慶應義塾大学過去問題
n=1,2,・・・100
$a_n=n{3}^n$・${}_{100}{\mathrm{C}}_n$
$a_n$を最大にするnの値

問題文全文(内容文)：
等差×等比

$S=1\mathrm{・}1+2\mathrm{・}2++3\mathrm{・}2²+\dots n\mathrm{・}{2}^{n-1}$

を求めよ

問題文全文(内容文)：
$3+3^2+3^3+\cdots +3^7$ $(3^8=6561)$

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 3}}$ nを2以上の整数とする。袋の中には1から2nまでの整数が1つずつ書いてある2n枚のカードが入っている。以下の問いに答えよ。
(1)この袋から同時に2枚のカードを取り出したとき、そのカードに書かれている数の和が偶数である確率を求めよ。
(2)この袋から同時に3枚のカードを取り出したとき、そのカードに書かれている数の和が偶数である確率を求めよ。
(3)この袋から同時に2枚のカードを取り出したとき、そのカードに書かれている数の和が2n+1以上である確率を求めよ。

2023神戸大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$1008$の正の約数$n$個を大きい順に並べた数列を
$a_1,a_2･･････,a_n$とし、$S(x)$を$S(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k^x}$とする。
①$S(0)$ ②$S(1)$ ③$S(-1)$ ④${\displaystyle \frac{S(2)}{S(1)}}$

問題文全文(内容文)：
等差×等比数列の型の和の求め方を解説します。
$S=1+2\times 2+3\times 2^3+\cdots +n\cdot 2^{n-1}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 5}}$ A, B, Cの3人が、A, B, C, A, B, C, A, ... という順番にさいころを投げ、最初に1を出した人を勝ちとする。だれかが1を出すか、全員が$n$回ずつ投げたら、ゲームを終了する。A, B, Cが勝つ確率$P_A$, $P_B$, $P_C$をそれぞれ求めよ。

2023一橋大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+････+n^4}{n^5}}}$
これを求めよ。

産業医科大過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$ xy平面上で、x座標とy座標がともに正の整数であるような各点に、下の図のような番号をつける。(※動画参照)点(m, n)につけた番号をf(m, n)とする。
たとえば、$f(1,1)=1,f(3,4)=19$ である。
(1)$f(m,n)+f(m+1,n+1)=2f(m,n+1)$
が成り立つことを示せ。
(2)$f(m,n)+f(m+1,n)+f(m,n+1)+f(m+1,n+1)=2023$
となるような整数の組(m, n)を求めよ。

2023一橋大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
$2^{x+2},2^x,2^4$がこの順で等差数列をなすとき、x=?
(自治医科大学(改))

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 3}}$ sを実数とし、数列$\left\{a_n\right\}$を
$a_1$=s, (n+2)$a_{n+1}$=n$a_n$+2　(n=1,2,3,...)
で定める。以下の問いに答えよ。
(1)$a_n$をnとsを用いて表せ。
(2)ある正の整数$m$に対して、${\displaystyle \sum _{n=1}^m{a}_n}$=0が成り立つとする。sをmを用いて表せ。

2023東北大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
数学2B
和と一般項
数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=3n(n+5)$で表されるとき、一般項$a_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 2}}$ (3) 次の条件によって定められる数列$\left\{a_n\right\}$がある。
$a_1$=1, $a_{n+1}$=$\sqrt{a_n^2+1}$ ($n$=1,2,3,...)
(i)$a_2$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$, $a_3$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$であり、一般項$a_n$を推定すると$a_n$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$である。
(ii)一般項$a_n$が$a_n$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$であることの数学的帰納法による証明を述べよ。

2023慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$ (5)整式P(x)を
P(x)=${\displaystyle \sum _{n=1}^{20}n{x}^n}$=20$x^{20}$+19$x^{19}$+18$x^{18}$+...+2$x^2$+$x$
と定める。このとき、P(x)をx-1で割った時の余りは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$である。
また、P(x)を$x^2$-1で割った時の余りは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}$である。

2023慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
$a_1=S$：実数
$(n+2)a_{n+1}=n{a}_n+2$

