福田次郎
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福田のおもしろ数学580〜100より小さい正の整数を50個選んだとき互いに素な整数が存在する証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$100$より小さい互いに異なる正の整数を
$50$個選んだとき、その中に
互いに素な$2$つの整数が必ず
存在することを証明して下さい。
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$100$より小さい互いに異なる正の整数を
$50$個選んだとき、その中に
互いに素な$2$つの整数が必ず
存在することを証明して下さい。
福田の数学〜上智大学2025TEAP利用型文系第1問〜放物線と円の位置関係と面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
座標平面上の放物線$C_1:y=x^2$と
円$C_2:x^2+(y-b)^2=a^2$を考える。
ただし、$a,b$は正の実数とする。
(1)$C_1$と$C_2$が共有点をちょうど$3$つもつための
必要十分条件は
$b=\boxed{ア}a$かつ$a\gt \dfrac{\boxed{イ}}{\boxed{ウ}}$である。
(2)$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で接するための
必要十分条件は
$b=\boxed{エ}a^2+\dfrac{\boxed{オ}}{\boxed{カ}}$かつ$a\gt \dfrac{\boxed{キ}}{\boxed{ク}}$である。
(ただし、$C_1$と$C_2$が共有点$P$で接するとは、
$P$における$C_1$の接線と$C_"$の接線が等しいことをいう)
また、このとき$2$つの接点のうち$x$座標が
正のものを$A(\alpha,\beta)$とすると、
$\beta=\boxed{ケ}a^2+\dfrac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}$である。
$A$における共通の接線の傾きが$\sqrt3$であるとき、
直線$y=\beta$の下側で、
$C_1$と$C_2$に囲まれた部分の面積は
$\dfrac{\boxed{シ}}{\boxed{ス}}\sqrt{\boxed{セ}}-\dfrac{\pi}{\boxed{ソ}}$である。
$2025$年上智大学TEAP利用型文系過去問題
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$\boxed{1}$
座標平面上の放物線$C_1:y=x^2$と
円$C_2:x^2+(y-b)^2=a^2$を考える。
ただし、$a,b$は正の実数とする。
(1)$C_1$と$C_2$が共有点をちょうど$3$つもつための
必要十分条件は
$b=\boxed{ア}a$かつ$a\gt \dfrac{\boxed{イ}}{\boxed{ウ}}$である。
(2)$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で接するための
必要十分条件は
$b=\boxed{エ}a^2+\dfrac{\boxed{オ}}{\boxed{カ}}$かつ$a\gt \dfrac{\boxed{キ}}{\boxed{ク}}$である。
(ただし、$C_1$と$C_2$が共有点$P$で接するとは、
$P$における$C_1$の接線と$C_"$の接線が等しいことをいう)
また、このとき$2$つの接点のうち$x$座標が
正のものを$A(\alpha,\beta)$とすると、
$\beta=\boxed{ケ}a^2+\dfrac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}$である。
$A$における共通の接線の傾きが$\sqrt3$であるとき、
直線$y=\beta$の下側で、
$C_1$と$C_2$に囲まれた部分の面積は
$\dfrac{\boxed{シ}}{\boxed{ス}}\sqrt{\boxed{セ}}-\dfrac{\pi}{\boxed{ソ}}$である。
$2025$年上智大学TEAP利用型文系過去問題
福田のおもしろ数学579〜自然対数の底が階乗の逆数の和で表せる証明
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a_n=\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{(1-x)^{n-1}}{(n-1)!}e^x dx$を利用して
$e=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots$
を証明して下さい。
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$a_n=\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{(1-x)^{n-1}}{(n-1)!}e^x dx$を利用して
