福田次郎
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福田の数学〜一橋大学2025文系第3問〜定積分で表された方程式の解の個数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#一橋大学#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
等式
$6\displaystyle \int_{0}^{2} \vert x^2-a \vert dx-a^2-2a+k$
が成り立つ実数$a$がちょうど$4$つ存在するような
実数$k$の範囲を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{3}$
等式
$6\displaystyle \int_{0}^{2} \vert x^2-a \vert dx-a^2-2a+k$
が成り立つ実数$a$がちょうど$4$つ存在するような
実数$k$の範囲を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田のおもしろ数学490〜3乗根混じりの2重根号を解消
単元：
#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\sqrt[3]{1342\sqrt{167}+2005}$
の$2$重根号を解消せよ。
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$\sqrt[3]{1342\sqrt{167}+2005}$
の$2$重根号を解消せよ。
福田の数学〜一橋大学2025文系第2問〜円と円の交点を通る直線に対称な点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
座標平面上に原点を中心とす半径$3$の円$C_1$がある。
また、直線$x=2$上の点$P$を中心とする半径$1$の円を
$C_2$とする。
(1)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つような$P$の
$y$座標の範囲を求めよ。
(2)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つとき、
その$2$つの共有点を通る直線を$\ell$とする。
$\ell$に関して$P$と対称な位置にある点を$Q$とする。
ただし、$P$が$\ell$上にあるときは$Q=P$とする。
$P$の$y$座標が(1)で求めた範囲を動くとき、
点$Q$の軌跡を求め、図示せよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{2}$
座標平面上に原点を中心とす半径$3$の円$C_1$がある。
また、直線$x=2$上の点$P$を中心とする半径$1$の円を
$C_2$とする。
(1)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つような$P$の
$y$座標の範囲を求めよ。
(2)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つとき、
その$2$つの共有点を通る直線を$\ell$とする。
$\ell$に関して$P$と対称な位置にある点を$Q$とする。
ただし、$P$が$\ell$上にあるときは$Q=P$とする。
$P$の$y$座標が(1)で求めた範囲を動くとき、
点$Q$の軌跡を求め、図示せよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田のおもしろ数学489〜3本の光線のなす角と三角関数
単元：
#数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$3$本の光線が原点$O$から空間へ発射された。
$2$本ずつのなす角が
$\alpha,\beta,\gamma(0° \lt \alpha \leqq \beta \leqq \gamma \leqq 180°)$
であり、この$3$本の光線は同一平面上にない。
$\sin\dfrac{\alpha}{2}+\sin\dfrac{\beta}{2} \gt \sin\dfrac{\gamma}{2}$
を証明せよ。
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$3$本の光線が原点$O$から空間へ発射された。
$2$本ずつのなす角が
$\alpha,\beta,\gamma(0° \lt \alpha \leqq \beta \leqq \gamma \leqq 180°)$
であり、この$3$本の光線は同一平面上にない。
$\sin\dfrac{\alpha}{2}+\sin\dfrac{\beta}{2} \gt \sin\dfrac{\gamma}{2}$
を証明せよ。
福田の数学〜一橋大学2025文系第1問〜正の約数の個数と関数の最大値
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
正の整数$n$に対し、$n$の正の約数の個数を
$d(n)$とする。
たとえば、$6$の正の約数は$1,2,3,6$の$4$個なので、
$d(6)=4$である。また、
$f(n)=\dfrac{d(n)}{\sqrt n}$
とする。
(1)$f(2025)$を求めよ。
(2)素数$p$と正の整数$k$の組で
$f(p^k)\leqq f(p^{k+1})$を満たすものを求めよ。
(3)$f(n)$の最大値と、そのときの$n$を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
正の整数$n$に対し、$n$の正の約数の個数を
$d(n)$とする。
たとえば、$6$の正の約数は$1,2,3,6$の$4$個なので、
$d(6)=4$である。また、
$f(n)=\dfrac{d(n)}{\sqrt n}$
とする。
(1)$f(2025)$を求めよ。
(2)素数$p$と正の整数$k$の組で
$f(p^k)\leqq f(p^{k+1})$を満たすものを求めよ。
(3)$f(n)$の最大値と、そのときの$n$を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田のおもしろ数学488〜関数方程式
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数から実数への関数$f(x)$が
任意の実数$x,y$に対して
$f(x+f(y))=x+f(f(y))$
を満たしている。また$f(2025)=2026$である。
$f(x)$を求めよ。
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実数から実数への関数$f(x)$が
