数列とその和（等差・等比・階差・Σ）
数列とその和（等差・等比・階差・Σ）
記号は大学数学でも頑張れば中学生でもできる
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\dfrac{2^3-1}{2^3+1}・\dfrac{3^3-1}{3^3+1}・\dfrac{4^3-1}{4^3+1}・\dfrac{5^3-1}{5^3+1}…$
$\displaystyle \prod_{n=2}^{\infty} \dfrac{n^3-1}{n^3+1}=?$
これを解け.
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$\dfrac{2^3-1}{2^3+1}・\dfrac{3^3-1}{3^3+1}・\dfrac{4^3-1}{4^3+1}・\dfrac{5^3-1}{5^3+1}…$
$\displaystyle \prod_{n=2}^{\infty} \dfrac{n^3-1}{n^3+1}=?$
これを解け.
福田の数学〜立教大学2022年経済学部第１問(5)〜群数列
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
自然数n が 2n-1 個続く、初項が1の次のような数列がある。
1,2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5,…
このとき、自然数 m が初めて現れるのは第何項か。
また第 2022項はいくつか。
2022立教学部経済学部過去問
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自然数n が 2n-1 個続く、初項が1の次のような数列がある。
1,2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5,…
このとき、自然数 m が初めて現れるのは第何項か。
また第 2022項はいくつか。
2022立教学部経済学部過去問
階乗の方程式
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\frac{(x^2-1)!}{x^2-1} = 23!$のとき
x=?
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$\frac{(x^2-1)!}{x^2-1} = 23!$のとき
x=?
ガウス記号×数列！難しそうに見えるけど・・・【一橋大学】【数学 入試問題】
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
実数$x$に対し,$x$を超えない最大の整数を$\lbrack x \rbrack$で表す。数列{$a_k$}を
$a_k=2^{[\sqrt{k}]}$ $(k=1,2,3,･･･)
で定義する。正の整数$n$に対して
$b_n$=$\displaystyle \sum_{k=1}^n^{2} a_k$ を求めよ。
一橋大過去問
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実数$x$に対し,$x$を超えない最大の整数を$\lbrack x \rbrack$で表す。数列{$a_k$}を
$a_k=2^{[\sqrt{k}]}$ $(k=1,2,3,･･･)
で定義する。正の整数$n$に対して
$b_n$=$\displaystyle \sum_{k=1}^n^{2} a_k$ を求めよ。
一橋大過去問
等比数列の和
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$a+ar+ar^2=1$
$ar^3+ar^4+ar^5=8$
$ar^6+ar^7+ar^8=?$
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$a+ar+ar^2=1$
$ar^3+ar^4+ar^5=8$
$ar^6+ar^7+ar^8=?$
福田の数学〜早稲田大学2022年商学部第１問(3)〜漸化式で与えられた数列の項の値
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{1}}$(3)$a$を実数とする。
数列$\left\{a_n\right\}$が次の条件を満たしている。
$(\textrm{i})a_1=a$
$(\textrm{ii})a_{n+1}=a_n^2-2a_n-3(n=1,2,3,\ldots)$
このとき、すべての正の整数$n$に対して、$a_n \leqq 10$となるような
$a$の最小値は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$である。
2022早稲田大学商学部過去問
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${\large\boxed{1}}$(3)$a$を実数とする。
数列$\left\{a_n\right\}$が次の条件を満たしている。
$(\textrm{i})a_1=a$
$(\textrm{ii})a_{n+1}=a_n^2-2a_n-3(n=1,2,3,\ldots)$
このとき、すべての正の整数$n$に対して、$a_n \leqq 10$となるような
$a$の最小値は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$である。
2022早稲田大学商学部過去問
差がつく問題！記号が多くても焦らずに解けば大丈夫！【お茶の水女子大学】【数学 入試問題】
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$m$を2以上の自然数,$n$を自然数とするとき,次の不等式
${}_{mn} \mathrm {C}_n≧m^n>\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} ｍ^i$
が成り立つことを示せ。
お茶の水女子大過去問
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$m$を2以上の自然数,$n$を自然数とするとき,次の不等式
${}_{mn} \mathrm {C}_n≧m^n>\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} ｍ^i$
が成り立つことを示せ。
お茶の水女子大過去問
階乗に関する問題！！ 24で割った余り
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
1!+2!+3!+・・・+2022!