$e=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots$
を証明して下さい。
福田の数学〜青山学院大学2025理工学部第5問〜鋭角三角形の条件と垂心の位置ベクトル
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#青山学院大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$\triangle OAB$は鋭角三角形であり、
$\vert \overrightarrow{OA}\vert=4,\vert \overrightarrow{OB}\vert=3$
を満たしている。
$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=k$とおくとき、以下の問いに答えよ。
(1)$k$のとり得る値の範囲を求めよ。
上で与えた$\triangle OAB$の頂点$A,B$から
それぞれの対辺に下ろした$2$本の垂線の交点
を$H$とし、辺$AB$を$2:1$に内分する点を$C$とする。
(2)$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$および$k$を用いて表せ。
(3)$3$点$O,H,C$が同一直線上にあるとき、
$k$の値と$\dfrac{OH}{OC}$を求めよ。
$2025$年青山学院大学理工学部過去問題
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$\boxed{5}$
$\triangle OAB$は鋭角三角形であり、
$\vert \overrightarrow{OA}\vert=4,\vert \overrightarrow{OB}\vert=3$
を満たしている。
$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=k$とおくとき、以下の問いに答えよ。
(1)$k$のとり得る値の範囲を求めよ。
上で与えた$\triangle OAB$の頂点$A,B$から
それぞれの対辺に下ろした$2$本の垂線の交点
を$H$とし、辺$AB$を$2:1$に内分する点を$C$とする。
(2)$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$および$k$を用いて表せ。
(3)$3$点$O,H,C$が同一直線上にあるとき、
$k$の値と$\dfrac{OH}{OC}$を求めよ。
$2025$年青山学院大学理工学部過去問題
福田のおもしろ数学578〜3乗根の和が0にはならない証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x,y,z$は相異なる実数とする。
$\sqrt[3]{x-y}+\sqrt[3]{y-z}+\sqrt[3]{z-x}\neq 0$
であることを証明して下さい。
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$x,y,z$は相異なる実数とする。
$\sqrt[3]{x-y}+\sqrt[3]{y-z}+\sqrt[3]{z-x}\neq 0$
であることを証明して下さい。
福田の数学〜青山学院大学2025理工学部第4問〜折れ線の長さの和が4となる点の軌跡と面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$xy$平面上に$2$つの定点$A(-1,0),B(1,0)$がある。
線分$AB$上の点$P$に対して、
$xy$平面上の点$Q$は以下の条件$(a),(b)$を
満たすとする。
$(a)$$P$と$Q$の$x$座標は等しく、
$Q$の$y$座標は正である。
$(b)$$AP+PQ+QB=4$
このとき、以下の問いに答えよ。
ただし、線分は両方の端点を含むものとする。
(1)$P$の座標を$(s,0)$とするとき、
$Q$の座標を$s$を用いて表せ。
(2)$P$が線分$AB$上を$A$から$B$まで動くとき、
$Q$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ。
(3)$P$が線分$AB$上を$A$から$B$まで動くとき、
線分$PQ$が通過する範囲の面積を求めよ。
$2025$年青山学院大学理工学部過去問題
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$\boxed{4}$
$xy$平面上に$2$つの定点$A(-1,0),B(1,0)$がある。
線分$AB$上の点$P$に対して、
$xy$平面上の点$Q$は以下の条件$(a),(b)$を
満たすとする。
$(a)$$P$と$Q$の$x$座標は等しく、
$Q$の$y$座標は正である。
$(b)$$AP+PQ+QB=4$
このとき、以下の問いに答えよ。
ただし、線分は両方の端点を含むものとする。
(1)$P$の座標を$(s,0)$とするとき、
$Q$の座標を$s$を用いて表せ。
(2)$P$が線分$AB$上を$A$から$B$まで動くとき、
$Q$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ。
(3)$P$が線分$AB$上を$A$から$B$まで動くとき、