任意の実数$x,y$に対して
$f(x+f(y))=x+f(f(y))$
を満たしている。また$f(2025)=2026$である。
$f(x)$を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第5問〜データの分析、平均と分散
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#データの分析#データの分析#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
(1)$20$人の生徒に、$5$点満点の小テストを行った。
次の度数分布表は全員のテストの得点である。
この小テストの得点の平均値は$\boxed{ハ}$、
分散は$\boxed{ヒ}$である。
また、生徒のうちの$1$名の得点が$\boxed{フ}$点から
$\boxed{ヘ}$点に変更された場合、
生徒全員の得点の平均値は$3$、分散は$2$となる。
(2)確率変数$X$と$Y$は独立であり、$X$の平均が$m_x$、
分散が$\upsilon_x$であるとする。
また、$a,b$は定数とする。このとき、$aX+bY$の
平均は$\boxed{ホ}$、分散は$\boxed{マ}$である。
(3)確率変数$X_1,X_2,\cdots,X_n,X_{n+1}$は互いに
独立であり、
$T_n=\dfrac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots + X_n)$
の平均が$m$、分散が$\upsilon$であるとする。
$X_{n+1}$の平均が$m'$、分散が$\upsilon'$であるとき、
$T_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}(X_1+X_2+\cdots +X_n+X_{n+1})$
の平均は$\boxed{ミ}$、分散は$\boxed{ム}$である。
図は動画内参照
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{5}$
(1)$20$人の生徒に、$5$点満点の小テストを行った。
次の度数分布表は全員のテストの得点である。
この小テストの得点の平均値は$\boxed{ハ}$、
分散は$\boxed{ヒ}$である。
また、生徒のうちの$1$名の得点が$\boxed{フ}$点から
$\boxed{ヘ}$点に変更された場合、
生徒全員の得点の平均値は$3$、分散は$2$となる。
(2)確率変数$X$と$Y$は独立であり、$X$の平均が$m_x$、
分散が$\upsilon_x$であるとする。
また、$a,b$は定数とする。このとき、$aX+bY$の
平均は$\boxed{ホ}$、分散は$\boxed{マ}$である。
(3)確率変数$X_1,X_2,\cdots,X_n,X_{n+1}$は互いに
独立であり、
$T_n=\dfrac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots + X_n)$
の平均が$m$、分散が$\upsilon$であるとする。
$X_{n+1}$の平均が$m'$、分散が$\upsilon'$であるとき、
$T_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}(X_1+X_2+\cdots +X_n+X_{n+1})$
の平均は$\boxed{ミ}$、分散は$\boxed{ム}$である。
図は動画内参照
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田のおもしろ数学487〜三角関数のシグマ計算の必殺テクニック
単元：
#数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
任意の自然数$m$に対して
$\displaystyle \sum_{k=1}^{m} (-1)^k \cos \dfrac{k\pi}{2m+1}=-\dfrac{1}{2}$
が成り立つことを証明して下さい。
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任意の自然数$m$に対して
$\displaystyle \sum_{k=1}^{m} (-1)^k \cos \dfrac{k\pi}{2m+1}=-\dfrac{1}{2}$
が成り立つことを証明して下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第4問〜放物線と接線の囲む面積と内積の最小値
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#図形と方程式#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$k$を実数の定数とし、
座標平面上に$2$点$A(1,-3),B(-1,k)$をとる。
また、放物線$y=x^2$を$C$とする。
以下に答えなさい。
(1)点$A$から曲線$C$に引いた$2$本の接線のうち、
傾きが正の接線を$\ell_1$とし、
傾きが負の接線を$\ell_2$とするとき、
直線$\ell_1$の方程式は$y=\boxed{テ}$であり、
直線$\ell_2$の方程式は$y=\boxed{ト}$である。
また、$2$直線$\ell_1,\ell_2$のなす角を$\theta$とすると、
$\tan\theta=\boxed{ナ}$である。
ただし、$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$とする。
さらに、曲線$C$と$2$直線$\ell_1,\ell_2$で囲まれた
図形の面積は$\boxed{ニ}$である。
(2)点$P$が曲線$C$全体を動くときの
$\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{PB}$の最小値を$m$とする。
このとき、$m$を$k$を用いて表すと、
$k\geqq \boxed{ヌ}$のときは$m=\boxed{ネ}$であり、
$k\lt \boxed{ヌ}$のときは、$m=\boxed{ノ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{4}$
$k$を実数の定数とし、
座標平面上に$2$点$A(1,-3),B(-1,k)$をとる。
また、放物線$y=x^2$を$C$とする。
以下に答えなさい。
(1)点$A$から曲線$C$に引いた$2$本の接線のうち、
傾きが正の接線を$\ell_1$とし、
傾きが負の接線を$\ell_2$とするとき、
直線$\ell_1$の方程式は$y=\boxed{テ}$であり、
直線$\ell_2$の方程式は$y=\boxed{ト}$である。