（1）
$a_n$を求めよ

（2）
${\displaystyle \sum _{n=1}^m{a}_n=0}$のとき$S$を$m$で表せ

出典：2023年東北大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
第1項から第10項までの和が4、第1項から第20項までの和が24である等比数列について、第1項から第40項までの和を求めよ

問題文全文(内容文)：
数学2B
階差数列
$5,11,23,41,65,95,\cdots$の一般項は？

問題文全文(内容文)：
次の数列の一般項を求めなさい。
$a_1＝1$
$a_2＝2+3+2$
$a_3＝3+4+5+4+3$
$a_4＝4+5+6+7+6+5+4$

問題文全文(内容文)：
$m,n$：自然数
$m\geqq 2$
$f(\theta )={\displaystyle \frac{\sin n\theta }{\cos n\theta +m}}$の最大値を$\alpha (m,n)$とする
${\displaystyle \sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\{\alpha (m,n){\}}^2}$を求めよ

問題文全文(内容文)：
次の和を求めよ。
（4）${\displaystyle \sum _{k=1}^n(k^2+3k+2)}$

問題文全文(内容文)：
第1項から第10項までの和が4、第1項から第20項までの和が24のとき、第1項から第40項までの和を求めよ。

問題文全文(内容文)：
第1項から第10項までの和が4、第1項から第20項までの和が24のとき、第1項から第40項までの和を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$　自然数nに対し、定積分$I_n$=${\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^n}{x^2+1}dx}$を考える。このとき、次の問いに答えよ。
(1)$I_n$+$I_{n+2}$=$\frac{1}{n+1}$を示せ。
(2)0≦$I_{n+1}$≦$I_n$≦$\frac{1}{n+1}$を示せ。
(3)${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{I}_n}$　を求めよ。
(4)$S_n$=${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{2k}}$　とする。このとき(1), (2)を用いて${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n}$　を求めよ。

2018名古屋大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
第2問
数列$a_1$, $a_2$, $\cdots$を
$a_n$=${\displaystyle \frac{{}_{2n+1}{C}_n}{n!}}$　($n$=1,2,...)
で定める。
(1)n≧2とする。$\frac{a_n}{a_{n-1}}$を既約分数$\frac{q_n}{p_n}$として表したときの分母$p_n$≧1と分子$q_n$を求めよ。
(2)$a_n$が整数となるn≧1をすべて求めよ。

2018東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
第4問
花子さんは、毎年の初めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を始める前における花子さんの預金は10万円である。ここで、預金とは預金口座にあるお金の額のことである。預金には年利1%で利息がつき、ある年の初めの預金がx万円であれば、その年の終わりには預金は1.01x万円となる。次の年の初めには1.01x万円に入金額を加えたものが預金となる。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金を$a_n$万円とおく。ただし、p＞0とし、nは自然数とする。
例えば、$a_1=10+p,a_2=1.01(10+p)+p$である。
(1)$a_n$を求めるために二つの方針で考える。
方針1
n年目の初めの預金と(n+1)年目の初めの預金との関係に着目して考える。
3年目の初めの預金$a_3$万円について、$a_3=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}$である。全ての自然数nについて
$a_{n+1}=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}}{a}_n+\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}}$
が成り立つ。これは
$a_{n+1}+\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}(a_n+\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}})$
と変形でき、$a_n$を求めることができる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}$の解答群
⓪1.01{1.01(10+p)+p}　①1.01{1.01(10+p)+1.01p}　
②1.01{1.01(10+p)+p}+p　③1.01{1.01(10+p)+p}+1.01p　
④1.01(10+p)+1.01p　⑤1.01(10+1.01p)+1.01p