24で割った余りは？
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1!+2!+3!+・・・+2022!
24で割った余りは？
福田の数学〜早稲田大学2022年人間科学部第１問(1)〜命題の真偽とカードの裏表
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{1}}$(1)表面にアルファベットが、裏面には自然数が書かれている5枚のカードが、
次のように置かれている。
${\large\boxed{P}}\hspace{45pt}{\large\boxed{Q}}\hspace{45pt}{\large\boxed{1}}\hspace{45pt}{\large\boxed{3}}\hspace{45pt}{\large\boxed{6}}$
これら5枚のカードに対する命題「表面がアルファベットPならば、裏面は
素数である」の審議を調べるために、できるだけ少ない枚数のカードを裏返
して確認したい。左からn番目の位置にあるカードを裏返す必要があるとき
には$a_n=1$、必要のないときには$a_n=0$とするとき
$\sum_{k=1}^5 a_k2^{k-1}=\boxed{\ \ ア\ \ }$
である。
2022早稲田大学人間科学部過去問
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${\large\boxed{1}}$(1)表面にアルファベットが、裏面には自然数が書かれている5枚のカードが、
次のように置かれている。
${\large\boxed{P}}\hspace{45pt}{\large\boxed{Q}}\hspace{45pt}{\large\boxed{1}}\hspace{45pt}{\large\boxed{3}}\hspace{45pt}{\large\boxed{6}}$
これら5枚のカードに対する命題「表面がアルファベットPならば、裏面は
素数である」の審議を調べるために、できるだけ少ない枚数のカードを裏返
して確認したい。左からn番目の位置にあるカードを裏返す必要があるとき
には$a_n=1$、必要のないときには$a_n=0$とするとき
$\sum_{k=1}^5 a_k2^{k-1}=\boxed{\ \ ア\ \ }$
である。
2022早稲田大学人間科学部過去問
福田の数学〜慶應義塾大学2022年看護医療学部第２問(2)〜漸化式と和に関する不等式
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{2}}$(2)$a_1=4,\ \ \ 4a_{n+1}=2a_n+3(n=1,2,3,\ldots)$で与えられる
数列$\left\{a_n\right\}$の一般項は$a_n=\boxed{\ \ ア\ \ }$である。
また$\sum_{n=1}^la_n \geqq 20$
を満たす最小の自然数lは$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
2022慶應義塾大学看護医療学科過去問
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${\large\boxed{2}}$(2)$a_1=4,\ \ \ 4a_{n+1}=2a_n+3(n=1,2,3,\ldots)$で与えられる
数列$\left\{a_n\right\}$の一般項は$a_n=\boxed{\ \ ア\ \ }$である。
また$\sum_{n=1}^la_n \geqq 20$
を満たす最小の自然数lは$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
2022慶應義塾大学看護医療学科過去問
【高校数学】階差数列の問題演習～標準的な問題～ 3-9.5【数学Ｂ】
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
一般項$a_{n}$を求めよ。
-5,1,8,17,29,45,66,...
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一般項$a_{n}$を求めよ。
-5,1,8,17,29,45,66,...