また、$2$直線$\ell_1,\ell_2$のなす角を$\theta$とすると、
$\tan\theta=\boxed{ナ}$である。
ただし、$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$とする。
さらに、曲線$C$と$2$直線$\ell_1,\ell_2$で囲まれた
図形の面積は$\boxed{ニ}$である。
(2)点$P$が曲線$C$全体を動くときの
$\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{PB}$の最小値を$m$とする。
このとき、$m$を$k$を用いて表すと、
$k\geqq \boxed{ヌ}$のときは$m=\boxed{ネ}$であり、
$k\lt \boxed{ヌ}$のときは、$m=\boxed{ノ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田のおもしろ数学486〜1分チャレンジ！無理数の計算
単元：
#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2+\sqrt3+2}{\sqrt6-\sqrt2+\sqrt3-2},$
$y=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2-\sqrt3-2}{\sqrt6-\sqrt2-\sqrt3+2}$
のとき$x^5+y^5$の値を求めて下さい。
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$x=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2+\sqrt3+2}{\sqrt6-\sqrt2+\sqrt3-2},$
$y=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2-\sqrt3-2}{\sqrt6-\sqrt2-\sqrt3+2}$
のとき$x^5+y^5$の値を求めて下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第3問〜空間ベクトルと四面体の体積
単元：
#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
座標空間内に
$3$点$A(-1,1,6),B(0,3,6),C(1,1,5)$をとる。
このとき、$\vert \overrightarrow{AB} \vert =\boxed{ス},\overrightarrow{AB}･\overrightarrow{AC}=\boxed{セ}$であり、
$\angle BAC$の大きさを$\theta$とすると、
$\sin\theta=\boxed{ソ}$である。
ただし、$0\lt \theta \lt \pi$とする。
また、三角形$ABC$の面積は$\boxed{タ}$である。
さらに、
$3$点$A,B,C$の定める平面$ABC$に原点$O$から
垂線$OH$を下ろすと、点$H$の座標は$\boxed{チ}$であり、
四面体$OABC$の体積は$\boxed{ツ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{3}$
座標空間内に
$3$点$A(-1,1,6),B(0,3,6),C(1,1,5)$をとる。
このとき、$\vert \overrightarrow{AB} \vert =\boxed{ス},\overrightarrow{AB}･\overrightarrow{AC}=\boxed{セ}$であり、
$\angle BAC$の大きさを$\theta$とすると、
$\sin\theta=\boxed{ソ}$である。
ただし、$0\lt \theta \lt \pi$とする。
また、三角形$ABC$の面積は$\boxed{タ}$である。
さらに、
$3$点$A,B,C$の定める平面$ABC$に原点$O$から
垂線$OH$を下ろすと、点$H$の座標は$\boxed{チ}$であり、
四面体$OABC$の体積は$\boxed{ツ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田のおもしろ数学485〜三角形の内部の点から下ろした垂線の長さと最小値
単元：
#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\triangle ABC$の内部の点$P$から辺$BC,CA,AB$へ
下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とする。
$\dfrac{BC}{PD}+\dfrac{CA}{PE}+\dfrac{AB}{PF}$
を最小とする$P$を決定せよ。
図は動画内参照
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$\triangle ABC$の内部の点$P$から辺$BC,CA,AB$へ
下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とする。
$\dfrac{BC}{PD}+\dfrac{CA}{PE}+\dfrac{AB}{PF}$
を最小とする$P$を決定せよ。
図は動画内参照
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第2問(3)〜数学的帰納法
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
(3)自然数$n$に対して、
$3^n-2n-1$が
$4$の倍数であることの数学的帰納法を
用いた証明を記述しなさい。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{2}$
(3)自然数$n$に対して、
$3^n-2n-1$が
$4$の倍数であることの数学的帰納法を
用いた証明を記述しなさい。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田のおもしろ数学484〜漸化式で定まる数列の連続する正の項の最大個数
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数列$a_1,a_2,a_3,\cdots $が
$a_n=a_{n-1}-a_{n+2} (n=1,2,3,4\cdots)$
を満たしている。
この数列の連続する要素のうちで、
すべてが正となるものの最大個数はいくつか？
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実数列$a_1,a_2,a_3,\cdots $が
$a_n=a_{n-1}-a_{n+2} (n=1,2,3,4\cdots)$