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}}$～$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪1.01　①${1.01}^{n-1}$　②${1.01}^n$　
③p　④100p　⑤np
⑥100np　⑦${1.01}^{n-1}$×100p　⑧${1.01}^n$×100p　
方針2
もともと預金口座にあった10万円と毎年の初めに入金したp万円について、n年目の初めにそれぞれがいくらになるかに着目して考える。
もともと預金口座にあった10万円は、2年目の初めには10×1.01万円になり、3年目の初めには10×${1.01}^2$万円になる。同様に考えるとn年目の初めには10×${1.01}^{n-1}$万円になる。
・1年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp×${1.01}^{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}}$万円になる。
・2年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp×${1.01}^{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}}$万円になる。
・n年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp万円のままである。
これより
$a_n$=10×${1.01}^{n-1}$+p×${1.01}^{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}}$+p×${1.01}^{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}}$+...+p
=10×${1.01}^{n-1}$+p${\displaystyle \sum _{k=1}^n{1.01}^{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}}}$
となることがわかる。ここで、${\displaystyle \sum _{k=1}^n{1.01}^{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}}}$=$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$となるので、$a_n$を求めることができる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$,　$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪n+1　①n　②n-1　③n-2
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$の解答群
⓪k+1　①k　②k-1　③k-2
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$の解答群
⓪100×${1.01}^n$　①100(${1.01}^n$-1)　
②100(${1.01}^{n-1}-1$)　③n+${1.01}^{n-1}$-1　
④0.01(101n-1)　⑤$\frac{n\times {1.01}^{n-1}}{2}$
(2)花子さんは、10年目の終わりの預金が30万円以上になるための入金額について考えた。
10年目の終わりの預金が30万円以上であることを不等式を用いて表すと
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$≧30となる。この不等式をpについて解くと
p≧$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}\mathrm{シ}}}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}\mathrm{セ}}}\times {1.01}^{10}}{101({1.01}^{10}-1)}$
となる。したがって、毎年の初めの入金額が例えば18000円であれば、10年目の終わりの預金が30万円以上になることがわかる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$の解答群
⓪$a_{10}$　①$a_{10}$+p　②$a_{10}$-p　
③1.01$a_{10}$　④1.01$a_{10}$+p　⑤1.01$a_{10}$-p
(3)1年目の入金を始める前における花子さんの預金が10万円ではなく、13万円の場合を考える。すべての自然数nに対して、この場合のn年目の初めの預金は$a_n$万円よりも$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}$万円多い。なお、年利は1%であり、毎年の初めの入金額はp万円のままである。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}$の解答群
⓪3　①13　②3(n-1)　
③3n　④13(n-1)　⑤13n　
⑥$3^n$　⑦3+1.01(n-1)　⑧3×${1.01}^{n-1}$　
⑨3×${1.01}^n$　ⓐ13×${1.01}^{n-1}$　ⓑ13×${1.01}^n$　

2023共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$a,n$は整数$(n\geqq 2)a$から始まる連続n個の整数の和が2023となる$(a,n)$の組は,
(1)全部で何通りか?
(2)a,nともに奇数は何通りか?

近畿大(医)過去問

問題文全文(内容文)：
$\frac{1}{8!}+\frac{1}{9!}=\frac{x}{10!}$
x=?

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 3}}$ $\alpha ={\log }_{2}3$とし、自然数nに対して
$a_n=[n\alpha ]$,　$b_n=\left[{\displaystyle \frac{n\alpha }{\alpha -1}}\right]$
とする。ただし、実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表す。
(1)$a_5=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$である。
(2)$b_3=k$とおくと、不等式${\displaystyle \frac{3^{k+c}}{2^k}\leqq 1<\frac{3^{k+1+c}}{2^{k+1}}}$が整数$c=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$で成り立ち、
$b_3=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$であることがわかる。
(3)$a_n\leqq$ 10を満たす自然数nの個数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$である。
(4)$b_n\leqq$ 10を満たす自然数nの個数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$である。
(5)$a_n\leqq$ 50を満たす自然数nの個数をsとし、$b_n\leqq$ 50を満たす自然数nの個数をtとする。このとき、s+t=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}$である。

2019上智大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
9を分母とする正の既約分数で,100より小さいものの総和を求めよ。

甲南大過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 11}}$　数列$\left\{a_n\right\}$を次の条件によって定める。
$a_1=2$,　　$a_{n+1}=1+\frac{1}{{\displaystyle 1-\sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}}}$ (n=1,2,3,$\cdots$)
(1) $a_5$を求めよ。
(2) $a_{n+1}$を$a_n$の式で表せ。
(3) 無限級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a_k}}$が収束することを示し、その和を求めよ。

2017千葉大学理系過去問