福田次郎

福田のおもしろ数学386〜ルートの付いた不定方程式の解

単元： #整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
a,b,cは0以上の整数

\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{2026}

を満たす(a,b,c)の組をすべて求めよ。

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福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜千葉大学理系2020第1問〜確率の基本性質

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
Aさんは1が書かれたカードを1枚、2が書かれたカードを2枚、4が書かれたカードを1枚、計4枚を無作為に横一列に並べて4桁の数Xを作る。Bさんは2が書かれたカードを2枚、3が書かれたカードを2枚、計4枚を無作為に横一列に並べて4桁の数Yを作る。

(1) X が 4 の 倍 数 と な る 確 率 を 求 め よ 。 (2) X < Y と な る 確 率 を 求 め よ 。

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福田のおもしろ数学385〜1^2025+2^2025+…+2024^2025を45で割った余り

単元： #数A#整数の性質#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1^{2025} + 2^{2025} + \dots + 2024^{2025}

を

45

で割った余り
を求めてください。

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福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜東京慈恵会医科大学医学部2020第4問〜正四面体の切り口の面積の最小値

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#東京慈恵会医科大学#東京慈恵会医科大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
oを原点とするxyz 空間内に、xy平面上の放物線y=x²をy軸のまわりに回転してできる曲面Sと、正四面体OABCがあり、条件「3頂点A, B, CはS上にある」をみたしている。このとき、次の問いに答えよ。
(1)正四面体 OABCの1辺の長さを求めよ。
(2)正四面体 OABCが条件をみたしながら動くとき、xy平面による正四面体OABCの切り口の面積の最小値を求めよ。

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福田のおもしろ数学384〜整数部分と小数部分を含む連立方程式

単元： #数Ⅰ#数と式#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
[a]はaの整数部分、{a}はaの小数部分
連立方程式
x+[y]+{z}=2025.1… ①
[x]+{y}+z=2025.2… ②
{x}+y+[z]=2025.3… ③

を解いて下さい。

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難関国立大学入試問題解説アプリの紹介〜東京大学・京都大学・北海道大学・東北大学・筑波大学・千葉大学・一橋大学・東京工業大学・東京医科歯科大学・浜松医科大学・名古屋大学・大阪大学・神戸大学・九州大学

単元： #その他#参考書紹介

指導講師：福田次郎

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福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜東京慈恵会医科大学医学部2020第3問〜有限小数の性質と論証

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
次の問いに答えよ。
(1) a, b, nは自然数の定数で、bは4の倍数ではなく、n

\geq

2 とする。aが

2^{n}

の倍数であるが、

2^{n + 1}

の倍数ではないとき、a(a+b), 2a(2a + b) のいずれかは、

2^{n + 1}

の倍数であるが、

2^{n + 2}

の倍数ではないことを示せ。
(2) bは自然数の定数で、4の倍数ではないとする。3以上の任意の自然数nに対して、次を満たす自然数

a_{n}

が存在することを示せ。

\frac{a_{n} (a_{n} + b)}{2^{2^{n}}}

は、小数第n位の数字が5である小数第n位までの有限小数で表される。

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福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜東京慈恵会医科大学医学部2020第2問〜関数列の極限

単元： #大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東京慈恵会医科大学#東京慈恵会医科大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

p

を

2

以上の自然数の定数とする。

n

=

2

,

3

,

4

...に対して、関数

f_{n} (x)

(n > 0)

を

f_{n} (x) = (1 + \frac{x}{n}) (1 + \frac{x}{n + 1}) \cdot \cdot \cdot (1 + \frac{x}{p n})

で定める。例えば

p

=

2

のとき

f_{2} (x) = (1 + \frac{x}{2}) (1 + \frac{x}{3}) (1 + \frac{x}{4})

f_{3} (x) = (1 + \frac{x}{3}) (1 + \frac{x}{4}) (1 + \frac{x}{5}) (1 + \frac{x}{6})

である。

f (x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (x)

(n > 0)

とおくとき、次の問に答えよ。

(1)

t

≧

0

のとき、不等式

\frac{t}{1 + t}

≦

\log (1 + t)

≦

t

が成り立つことを示せ。ただし、対数は自然対数とする。

(2)

f (x)

を求めよ。

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福田のおもしろ数学383〜関数方程式

単元： #数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

0

以上の整数の集合を

N

_{0}

とする。

f :

N

_{0}

→

N

_{0}

が任意の

x ≧ y \in

N

_{0}

で

f (x^{2}) - f (y^{2}) = f (x + y) f (x - y)

を満たす。

f (x)

を求めよ。

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福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜東京慈恵会医科大学医学部2020第2問〜関数列の極限

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#東京慈恵会医科大学#東京慈恵会医科大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