線分$PQ$が通過する範囲の面積を求めよ。
$2025$年青山学院大学理工学部過去問題
福田のおもしろ数学577〜条件付きの最大を求める
単元：
#数Ⅰ#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$2x^2+3y^2+4z^2=1$のとき
$5x-6y+7z$の最大値と
そのときの$x,y,z$を求めよ。
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$2x^2+3y^2+4z^2=1$のとき
$5x-6y+7z$の最大値と
そのときの$x,y,z$を求めよ。
福田の数学〜青山学院大学2025理工学部第3問〜三角関数のグラフと面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$f(x)=\cos^3 x+\sin^3 x,g(x)=\sin x$とする。
(1)$0\leqq x \leqq \pi$において、
曲線$y=f(x)$の概形を描け。
ただし、凹凸は調べなくてよい。
(2)$0\leqq x \leqq \pi$において、
$2$曲線$y=f(x),y=g(x)$の共有点の座標を求めよ。
(3)$0\leqq x \leqq \pi$において、
$2$曲線$y=f(x),y=g(x)$で囲まれた図形の
面積$S$を求めよ。
$2025$年青山学院大学理工学部過去問題
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$\boxed{3}$
$f(x)=\cos^3 x+\sin^3 x,g(x)=\sin x$とする。
(1)$0\leqq x \leqq \pi$において、
曲線$y=f(x)$の概形を描け。
ただし、凹凸は調べなくてよい。
(2)$0\leqq x \leqq \pi$において、
$2$曲線$y=f(x),y=g(x)$の共有点の座標を求めよ。
(3)$0\leqq x \leqq \pi$において、
$2$曲線$y=f(x),y=g(x)$で囲まれた図形の
面積$S$を求めよ。
$2025$年青山学院大学理工学部過去問題
福田のおもしろ数学576〜累乗根の大小比較
単元：
#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a\gt 0,b \gt 0$のとき
$\dfrac{a+b}{2},\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}},\sqrt[3]{\dfrac{a^3+b^3}{2}}$
の大小を比較せよ。
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$a\gt 0,b \gt 0$のとき
$\dfrac{a+b}{2},\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}},\sqrt[3]{\dfrac{a^3+b^3}{2}}$
の大小を比較せよ。
福田の数学〜青山学院大学2025理工学部第2問〜虚数係数の2次方程式の解と正方形の頂点
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#青山学院大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
$i$を虚数単位とする。
複素数$z$についての方程式
$z^2-4iz=4\sqrt3 i \ \cdots (＊)$
の$2$つの解を$\alpha,\beta(\vert \alpha \vert \lt \vert \beta \vert )$とし、
$\alpha,\beta$が表す複素数平面上の点を
それぞれ$A,B$とする。
(1)方程式$(＊)$は
$(z-\boxed{ア}i)^2=\boxed{イ} \left(\cos \dfrac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}\pi+i\sin\dfrac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}\pi\right) \qquad \left(0\leqq \dfrac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}\pi \lt 2\pi \right)$
と表せるので
$\alpha=-\sqrt{\boxed{オ}}+\left(\boxed{カ}-\sqrt{\boxed{キ}}\right)i$である。
(2)線分$AB$の長さは$\boxed{ク}\sqrt{\boxed{ケ}}$である。
また、線分$AB$を対角線とする正方形の
残りの$2$頂点を表す複素数は
$-\sqrt{\boxed{コ}}+\left(\boxed{サ}+\sqrt{\boxed{シ}}\right)i$と
$\sqrt{\boxed{コ}}-\left(\boxed{サ}+\sqrt{\boxed{シ}}\right)i$である。
$2025$年青山学院大学理工学部過去問題