を満たしている。
この数列の連続する要素のうちで、
すべてが正となるものの最大個数はいくつか？
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第2問(2)〜円のベクトル方程式
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
(2)平面上の異なる$2$点$A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b})$に対して、
ベクトル方程式
$2 \vert \overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}=\vert \overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}\vert$
を満たす点$P(\overrightarrow{p})$全体の集合は円となる。
この円の中心の位置ベクトルは$\boxed{サ}$で半径は
$\boxed{シ}$となる。
ただし、$\boxed{シ}$では根号を用いない表記とすること。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{2}$
(2)平面上の異なる$2$点$A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b})$に対して、
ベクトル方程式
$2 \vert \overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}=\vert \overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}\vert$
を満たす点$P(\overrightarrow{p})$全体の集合は円となる。
この円の中心の位置ベクトルは$\boxed{サ}$で半径は
$\boxed{シ}$となる。
ただし、$\boxed{シ}$では根号を用いない表記とすること。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田のおもしろ数学483〜直角に曲がった廊下を曲がれる棒の長さの最大値
単元：
#数Ⅰ#数A#図形の性質#図形と計量#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
棒を水平に持って、幅$a$の廊下から、
それに直角な幅$b$の廊下に曲がりたい。
これが可能であるための
棒の長さの最大値を求めて下さい。
図は動画内参照
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棒を水平に持って、幅$a$の廊下から、
それに直角な幅$b$の廊下に曲がりたい。
これが可能であるための
棒の長さの最大値を求めて下さい。
図は動画内参照
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第2問(1)〜極形式とド・モアブルの定理
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
(1)$x^3-3x^2+6x-4=0$の解で
虚部が正であるものを$\omega$としたとき、
$\omega$の絶対値は$\vert \omega \vert=\boxed{キ}$であり、
偏角$\theta$は$\theta=\boxed{ク}$である。
ただし、$0\leqq \theta \lt 2\pi$とする。
また、$\omega^{10} =\boxed{ケ}+\boxed{コ}i$である。
ただし、$\boxed{ケ},\boxed{コ}$は実数とする。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{2}$
(1)$x^3-3x^2+6x-4=0$の解で
虚部が正であるものを$\omega$としたとき、
$\omega$の絶対値は$\vert \omega \vert=\boxed{キ}$であり、
偏角$\theta$は$\theta=\boxed{ク}$である。
ただし、$0\leqq \theta \lt 2\pi$とする。
また、$\omega^{10} =\boxed{ケ}+\boxed{コ}i$である。
ただし、$\boxed{ケ},\boxed{コ}$は実数とする。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田のおもしろ数学482〜漸化式で定まる数列に関する不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a_1=1,a_2=\dfrac{1}{2},$
$a_{n+2}=a_n+\dfrac{1}{2}a_{n+1}+\dfrac{1}{4a_na_{n+1}}$のとき、
$\dfrac{1}{a_1a_3}+\dfrac{1}{a_2a_4}+\dfrac{1}{a_3a_5}+\cdots +\dfrac{1}{a_{2025}a_{2027}}\lt 4$
であることを証明せよ。
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$a_1=1,a_2=\dfrac{1}{2},$
$a_{n+2}=a_n+\dfrac{1}{2}a_{n+1}+\dfrac{1}{4a_na_{n+1}}$のとき、
$\dfrac{1}{a_1a_3}+\dfrac{1}{a_2a_4}+\dfrac{1}{a_3a_5}+\cdots +\dfrac{1}{a_{2025}a_{2027}}\lt 4$
であることを証明せよ。
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第1問(4)〜三角関数の最大
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(4)関数$y=(2\sin 2x+\sin x)+\sin x (0\leqq x \lt 2\pi)$は、
$x=\boxed{オ}$のとき最大値$\boxed{カ}$をとる。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{1}$
(4)関数$y=(2\sin 2x+\sin x)+\sin x (0\leqq x \lt 2\pi)$は、
$x=\boxed{オ}$のとき最大値$\boxed{カ}$をとる。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田のおもしろ数学481〜長方形が15°ずつ傾いてずれていく