A

には赤玉

3

個、白玉

1

個、袋

B

には赤玉

1

個、白玉

3

個が入っている。
「袋

A

から

2

個の玉を取り出して袋

B

に入れ、次に袋

B

から

2

個の玉を取り出して袋

A

に入れる」という操作を繰り返す。

1

回の操作の後、袋

A

に白玉が

2

個以上ある確率は

ア

、

2

回の操作の後、袋

A

の中が白玉だけになる確率は

イ

である。

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福田のおもしろ数学382〜整式が素数となる自然数nの値

単元： #数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

n^{8} + n + 1

が素数となる

n

をすべて求めて下さい。

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福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜東京慈恵会医科大学医学部2020第1問〜確率の基本性質

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#東京慈恵会医科大学#東京慈恵会医科大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

A

には赤玉

3

個、白玉

1

個、袋

B

には赤玉

1

個、白玉

3

個が入っている。
「袋

A

から

2

個の玉を取り出して袋

B

に入れ、次に袋

B

から

2

個の玉を取り出して袋

A

に入れる」という操作を繰り返す。

1

回の操作の後、袋

A

に白玉が

2

個以上ある確率は

（ア）

、

2

回の操作の後、袋

A

の中が白玉だけになる確率は

（イ）

である。

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福田のおもしろ数学381〜三角形に内接する長方形と円の面積和の最大値

単元： #数Ⅰ#２次関数#2次関数とグラフ#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

△

A B C

は二等辺が

a

の直角二等辺三角形である。また、図のように
三角形の内部に長方形と円を配置する。
図の長方形と円の面積和の最大値は？

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福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜慶應義塾大学理工学部2020第5問〜平面ベクトルと面積比

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

平行四辺形

A B C D

において、

A B = 2, B C = 3

とし、対角線

A C

の長さを

4

とする。辺

A B, B C, C D, D A

上にそれぞれ点

E, F, G, H

を

A E = B F = C G = D H = x

を満たすようにとる。ただし、

x

は

0 x < 2

の範囲を動くとする。さらに、対角線

A C

上に点

P

を

A P = x^{2}

を満たすようにとる。以下では、平行四辺形

A B C D

の面積を

S

とする。
(1)

△

A E P

の面積を

T_{1}

とする。

\frac{T_{1}}{S}

は、

x

を用いて表すと

テ

となる。
(2)

△

E F P

の面積を

T_{2}

とする。

\frac{T_{2}}{S}

は、

x =

ト

のとき最大値

ナ

をとる。
(3)

△

G H P

の面積を

T_{3}

とする。

\frac{T_{3}}{S}

となるのは

x =

ニ

のときである。
(4) 点

P

が線分

E H

上にあるのは

x =

ヌ

のときである。

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福田のおもしろ数学380〜定積分の計算

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{π / 2} l o g (c o s x) d x

を計算せよ。

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福田のおもしろ数学185〜8枚の硬貨から1枚の偽物を天秤を使って見抜こう

単元： #算数(中学受験)#推理と論証#推理と論証

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
8枚の区別のつかない硬貨のなかに、本物よりも軽い偽物が1枚混じっている。
おもりなしの天秤を使って偽物を見つけ出すためには、最小で南海天秤を使えばよいでしょうか。

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福田の数学〜立教大学2024年理学部第1問(2)〜17のn乗の1の位

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(2)

17^{n}

の1の位の数が1になる最小の自然数

n

は

イ

である。また、

17^{555}

の1の位の数を求めると、

ウ

である。

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福田のおもしろ数学184〜2変数関数の最大最小

単元： #数Ⅰ#数と式#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
0≦

x

≦1,　0≦

y

≦1のとき、2変数関数

f (x, y)

=

5 x y - 2 (x + y) + 1

の最大値

M

、最小値

m

を求めよ。

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福田の数学〜立教大学2024年理学部第1問(1)〜三角方程式の基本

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)実数

x

が

3 \cos x

=

\sin^{2} x

　を満たすとき、

\cos x

の値は

ア

である。

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福田のおもしろ数学183〜xが−1と1の間の数のときにnx^nが0に収束することの証明

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
|

x

|＜1　のとき、

lim_{n \to \infty} n x^{n}

=0　を示せ。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第6問〜3次関数の増減と最大値と面積

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

6

a

,

b

,

p

を実数とする。関数

f (x)

=

x^{3}

+

a x^{2}

+

b x

+17　は

x

=

p

で極大値、

x

=

- 4 p

で極小値をとり、

f (- 2 p)

=-17　を満たすとする。
(1)

a

,

b

,

p

の値、および

f (x)

の極大値

M

、極大値

m

を、それぞれ求めよ。
(2)(1)で求めた

a

,

b

および0≦

t

≦5　を満たす実数

t

に対して、区間0≦

x

≦

t

　における|

f (x)

|の最大値を

g (t)