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$\boxed{2}$
$i$を虚数単位とする。
複素数$z$についての方程式
$z^2-4iz=4\sqrt3 i \ \cdots (＊)$
の$2$つの解を$\alpha,\beta(\vert \alpha \vert \lt \vert \beta \vert )$とし、
$\alpha,\beta$が表す複素数平面上の点を
それぞれ$A,B$とする。
(1)方程式$(＊)$は
$(z-\boxed{ア}i)^2=\boxed{イ} \left(\cos \dfrac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}\pi+i\sin\dfrac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}\pi\right) \qquad \left(0\leqq \dfrac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}\pi \lt 2\pi \right)$
と表せるので
$\alpha=-\sqrt{\boxed{オ}}+\left(\boxed{カ}-\sqrt{\boxed{キ}}\right)i$である。
(2)線分$AB$の長さは$\boxed{ク}\sqrt{\boxed{ケ}}$である。
また、線分$AB$を対角線とする正方形の
残りの$2$頂点を表す複素数は
$-\sqrt{\boxed{コ}}+\left(\boxed{サ}+\sqrt{\boxed{シ}}\right)i$と
$\sqrt{\boxed{コ}}-\left(\boxed{サ}+\sqrt{\boxed{シ}}\right)i$である。
$2025$年青山学院大学理工学部過去問題
福田のおもしろ数学575〜3乗根のついた2重根号の計算
単元：
#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}$
を簡単にして下さい。
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$\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}$
を簡単にして下さい。
福田の数学〜青山学院大学2025理工学部第1問〜さいころの目によって平面上を動く点に関する確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
$1$個のさいころを$4$回続けて投げる
反復試行において、
さいころの出る目を順に$X_1,X_2,X_3,X_4$として、
$xy$平面上の$4$点$P_1,P_2,P_3,P_4$を
以下のように定める。
$1$.原点$O$から$x$軸の正の向きに$X_1$だけ進んだ位置に
ある点を$P_1$とする。
$2$.$P_1$から$y$軸の正の向きに$X_2$だけ進んだ位置に
ある点を$P_2$とする。
$3$.$P_2$から$x$軸の負の向きに$X_3$だけ進んだ位置に
ある点を$P_3$とする。
$4$.$P_3$から$y$軸の負の向きに$X_4$だけ進んだ位置に
ある点を$P_4$とする。
例えば、さいころの出た目が順に$3,2,5,5$ならば
$P_1,P_2,P_3,P_4$の座標はそれぞれ
$(3,0),(3,2),(-2,2),(-2,-3)$となる。
(1)$P_4$が$O$と一致する確率は$\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}}$である。
(2)線分$OP_1$と線分$P_3P_4$が共有点をもつ確率は
$\dfrac{\boxed{エオ}}{\boxed{カキク}}$である。
ただし、線分は両方の端点を含むものとする。
(3)$P_4$の座標が$(3,3)$である確率は
$\dfrac{\boxed{ケ}}{\boxed{コサシ}}$である。
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$\boxed{1}$
$1$個のさいころを$4$回続けて投げる
反復試行において、
さいころの出る目を順に$X_1,X_2,X_3,X_4$として、
$xy$平面上の$4$点$P_1,P_2,P_3,P_4$を
以下のように定める。
$1$.原点$O$から$x$軸の正の向きに$X_1$だけ進んだ位置に
ある点を$P_1$とする。
$2$.$P_1$から$y$軸の正の向きに$X_2$だけ進んだ位置に
ある点を$P_2$とする。
$3$.$P_2$から$x$軸の負の向きに$X_3$だけ進んだ位置に
ある点を$P_3$とする。
$4$.$P_3$から$y$軸の負の向きに$X_4$だけ進んだ位置に
ある点を$P_4$とする。
例えば、さいころの出た目が順に$3,2,5,5$ならば
$P_1,P_2,P_3,P_4$の座標はそれぞれ
$(3,0),(3,2),(-2,2),(-2,-3)$となる。
(1)$P_4$が$O$と一致する確率は$\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}}$である。
(2)線分$OP_1$と線分$P_3P_4$が共有点をもつ確率は