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第1問(3)〜反復試行の確率と条件付き確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(3)さいころを$6$回続けて投げる。
$3$の倍数の目が出る回数が$2$になる確率は
$\boxed{ウ}$である。
また、$3$の倍数の目が出た回数が$2$であったとき、
その$2$回が続けて起こる条件付き確率は$\boxed{エ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{1}$
(3)さいころを$6$回続けて投げる。
$3$の倍数の目が出る回数が$2$になる確率は
$\boxed{ウ}$である。
また、$3$の倍数の目が出た回数が$2$であったとき、
その$2$回が続けて起こる条件付き確率は$\boxed{エ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田のおもしろ数学480〜三角関数の不等式の証明とイェンゼンの不等式
単元：
#数Ⅱ#式と証明#三角関数#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$0\leqq \alpha,\beta \gamma \lt 90°$
$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =1$のとき
$\tan^2\alpha+\tan^2\beta+\tan^2\gamma \geqq\dfrac{3}{8}$
を証明して下さい。
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$0\leqq \alpha,\beta \gamma \lt 90°$
$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =1$のとき
$\tan^2\alpha+\tan^2\beta+\tan^2\gamma \geqq\dfrac{3}{8}$
を証明して下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第1問(2)〜対数不等式
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)不等式$2(\log_3 x)^2+2\log_9 x \gt 1$を解くと
$\boxed{イ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{1}$
(2)不等式$2(\log_3 x)^2+2\log_9 x \gt 1$を解くと
$\boxed{イ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田のおもしろ数学479〜ちょうど9回でゲームが終了する確率
単元：
#数A#場合の数と確率#確率#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
コインを投げて表が出れば$1$点獲得し、裏が出たら
$2$点を失う。
コインを繰り返し投げて、持ち点が$1$点以下になれば
終了するゲームをする。
最初$10$点をもち、ゲームを始めて$9$回目にゲームが
終了する確率を求めて下さい。
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コインを投げて表が出れば$1$点獲得し、裏が出たら
$2$点を失う。
コインを繰り返し投げて、持ち点が$1$点以下になれば
終了するゲームをする。
最初$10$点をもち、ゲームを始めて$9$回目にゲームが
終了する確率を求めて下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第1問(1)〜分母の有理化
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)$\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}$の分母を有理化すると
$\boxed{ア}$である。
〈追加問題〉
$\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5+\sqrt6}$の分母を有理化すると
$\Box$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)$\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}$の分母を有理化すると
$\boxed{ア}$である。
〈追加問題〉
$\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5+\sqrt6}$の分母を有理化すると
$\Box$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田のおもしろ数学478〜不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a,b,c$を正の数とする。
$a^2+b^2+c^2=3$のとき
$\dfrac{1}{1+2ab}+\dfrac{1}{1+2bc}+\dfrac{1}{1+2ca} \geqq 1$
を証明して下さい。
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$a,b,c$を正の数とする。
$a^2+b^2+c^2=3$のとき
$\dfrac{1}{1+2ab}+\dfrac{1}{1+2bc}+\dfrac{1}{1+2ca} \geqq 1$
を証明して下さい。
福田の数学〜早稲田大学理工学部2025第5問〜無理関数のグラフ上に無数の有理点が存在する証明
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt[3]{x^2+2}$と考え、
$C$上の$(0,\sqrt[3]{2})$以外の点$P(a,b)$における接線を
$\ell : y = kx +c$と表す。$C$と$\ell$の方程式から
$x$を消去して得られる$y$についての$3$次方程式
$f(y)=0$は$b$を重解としてもつので、もう$1$つの解を
$b'$とする。
ただし、$b'$が$3$重解のときは$b'=b$とみなす。
次の問いに答えよ。
(1)$2b+b'$を$k$のみの分数式で表せ。
(2)$b'$を$b$のみの分数式で表せ。
(3)$C$と$\ell$の共有点で、その$y$座標が$b'$であるものを
$P'(a',b')$とする。
$a$と$b$が有理数ならば、$a'$と$b'$も有理数であることを
示せ。
(4)$b$が奇数$p,q$と負でない整数$r$を用いて
$b=\dfrac{p}{2^r q}$で与えられるとする。