福田の数学〜慶應義塾大学2022年総合政策学部第１問〜ガウス記号を含む数列の和
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$実数xに対して、x以下の最大の整数を$[x]$と表すことにする。
いま、数列$\left\{a_n\right\}$を
$a_n=[\sqrt{2n}+\frac{1}{2}]$
と定義すると
$a_1=\boxed{\ \ ア\ \ },\ \ \ \ a_2=\boxed{\ \ イ\ \ },\ \ \ \ a_3=\boxed{\ \ ウ\ \ },\ \ \ \ a_4=\boxed{\ \ エ\ \ },\ \ \ \ a_5=\boxed{\ \ オ\ \ },a_6=\boxed{\ \ カ\ \ },$
となる。このとき、$a_n=10$となるのは、$\boxed{\ \ キク\ \ } \leqq n \leqq \boxed{\ \ ケコ\ \ }$の場合に限られる。
また、$\sum_{n=1}^{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}a_n=\boxed{\ \ サシスセ\ \ }$である。
2022慶應義塾大学総合政策学部過去問
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${\Large\boxed{1}}$実数xに対して、x以下の最大の整数を$[x]$と表すことにする。
いま、数列$\left\{a_n\right\}$を
$a_n=[\sqrt{2n}+\frac{1}{2}]$
と定義すると
$a_1=\boxed{\ \ ア\ \ },\ \ \ \ a_2=\boxed{\ \ イ\ \ },\ \ \ \ a_3=\boxed{\ \ ウ\ \ },\ \ \ \ a_4=\boxed{\ \ エ\ \ },\ \ \ \ a_5=\boxed{\ \ オ\ \ },a_6=\boxed{\ \ カ\ \ },$
となる。このとき、$a_n=10$となるのは、$\boxed{\ \ キク\ \ } \leqq n \leqq \boxed{\ \ ケコ\ \ }$の場合に限られる。
また、$\sum_{n=1}^{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}a_n=\boxed{\ \ サシスセ\ \ }$である。
2022慶應義塾大学総合政策学部過去問
『Σ』の記号の意味を理解させます
【高校数学】階差数列の問題演習～基礎的な問題～ 3-9.5【数学Ｂ】
単元：
#数Ⅱ#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
一般項a_nを求めよ
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
(1)\,\,1,\,7,\,17,\,31,\,71,\,…
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
(2)\,\,2,\,3,\,5,\,9,\,17,\,…
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
一般項a_nを求めよ
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
(1)\,\,1,\,7,\,17,\,31,\,71,\,…
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
(2)\,\,2,\,3,\,5,\,9,\,17,\,…
\end{eqnarray}
シグマΣの記号について～中学生でも理解させます～
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
(1)
\displaystyle \sum_{k=1}^{100} k
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
(1)
\displaystyle \sum_{k=1}^{100} k
\end{eqnarray}
無限等比級数
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \cdots = ?$
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$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \cdots = ?$
【高校数学】階差数列の一般項～どこよりも丁寧に～ 3-9【数学B】
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle
a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}b_{k}
$
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$\displaystyle
a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}b_{k}
$
【群数列ニガテな人は見て！！】群数列はこれさえ出来れば大丈夫！〔数学、高校数学〕
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
2から順に偶数を並べた数列で、 各郡に含まれる数が、1、3、5$\cdots$個と なるような数列を考える。
2|4,6,8|10,12,14,16,18|20,$\cdots$
このとき、第n郡の初項と末項を求めよ
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2から順に偶数を並べた数列で、 各郡に含まれる数が、1、3、5$\cdots$個と なるような数列を考える。
2|4,6,8|10,12,14,16,18|20,$\cdots$
このとき、第n郡の初項と末項を求めよ
【等比数列の和はこれで一撃！】等比数列の和の公式は覚えなくていいです〔数学、高校数学〕
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
5,10,20,40,80$\cdots$
で表される等比数列の第n項までの和を求めよ。
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5,10,20,40,80$\cdots$
で表される等比数列の第n項までの和を求めよ。
【階差数列の攻略法はこれ！】階差数列の一般項の求め方を解説しました〔数学、高校数学〕
福田の数学〜千葉大学2022年理系第７問〜不定方程式の自然数解と漸化式で与えられた数列
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x,y$についての方程式
$x^2-6xy+y^2=9 \ldots\ldots(*)$
に関する次の問いに答えよ。
(1)$x,y$がともに正の整数であるような(*)の解のうち、yが最小であるものを
求めよ。
(2)数列$a_1,a_2,a_3,\ldots$が漸化式
$a_{n+2}-6a_{n+1}+a_n=0 (n=1,2,3,\ldots)$
を満たすとする。このとき、$(x,y)=(a_{n+1},a_n)$が(*)を満たすならば、
$(x,y)=(a_{n+2},a_{n+1})$も(*)を満たすことを示せ。
(3)(*)の整数解(x,y)は無数に存在することを示せ。
2022千葉大学理系過去問
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$x,y$についての方程式
$x^2-6xy+y^2=9 \ldots\ldots(*)$
に関する次の問いに答えよ。
(1)$x,y$がともに正の整数であるような(*)の解のうち、yが最小であるものを
求めよ。
(2)数列$a_1,a_2,a_3,\ldots$が漸化式
$a_{n+2}-6a_{n+1}+a_n=0 (n=1,2,3,\ldots)$
を満たすとする。このとき、$(x,y)=(a_{n+1},a_n)$が(*)を満たすならば、
$(x,y)=(a_{n+2},a_{n+1})$も(*)を満たすことを示せ。
(3)(*)の整数解(x,y)は無数に存在することを示せ。
2022千葉大学理系過去問
【超難問】2-1が難しすぎる世界
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
深読みしすぎた2-1の計算紹介動画です
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深読みしすぎた2-1の計算紹介動画です
あれですよ、あれ
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
これを解け.