$\dfrac{\boxed{エオ}}{\boxed{カキク}}$である。
ただし、線分は両方の端点を含むものとする。
(3)$P_4$の座標が$(3,3)$である確率は
$\dfrac{\boxed{ケ}}{\boxed{コサシ}}$である。
福田のおもしろ数学574〜sin(x)がxのn次多項式で表せるか
福田の数学〜早稲田大学2025商学部第3問〜三角形を一辺を軸として回転させたときの回転体の体積の最大
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
空間内の異なる$4$点
$A,B,C,D$が$AD=BC=2$、
$AB=CD=1$を満たし、線分$AD$と線分$BC$が
点$P$のみで交わり、$P$は$AD$と$BC$をそれぞれ
$AP:PD=s:(1-s),$
$BP:PC=t:(1-t) \ (0\lt s \lt t,0\lt t \lt 1)$
に内分しているとする。次の問いに答えよ。
(1)$s$を$t$を用いて表せ。
(2)$t$のとりうる値の範囲を求めよ。
(3)線分$BC$を軸にして$\triangle ABP$を$1$回転させるとき、
$\triangle ABP$の辺と内部が通過する部分の体積を
$V$とする。$V$の最大値を求めよ。
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
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$\boxed{3}$
空間内の異なる$4$点
$A,B,C,D$が$AD=BC=2$、
$AB=CD=1$を満たし、線分$AD$と線分$BC$が
点$P$のみで交わり、$P$は$AD$と$BC$をそれぞれ
$AP:PD=s:(1-s),$
$BP:PC=t:(1-t) \ (0\lt s \lt t,0\lt t \lt 1)$
に内分しているとする。次の問いに答えよ。
(1)$s$を$t$を用いて表せ。
(2)$t$のとりうる値の範囲を求めよ。
(3)線分$BC$を軸にして$\triangle ABP$を$1$回転させるとき、
$\triangle ABP$の辺と内部が通過する部分の体積を
$V$とする。$V$の最大値を求めよ。
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
福田の数学〜千葉大学2024年理系第8問〜4つの円の位置関係と極限
単元：
#数A#図形の性質#関数と極限#数列の極限#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
図は動画参照
半径$1$、中心$O$の円$C$がある。2つの円$C_1$と$C_2$が次の2つの条件を満たすとする。
・$C_1$と$C_2$はどちらも$C$に内接する。
・$C_1$と$C_2$は互いに外接する。
円$C_1,\ C_2$の中心をそれぞれ$D,\ E$とし、半径をそれぞれ$p,\ q$とする。$\theta= \angle{DOE}$とおく。
(1) $q$を$p$と$\theta$を用いて表せ。
(2) $p$を固定する。$\theta$が$0$に近づくとき、$\dfrac{q}{theta^2}$の極限値を求めよ。
(3) $p= \sqrt{2}-1$のとき、$q$の値を求めよ。
(4) $\theta$が$0$に近づくとき、$\dfrac{q}{p}$の極限値を求めよ。
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図は動画参照
半径$1$、中心$O$の円$C$がある。2つの円$C_1$と$C_2$が次の2つの条件を満たすとする。
・$C_1$と$C_2$はどちらも$C$に内接する。
・$C_1$と$C_2$は互いに外接する。
円$C_1,\ C_2$の中心をそれぞれ$D,\ E$とし、半径をそれぞれ$p,\ q$とする。$\theta= \angle{DOE}$とおく。
(1) $q$を$p$と$\theta$を用いて表せ。
(2) $p$を固定する。$\theta$が$0$に近づくとき、$\dfrac{q}{theta^2}$の極限値を求めよ。
(3) $p= \sqrt{2}-1$のとき、$q$の値を求めよ。
(4) $\theta$が$0$に近づくとき、$\dfrac{q}{p}$の極限値を求めよ。
福田のおもしろ数学573〜4次方程式の解と係数の関係
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a,b,c,d$は実数であり$4$次方程式
$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$
のすべての解が正の実数であるとき
$(b-a-c)^2 \geqq kd$
が常に成り立つ最大の$k$を求めよ。
また等号が成り立つのはどんなときか？
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$a,b,c,d$は実数であり$4$次方程式
$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$
のすべての解が正の実数であるとき
$(b-a-c)^2 \geqq kd$