とする。

t

の値について場合分けをして、それぞれの場合に

g (t)

を求めよ。
(3)(2)で求めた

g (t)

に対して、定積分

I

=

\int_{0}^{5} g (t) d t

　を求めよ。

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福田のおもしろ数学182〜2x3x5x7x11x13の10乗の桁数

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

(2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13)^{10}

　の10進法での桁数を求めよ。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第5問〜ある対数とそれを超えない最大の整数

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#整数の性質#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

x

を正の実数とする。

m

と

n

は、それぞれ

m

≦

\log_{4} \frac{x}{8}

,　

n

≦

\log_{2} \frac{8}{x}

　を満たす最大の整数とし、さらに、

α

=

\log_{4} \frac{x}{8}

－

m

,　

β

=

\log_{2} \frac{8}{x}

－

n

　とおく。
(1)

\log_{2} x

を、

m

と

α

を用いて表せ。
(2)

2 α

+

β

　の取りうる値を全て求めよ。
(3)

n

=

m

－1　のとき、

m

と

n

の値を求めよ。
(4)

n

=

m

－1　となるために

x

が満たすべき必要十分条件を求めよ。

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福田のおもしろ数学181〜連続する4つの自然数の積は平方数にならないことの証明

単元： #数学(中学生)#中３数学#式の計算（展開、因数分解）

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
連続する4つの自然数の積は平方数にならないことを証明しなさい。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第4問〜正四面体の位置ベクトルと面積体積

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

p

,

q

を正の実数とし、Oを原点とする座標空間内に3点A(3,

- \sqrt{3}

,0),B(3,

\sqrt{3}

,0),C(

p

,0,

q

)をとる。ただし、四面体OABCは1辺の長さが

2 \sqrt{3}

の正四面体であるとする。
(1)

p

および

q

の値を求めよ。
以下、点

(\frac{3}{2}, 0, \frac{q}{2})

に関してO,A,B,Cと対称な点を、それぞれD,E,F,Gとする。
(2)直線DGと平面ABCとの交点Hの座標を求めよ。
(3)直線CBと平面DEGとの交点をI、直線CAと平面DFGとの交点をJとする。
四角形CJHIの面積

S

と四角錐G－CJHIの体積

V

を、それぞれ求めよ。

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福田のおもしろ数学180〜3行の表に書かれた数値の規則性を考える

単元： #算数(中学受験)#計算と数の性質#規則性（周期算・方陣算・数列・日暦算・N進法）

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
次の表の空欄を埋めよ。

\begin{array}{ccccccccccc} 1 & 3 & 9 & 3 & 11 & 18 & 13 & 19 & 27 & 55 \\ 2 & 6 & 2 & 7 & 15 & 8 & 17 & 24 & 34 & 29 \\ 3 & 1 & 5 & 12 & 5 & 13 & 21 & 21 & 23 & 30 \end{array}

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第3問〜指数関数で定義された数列の漸化式

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#指数関数#対数関数#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

実数

a

に対して

f (a)

=

\frac{1}{2} (2^{a} - 2^{- a})

とおく。また、

A

=

2^{a}

とする。
(1)等式

{(A - \frac{1}{A})}^{3}

=

ア {(A - \frac{1}{A})}^{3}

－

イ (A - \frac{1}{A})

　より、実数

a

に対して

{f (a)}^{3}

=

\frac{ウ}{エ} f (3 a)

－

\frac{オ}{カ} f (a)

　...①が成り立つ。
(2)実数

a

,

b

に対して

f (a)

=

b

が成り立つならば、

A

=

2^{a}

は2次方程式

A^{2}

－

キ b A

－

ク

=0
を満たす。

2^{a}

>0より、

a

は

b

を用いて

a

=

\log_{2} (ケ b + \sqrt{b^{2} + コ})

　...②
と表せる。つまり、任意の実数bに対して

f (a)

=

b

となる実数

a

が、ただ1つに定まる。
以下、数列

{a_{n}}

に対して

f (a_{n})

=

b_{n}

　(

n

=1,2,3,...)で定まる数列

{b_{n}}

が、関係式

4 b_{n + 1}^{3}

+

3 b_{n + 1}

－

b_{n}

=0　(

n

=1,2,3,...)　...③
を満たすとする。
(3)①と③から

f (サ a_{n + 1})

=

f (a_{n})

