福田次郎

福田のおもしろ数学112〜多変数の式の最大最小

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
実数

x

,

y

,

z

が0≦

x

≦1, 0≦

y

≦1, 2≦

z

≦3 を満たして変わるとき、

\frac{z - y}{z - x}

の最大値、最小値を求めよ。

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福田の数学〜北海道大学2024年文系第3問〜3次関数のグラフと面積

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

a

を0でない実数とする。

C

を

y

=

- x^{3}

+

x^{2}

で表される曲線、

l

を

y

=

a

で表される直線とし、

C

と

l

は共有点をちょうど2つもつとする。
(1)

a

の値を求めよ。
(2)

C

と

l

の共有点の

x

座標をすべて求めよ。
(3)

C

と

l

で囲まれた図形の面積を求めよ。

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福田のおもしろ数学111〜論証力をチェックしよう〜3変数の基本対称式の性質

単元： #数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
実数

a

,

b

,

c

が

a

+

b

+

c

＞0,

a b

+

b c

+

c a

＞0,

a b c

＞0 を満たすとき、

a

＞0,

b

＞0,

c

＞0 であることを証明せよ。

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福田の数学〜北海道大学2024年文系第2問〜漸化式を解く

単元： #数列#漸化式#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

次の条件によって定められる数列

{a_{n}}

について考える。

a_{1}

=3,　

a_{n + 1}

=

3 a_{n}

－

\frac{3^{n + 1}}{n (n + 1)}

(1)

b_{n}

=

\frac{a_{n}}{3^{n}}

とおくとき、

b_{n + 1}

を

b_{n}

と

n

の式で表せ。
(2)数列

{a_{n}}

の一般項を求めよ。

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福田のおもしろ数学110〜豊島岡女子中学の問題〜面積を求める難問

単元： #算数(中学受験)#平面図形#角度と面積

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
図のような(※動画参照)直角三角形ABCと正方形DEFGがあります。辺BCの長さと正方形の一辺の長さが等しく、辺ACの長さと正方形の一辺の長さの和が4 cmであるとき、2つの図形の面積の和は何

{cm}^{2}

か。

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福田の数学〜北海道大学2024年文系第1問〜約数の個数と総和

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

次の問いに答えよ。
(1)自然数

m

,

n

について、

2^{m} ・ 3^{n}

の正の約数の個数を求めよ。
(2)6912の正の約数のうち、12で割り切れないものの総和を求めよ。

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福田のおもしろ数学109〜桜蔭中学の問題〜正三角形の回転移動で通過する範囲の面積

単元： #算数(中学受験)#平面図形#図形の移動

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
一辺が1の正三角形ABCが図のように(※動画参照)一辺が3の正方形PQRTの内部にあります。
この正三角形を元の位置に戻るまで、矢印の向きにすべらないように回転させながら移動させます。
正三角形ABCの面積をSとするとき、通過範囲の面積をSを用いて表しなさい。

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福田の数学〜北海道大学2024年理系第5問〜対数関数の増減凹凸と面積

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

関数

f (x)

=

x \log (x + 2)

+1　(

x

＞-2)
を考える。

y

=

f (x)

で表される曲線を

C

とする。

C

の接線のうち傾きが正で原点を通るものを

l

とする。ただし

\log t

は

t

の自然対数である。
(1)直線

l

の方程式を求めよ。
(2)曲線

C

は下に凸であることを証明せよ。
(3)

C

と

l

および

y

軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

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福田のおもしろ数学108〜虚数単位iは数直線上に存在するか

単元： #数Ⅱ#複素数と方程式#複素数#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
虚数単位

i

が数直線上のどこにもないことを証明せよ。

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福田の数学〜北海道大学2024年理系第4問〜三角形の内心の位置ベクトル

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

三角形OABが、|

\vec{O A}

|=3, |

\vec{A B}

|=5,

\vec{O A} ・ \vec{O B}

=10 を満たしているとする。
三角形OABの内接円の中心をIとし、この内接円と辺OAの接点をHとする。
(1)辺OBの長さを求めよ。
(2)

\vec{O I}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。
(3)

\vec{H I}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。

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福田のおもしろ数学107〜京都大学の有名問題〜車両の色塗り

単元： #数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

n

両編成(

n

≧2)に各車両に赤、青、黄の3色のいずれかを塗る。隣り合った車両の少なくとも一方が赤になるような塗り方は何通りあるか。

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福田の数学〜北海道大学2024年理系第3問〜関数方程式の解

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

次の問いに答えよ。
(1)

α

を実数とする。次のように定められた数列

{a_{n}}

の一般項を求めよ。

a_{1}

=

α

,　

a_{n + 1}

=

\frac{1}{2} a_{n}

+1　(

n

=1,2,3,...)
(2)関数

f_{1} (x)