が常に成り立つ最大の$k$を求めよ。
また等号が成り立つのはどんなときか？
福田の数学〜早稲田大学2025商学部第2問〜x軸に関する対称移動とy=√3xに関する対称移動の組合せで決まる点列
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
$a,b$を実数とする。
座標平面上の点$P_1,P_2,P_3,\cdots $は
以下の条件を満たしている。
すべての正の奇数$n$に対して、$P_n$と$P_{n+1}$は
$x$軸に関して対称な位置にある。
ただし、$P_n$が$x$軸上にあるときは$P_n=P_{n+1}$で
あるとする。
また、すべての正の偶数$n$に対して、
$P_n$と$P_{n+1}$は直線$y=ax+b$に関して対称な
位置にある。
ただし、$P_n$が直線$y=ax+b$上にあるときは
$P_n=P_{n+1}$であるとする。
(1)$a=0,b=1,P_1(0,0)$であるとき、
$P_{2025}$の座標を求めよ。
(2)$a=1,b=0,P_1(2,1)$であるとき、
$P_{2025}$の座標を求めよ。
(3)$a=\sqrt3,b=0,P_1(1,1)$であるとする。
$m,n$を正の整数とする。
$P_m$と$P_n$の距離の最大値を求めよ。
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
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$\boxed{2}$
$a,b$を実数とする。
座標平面上の点$P_1,P_2,P_3,\cdots $は
以下の条件を満たしている。
すべての正の奇数$n$に対して、$P_n$と$P_{n+1}$は
$x$軸に関して対称な位置にある。
ただし、$P_n$が$x$軸上にあるときは$P_n=P_{n+1}$で
あるとする。
また、すべての正の偶数$n$に対して、
$P_n$と$P_{n+1}$は直線$y=ax+b$に関して対称な
位置にある。
ただし、$P_n$が直線$y=ax+b$上にあるときは
$P_n=P_{n+1}$であるとする。
(1)$a=0,b=1,P_1(0,0)$であるとき、
$P_{2025}$の座標を求めよ。
(2)$a=1,b=0,P_1(2,1)$であるとき、
$P_{2025}$の座標を求めよ。
(3)$a=\sqrt3,b=0,P_1(1,1)$であるとする。
$m,n$を正の整数とする。
$P_m$と$P_n$の距離の最大値を求めよ。
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
福田のおもしろ数学572〜対称式に関する等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x+y+z=0$のとき次を証明して下さい。
$\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2} \times \dfrac{x^5+y^5+z^5}{5}=\dfrac{x^7+y^7+z^7}{7}$
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$x+y+z=0$のとき次を証明して下さい。
$\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2} \times \dfrac{x^5+y^5+z^5}{5}=\dfrac{x^7+y^7+z^7}{7}$
福田の数学〜早稲田大学2025商学部第1問(4)〜正九角形の頂点を結んでできる正三角形の個数
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#図形の性質#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(4)$P$を平面上の正九角形とする。
$P$の異なる$2$つの頂点を通る直線をすべて考える。
これら$36$本の直線のうちの$3$本により平面上で
囲まれてできる正三角形の総数は$\boxed{エ}$である。
ただし、互いに合同でも位置の異なるものは
異なる三角形として数える。
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
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$\boxed{1}$
(4)$P$を平面上の正九角形とする。
$P$の異なる$2$つの頂点を通る直線をすべて考える。
これら$36$本の直線のうちの$3$本により平面上で
囲まれてできる正三角形の総数は$\boxed{エ}$である。
ただし、互いに合同でも位置の異なるものは
異なる三角形として数える。
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
福田のおもしろ数学571〜漸化式で定まった数列の項に関する等式の証明
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a_0=1,a_1=3,a_{n+1}=\dfrac{{a_n}^2+1}{2} \ (n\geqq 1)$のとき