$\dfrac{3}{1!+2!+3!}+\dfrac{4}{2!+3!+4!}+\dfrac{5}{3!+4!+5!}+･･････+\dfrac{2022}{2020!+2021!+2022!}$
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これを解け.
$\dfrac{3}{1!+2!+3!}+\dfrac{4}{2!+3!+4!}+\dfrac{5}{3!+4!+5!}+･･････+\dfrac{2022}{2020!+2021!+2022!}$
あれですよ、あれ
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ \dfrac{3}{1!+2!+3!}+ \dfrac{4}{2!+3!+4!}+\dfrac{5}{3!+4!+5!}+$
$･･････+\dfrac{2022}{2020!+2021!+2022!}$
これを解け.
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$ \dfrac{3}{1!+2!+3!}+ \dfrac{4}{2!+3!+4!}+\dfrac{5}{3!+4!+5!}+$
$･･････+\dfrac{2022}{2020!+2021!+2022!}$
これを解け.
【概要欄に問題掲載】大学入試問題#167 岡山県立大学2020 数列
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#岡山県立大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$S_n=2a_n-n^2$のとき
一般項$a_n$を求めよ。
出典：2020年岡山県立大学 入試問題
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$S_n=2a_n-n^2$のとき
一般項$a_n$を求めよ。
出典：2020年岡山県立大学 入試問題
！
単元：
#数Ⅰ#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\frac{(9!)^2 - (8!)^2} {(9!)^2 + (8!)^2} $
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$\frac{(9!)^2 - (8!)^2} {(9!)^2 + (8!)^2} $
20和歌山県教員採用試験 数列、整数問題
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#その他#数学(高校生)#数B#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \frac{15}{8},\displaystyle \frac{165}{11},\displaystyle \frac{315}{14},\displaystyle \frac{465}{17},・・・$の一般項$a_n$が自然数となるもののうち最大となるときの$n$を求めよ。
出典：2020年教育採用試験和歌山
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$\displaystyle \frac{15}{8},\displaystyle \frac{165}{11},\displaystyle \frac{315}{14},\displaystyle \frac{465}{17},・・・$の一般項$a_n$が自然数となるもののうち最大となるときの$n$を求めよ。
出典：2020年教育採用試験和歌山
❗️
福田の入試問題解説〜北海道大学2022年文系第２問〜数列の一般項の最小と部分和の最小
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\left\{a_n\right\}$を$a_1=-15$および
$a_{n+1}=a_n+\frac{n}{5}-2 (n=1,2,3,\ldots)$
を満たす数列とする。
(1)$a_n$が最小となる自然数nを全て求めよ。
(2)$\left\{a_n\right\}$の一般項を求めよ。
(3)$\sum_{k=1}^na_k$が最小となる自然数nを全て求めよ。
2022北海道大学文系過去問
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$\left\{a_n\right\}$を$a_1=-15$および
$a_{n+1}=a_n+\frac{n}{5}-2 (n=1,2,3,\ldots)$
を満たす数列とする。
(1)$a_n$が最小となる自然数nを全て求めよ。
(2)$\left\{a_n\right\}$の一般項を求めよ。
(3)$\sum_{k=1}^na_k$が最小となる自然数nを全て求めよ。
2022北海道大学文系過去問
階乗に関する問題 巣鴨高校（改）
単元：
#数学(中学生)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)#数B
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$1!+2!+3!+4!+5!+\cdots +18!+19!+20!$
を計算した結果の下2ケタを求めよ。
巣鴨高等学校（改）
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$1!+2!+3!+4!+5!+\cdots +18!+19!+20!$
を計算した結果の下2ケタを求めよ。
巣鴨高等学校（改）