有理数$b'$を奇数$p',q'$と整数$s$を用いて$b'=\dfrac{p'}{2^s q'}$と
表すとき、$s$を$r$の式で表せ。
(5)$P(5,3)$が曲線$C$上の点であることを利用して、
$C$上に$x$座標と$y$座標がともに有理数であるような点が
無数に存在することを示せ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
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$\boxed{5}$
$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt[3]{x^2+2}$と考え、
$C$上の$(0,\sqrt[3]{2})$以外の点$P(a,b)$における接線を
$\ell : y = kx +c$と表す。$C$と$\ell$の方程式から
$x$を消去して得られる$y$についての$3$次方程式
$f(y)=0$は$b$を重解としてもつので、もう$1$つの解を
$b'$とする。
ただし、$b'$が$3$重解のときは$b'=b$とみなす。
次の問いに答えよ。
(1)$2b+b'$を$k$のみの分数式で表せ。
(2)$b'$を$b$のみの分数式で表せ。
(3)$C$と$\ell$の共有点で、その$y$座標が$b'$であるものを
$P'(a',b')$とする。
$a$と$b$が有理数ならば、$a'$と$b'$も有理数であることを
示せ。
(4)$b$が奇数$p,q$と負でない整数$r$を用いて
$b=\dfrac{p}{2^r q}$で与えられるとする。
有理数$b'$を奇数$p',q'$と整数$s$を用いて$b'=\dfrac{p'}{2^s q'}$と
表すとき、$s$を$r$の式で表せ。
(5)$P(5,3)$が曲線$C$上の点であることを利用して、
$C$上に$x$座標と$y$座標がともに有理数であるような点が
無数に存在することを示せ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
福田のおもしろ数学477〜イェンゼンの不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
イェンゼンの不等式
$f(x)$は凸関数、$\lambda i \geqq 0, \sum \lambda i=1$のとき、
$\lambda 1 f(x 1)+\lambda 2 f(x2) \geqq f(\lambda2x2)$
$\lambda 1 f(x 1)+\lambda 2 f(x2)+\lambda3f(x3) \geqq f(\lambda1x1+\lambda2x2+\lambda3x3)$
な成り立つ。証明して下さい。
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イェンゼンの不等式
$f(x)$は凸関数、$\lambda i \geqq 0, \sum \lambda i=1$のとき、
$\lambda 1 f(x 1)+\lambda 2 f(x2) \geqq f(\lambda2x2)$
$\lambda 1 f(x 1)+\lambda 2 f(x2)+\lambda3f(x3) \geqq f(\lambda1x1+\lambda2x2+\lambda3x3)$
な成り立つ。証明して下さい。
福田の数学〜早稲田大学理工学部2025第4問〜4つの互いに外接する球面の中心が作る四面体の体積
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#体積・表面積・回転体・水量・変化のグラフ#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
空間内に原点$O$を中心とする半径$r$の球面$S$がある。
さらに、半径が$1,2,3$の球面$S_1,S_2,S_3$があり、
これら$4$つの球面のうち
どの$2$つの球面も互いに外接している。
$S_1,S_2,S_3$中心を順に$P_1,P_2,P_3$とし、
$O,P_1,P_2,P_3$は同一平面上にないとする。
さらに、球面$S$が球面$S_1,S_2,S_3$と
接する$3$つの点と、
$\overrightarrow{OQ}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{OP_3})$
により定まる点$Q$は、同一平面上にあるとする。
次の問いに答えよ。
(1)$r$の値を求めよ。
(2)四面体$OP_1P_2P_3$の体積を求めよ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
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$\boxed{4}$
空間内に原点$O$を中心とする半径$r$の球面$S$がある。
さらに、半径が$1,2,3$の球面$S_1,S_2,S_3$があり、
これら$4$つの球面のうち
どの$2$つの球面も互いに外接している。
$S_1,S_2,S_3$中心を順に$P_1,P_2,P_3$とし、
$O,P_1,P_2,P_3$は同一平面上にないとする。
さらに、球面$S$が球面$S_1,S_2,S_3$と
接する$3$つの点と、
$\overrightarrow{OQ}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{OP_3})$
により定まる点$Q$は、同一平面上にあるとする。
次の問いに答えよ。
(1)$r$の値を求めよ。
(2)四面体$OP_1P_2P_3$の体積を求めよ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
福田のおもしろ数学476〜完全順列と極限
単元：
#関数と極限#数列の極限#関数の極限#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$1,2,･･･,n$を並べるとき、$k$項目に$k$がこないような
並べ方の総数を$x_n$通りとする。
$n\geqq 3$のとき$x_n,x_{n-1},x_{n-2}$の関係式を作り、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{x_n}{n!}$を求めて下さい。
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$1,2,･･･,n$を並べるとき、$k$項目に$k$がこないような
並べ方の総数を$x_n$通りとする。
$n\geqq 3$のとき$x_n,x_{n-1},x_{n-2}$の関係式を作り、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{x_n}{n!}$を求めて下さい。