$\dfrac{1}{a_0+1}+\dfrac{1}{a_1+1}+\cdots +\dfrac{1}{a_n+1}+\dfrac{1}{a_{n+1}-1}=1$
を示せ。
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$a_0=1,a_1=3,a_{n+1}=\dfrac{{a_n}^2+1}{2} \ (n\geqq 1)$のとき
$\dfrac{1}{a_0+1}+\dfrac{1}{a_1+1}+\cdots +\dfrac{1}{a_n+1}+\dfrac{1}{a_{n+1}-1}=1$
を示せ。
福田の数学〜早稲田大学2025商学部第1問(3)〜定積分で表された関数方程式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(3)$m,n$を正の整数とする。
$n$次関数$f(x)$が次の等式を満たしているとき、
$f(x)=\boxed{ウ}$である。
$\displaystyle \int_{0}^{x} {f(t)}^{m-1} dt=(2x)^m f(x)$
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
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$\boxed{1}$
(3)$m,n$を正の整数とする。
$n$次関数$f(x)$が次の等式を満たしているとき、
$f(x)=\boxed{ウ}$である。
$\displaystyle \int_{0}^{x} {f(t)}^{m-1} dt=(2x)^m f(x)$
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
福田のおもしろ数学570〜無理式のシグマ計算
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \sum_{n=1}^{49} \dfrac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n^2-1}}}$を求めて下さい。
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$\displaystyle \sum_{n=1}^{49} \dfrac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n^2-1}}}$を求めて下さい。
福田の数学〜早稲田大学2025商学部第1問(2)〜3項間漸化式の解法
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)数列$\{a_n\}$が次の条件を満たしている。
$a_1=a_{2025}＝0,a_{n+1}-2a_n+a_{n-1}=-1 \ (n=2,3,4,\cdots)$
このとき、一般項$a_n$は$a_n=\boxed{イ}$である。
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
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$\boxed{1}$
(2)数列$\{a_n\}$が次の条件を満たしている。
$a_1=a_{2025}＝0,a_{n+1}-2a_n+a_{n-1}=-1 \ (n=2,3,4,\cdots)$
このとき、一般項$a_n$は$a_n=\boxed{イ}$である。
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
福田のおもしろ数学569〜奇数回握手をした人の人数は偶数か
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
すべての人が何人かの人と握手したとする。
このとき「奇数回握手をした人」を数えると
その人数は必ず偶数になることを
証明してください。
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すべての人が何人かの人と握手したとする。
このとき「奇数回握手をした人」を数えると
その人数は必ず偶数になることを
証明してください。
福田の数学〜早稲田大学2025商学部第1問(1)〜方程式の実数解の個数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)正の実数$a$に対して、円$x^2+(y-a)^2=a^2$と
曲線$y=x^3$がちょうど$2$つの共有点をもつとき、
$a=\boxed{ア}$である。
$2025$年早稲田大学商学部過去問
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$\boxed{1}$
(1)正の実数$a$に対して、円$x^2+(y-a)^2=a^2$と
曲線$y=x^3$がちょうど$2$つの共有点をもつとき、
$a=\boxed{ア}$である。
$2025$年早稲田大学商学部過去問
福田のおもしろ数学568〜平面上の任意の点が2つの有理点を結んだ直線上にあるか
単元：