　(

n

=1,2,3,...)となるので、(2)より、

a_{n}

=

\frac{a_{1}}{シ^{n - p}}

　(

n

=1,2,3,...)が得られる。ここで、

p

=

ス

である。
(4)

n

≧2に対して、

S_{n}

=

\sum_{k = 2}^{n} 3^{k - 1} b_{k}^{3}

　とおく。

c_{n}

=

3^{n} b_{n}

　(

n

=1,2,3,...)で定まる数列

{c_{n}}

の階差数列を用いると、③より、

S_{n}

=

\frac{セ}{ソ} b_{1}

－

\frac{タ^{n}}{チ} b_{n}

　(

n

=2,3,4,...)
となる。ゆえに、

b_{1}

=

\frac{4}{3} S_{5}

－108　が成り立つならば

a_{1}

=

ツ テ ト \log_{2} ナ

　である。

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福田のおもしろ数学179〜文字係数の1次不等式の解

単元： #数Ⅰ#数と式#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
次の不等式を解いてください。

a x

>

b

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第2問〜確率の基本性質と非復元抽出の条件付き確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

袋の中に、1から9までの番号を重複なく1つずつ記入したカードが9枚入っている。A,B,C,Dの4人のうちDがさいころを投げて、1の目が出たらAが、2または3の目が出たらBが、その他の目が出たらCが、袋の中からカードを1枚引き、カードに記入された番号を記録することを試行という。ただし、1度引いたカードは袋に戻さない。この試行を3回続けて行う。また、1回目の試行前のA,B,Cの点数をそれぞれ0としたうえで、以下の(a),(b)に従い、各回の試行後のA,B,Cの点数を定める。
(a)各回の試行においてカードを引いた人は、その回の試行前の自分の点数に、その回の試行で記録した番号を加え、試行後の点数とする。
(b)各回の試行においてカードを引いていない人は、その回の試行前の自分の点数を、そのまま試行後の点数とする。
(1)1回目の試行後、Bの点数が3の倍数となる確率は

\frac{ア}{イ}

である。ただし、0はすべての整数の倍数である。
(2)2回目の試行後、A,B,Cのうち、1人だけの点数が0である確率は

\frac{ウ エ}{オ カ}

である。
(3)2回目の試行後のAの点数が5以上となる確率は

\frac{キ ク}{ケ コ}

である。
(4)2回目の試行後のAの点数が5以上であるとき、3回目の試行後のA,B,Cの点数がすべて5以上である条件付き確率は

\frac{サ シ}{ス セ ソ}

である。

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福田のおもしろ数学178〜ある等式を満たす100個の変数のうちのひとつの変数の最大値

単元： #数Ⅰ#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + . . . + a_{100}^{2}}{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{100}}

=100　を満たす実数

a_{1}

の最大値を求めてください。

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福田のおもしろ数学386〜ルートの付いた不定方程式の解

福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜千葉大学理系2020第1問〜確率の基本性質

福田のおもしろ数学385〜1^2025+2^2025+…+2024^2025を45で割った余り

福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜東京慈恵会医科大学医学部2020第4問〜正四面体の切り口の面積の最小値

福田のおもしろ数学384〜整数部分と小数部分を含む連立方程式

難関国立大学入試問題解説アプリの紹介〜東京大学・京都大学・北海道大学・東北大学・筑波大学・千葉大学・一橋大学・東京工業大学・東京医科歯科大学・浜松医科大学・名古屋大学・大阪大学・神戸大学・九州大学

福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜東京慈恵会医科大学医学部2020第3問〜有限小数の性質と論証

福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜東京慈恵会医科大学医学部2020第2問〜関数列の極限

福田のおもしろ数学383〜関数方程式

福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜東京慈恵会医科大学医学部2020第2問〜関数列の極限

福田のおもしろ数学382〜整式が素数となる自然数nの値

福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜東京慈恵会医科大学医学部2020第1問〜確率の基本性質

福田のおもしろ数学381〜三角形に内接する長方形と円の面積和の最大値

福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜慶應義塾大学理工学部2020第5問〜平面ベクトルと面積比

福田のおもしろ数学380〜定積分の計算

福田のおもしろ数学185〜8枚の硬貨から1枚の偽物を天秤を使って見抜こう

福田の数学〜立教大学2024年理学部第1問(2)〜17のn乗の1の位

福田のおもしろ数学184〜2変数関数の最大最小

福田の数学〜立教大学2024年理学部第1問(1)〜三角方程式の基本

福田のおもしろ数学183〜xが−1と1の間の数のときにnx^nが0に収束することの証明

福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第6問〜3次関数の増減と最大値と面積

福田のおもしろ数学182〜2x3x5x7x11x13の10乗の桁数

福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第5問〜ある対数とそれを超えない最大の整数

福田のおもしろ数学181〜連続する4つの自然数の積は平方数にならないことの証明

福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第4問〜正四面体の位置ベクトルと面積体積

福田のおもしろ数学180〜3行の表に書かれた数値の規則性を考える

福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第3問〜指数関数で定義された数列の漸化式

福田のおもしろ数学179〜文字係数の1次不等式の解

福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第2問〜確率の基本性質と非復元抽出の条件付き確率

福田のおもしろ数学178〜ある等式を満たす100個の変数のうちのひとつの変数の最大値