#平面上のベクトル#平面上の曲線#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x,y$座標がともに有理数である平面上の点を
有理点と呼ぶ。
平面上のすべての点は$2$つの有理点で定める
直線上に必ず存在するだろうか？
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$x,y$座標がともに有理数である平面上の点を
有理点と呼ぶ。
平面上のすべての点は$2$つの有理点で定める
直線上に必ず存在するだろうか？
福田の数学〜早稲田大学2025教育学部第4問〜共有点の個数と面積計算
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$k$は実数とする。
曲線$C:y=(x^3-x+2)e^{-x}$と直線$y=k$との
共有点の偶数を$f(k)$で表す。次の問いに答えよ。
ただし、必要ならば自然数$n$に対し
$\displaystyle \lim_{x\to\infty} x^n e^{-x}=0$が成り立つことは
説明なしに用いてもよい。
(1)$k$が実数全体を動くとき、
$f(k)$の最大値の最小値を求めよ。
(2)$f(k)=2$を満たす$k$の値の範囲を求めよ。
(3)$\alpha$を正の実数とする。
曲線$C,x$軸,$y$軸,および直線$x=\alpha$で囲まれる
部分の面積を$\alpha$を用いて表せ。
$2025$年早稲田大学教育学部過去問題
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$\boxed{4}$
$k$は実数とする。
曲線$C:y=(x^3-x+2)e^{-x}$と直線$y=k$との
共有点の偶数を$f(k)$で表す。次の問いに答えよ。
ただし、必要ならば自然数$n$に対し
$\displaystyle \lim_{x\to\infty} x^n e^{-x}=0$が成り立つことは
説明なしに用いてもよい。
(1)$k$が実数全体を動くとき、
$f(k)$の最大値の最小値を求めよ。
(2)$f(k)=2$を満たす$k$の値の範囲を求めよ。
(3)$\alpha$を正の実数とする。
曲線$C,x$軸,$y$軸,および直線$x=\alpha$で囲まれる
部分の面積を$\alpha$を用いて表せ。
$2025$年早稲田大学教育学部過去問題
福田のおもしろ数学567〜3変数の不定方程式の整数解
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$3+x+y+z=xyz$
を満たす正の整数の組$(x,y,z)$を
すべて求めて下さい。
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$3+x+y+z=xyz$
を満たす正の整数の組$(x,y,z)$を
すべて求めて下さい。
福田の数学〜早稲田大学2025教育学部第3問〜楕円と接線
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
座標平面上で、
点$H(0,2\sqrt2)$から楕円$C:x^2+2y^2=8$へ引いた
$2$つの接線を$L_1,L_2$とし、$L_1,L_2$と$C$との
共有点をそれぞれ$P_1,P_2$とする。
ただし、$P_1$の$x$座標は正であるとする。
次の問いに答えよ。
(1)直線$L_1$と$L_2$それぞれの傾きを求めよ。
(2)$2$点$P_1,P_2$を通る直線を$L_3$とする。
直線$L_3$と楕円$C$で囲まれた$2$つの部分のうち、
直線$L_3$の上側にある方の面積を求めよ。
$2025$年早稲田大学教育学部過去問題
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$\boxed{3}$
座標平面上で、
点$H(0,2\sqrt2)$から楕円$C:x^2+2y^2=8$へ引いた
$2$つの接線を$L_1,L_2$とし、$L_1,L_2$と$C$との
共有点をそれぞれ$P_1,P_2$とする。
ただし、$P_1$の$x$座標は正であるとする。
次の問いに答えよ。
(1)直線$L_1$と$L_2$それぞれの傾きを求めよ。
(2)$2$点$P_1,P_2$を通る直線を$L_3$とする。
直線$L_3$と楕円$C$で囲まれた$2$つの部分のうち、
直線$L_3$の上側にある方の面積を求めよ。
$2025$年早稲田大学教育学部過去問題
福田のおもしろ数学566〜条件付き不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a\gt 0,b\gt 0,c\gt 0,abc=1$のとき、
$\dfrac{a}{ab+1}+\dfrac{b}{bc+1}+\dfrac{c}{ca+1} \geqq \dfrac{3}{2}$
を証明して下さい。
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$a\gt 0,b\gt 0,c\gt 0,abc=1$のとき、
$\dfrac{a}{ab+1}+\dfrac{b}{bc+1}+\dfrac{c}{ca+1} \geqq \dfrac{3}{2}$
を証明して下さい。