,

f_{2} (x)

,

f_{3} (x)

,... を次の関係式で定める。

f_{1} (x)

=

3 x

f_{n + 1} (x)

=

(n + 2) x^{n + 1}

+

(\int_{0}^{1} f_{n} (t) d t) x

　(

n

=1,2,3,...)
関数

f_{n} (x)

を

x

と

n

の式で表せ。

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福田のおもしろ数学106〜折り紙の問題〜折ってから一部を切り取り元にもどした図形

単元： #算数(中学受験)#平面図形#平面図形その他

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
動画のように折り紙を折ったのち、紙を広げたときの図形の名称を答えよ。

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福田の数学〜北海道大学2024年理系第2問〜反復試行の確率と条件付き確率

単元： #数A#場合の数と確率#確率#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

各面に1つずつ数が書かれた正八面体のさいころがある。「1」、「2」、「3」が書かれた面がそれぞれ1つずつあり、残りの5つの面には「0」が書かれている。このさいころを水平な面に投げて、出た面に書かれた数を持ち点に加えるという試行を考える。最初の持ち点は0とし、この試行を繰り返す。例えば、3回の試行を行ったとき、出た面に書かれた数が「0」、「2」、「3」であれば、持ち点は5となる。なお、さいころが水平な床面にあるとき、さいころの上部の水平な面を出た面と呼ぶ。また、さいころを投げるとき、各面が出ることは同様に確からしいとする。
(1)この試行を

n

回行ったとき、持ち点が2以下である確率を求めよ。ただし、

n

は2以上の自然数とする。
(2)この試行を4回行って持ち点が10以上であった時に、さらにこの試行を2回行って持ち点が17以上である条件付き確率を求めよ。

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福田のおもしろ数学105〜10秒チャレンジ〜円弧と円弧で囲まれた図形の面積

単元： #算数(中学受験)#平面図形#角度と面積

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
動画の図における、緑色の領域の面積を求めよ。

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福田の数学〜北海道大学2024年理系第1問〜点の一致条件と軌跡

単元： #平面上の曲線#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

t

を実数とし、

x y

平面上の点P(

\cos 2 t

,

\cos t

)および点Q(

\sin t

,

\sin 2 t

)を考える。
(1)点Pと点Qが一致するような

t

の値をすべて求めよ。
(2)

t

が0＜

t

＜

2 π

の範囲で変化するとき、点Pの軌跡を

x y

平面上に図示せよ。
ただし、

x

軸、

y

軸との共有点がある場合は、それらの座標を求め、図中に記せ。

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福田のおもしろ数学104〜麻布中学の算数〜三角形と四角形の面積の差

単元： #算数(中学受験)#平面図形#角度と面積

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

△

BCQと四角形APQRの面積の差を求めよ。(※動画参照)

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第5問〜散布図と相関係数と分散

単元： #データの分析#データの分析#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

下図(※動画参照)は、あるクラスの40人の生徒の数学と理科の試験得点の散布図である。
データ点の近くの数値はそのデータ点の生徒の出席番号である。
(1)数学と理科の合計得点が最も高い生徒の出席番号は

ヒ

である。また、数学と理科の得点差の絶対値が最も大きい生徒の出席番号は

フ

である。
(2)数学と理科それぞれの得点の平均値を

\bar{x}

,

\bar{y}

、標準偏差を

s_{x}

,

s_{y}

、数学と理科の得点の共分散を

s_{x y}

と表すと、これらの数値は以下であった。

\bar{x}

=67.7,

\bar{y}

=70.9,

s_{x}

=14.9,

s_{y}

=11.5,

s_{x y}

=115.7
数学の得点と理科の得点の相関係数は

ヘ

である。なお、答えは小数第3位を四捨五入し、小数第2位まで求めなさい。
(3)各生徒の数学の得点を

x_{1}

,

x_{2}

, ...,

x_{40}

、理科の得点を

y_{1}

,

y_{2}

, ...,

y_{40}

で表す。
数学と理科の合計得点

x_{1}

+

y_{1}

,

x_{2}

+

y_{2}

, ...,

x_{40}

+

y_{40}

の平均値は

\bar{x}

,

\bar{y}

を用いると

ホ

と表せる。合計得点の分散は、

\frac{1}{40} \sum_{i = 1}^{40} {(x_{i} + y_{i} - ホ)}^{2}

であるから、これを式変形すると、合計得点の分散は、

s_{x}

,

s_{y}

,

s_{x y}

を用いて

マ

と表せる。これらの式に(2)で与えられた数値を入れて計算すると、数学と理科の合計得点の平均値は

ミ

、分散は

ム

である。なお、答えは小数第2位を四捨五入し、小数第1位まで求めなさい。

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福田のおもしろ数学103〜麻布中学の算数〜二つの三角形の面積の差

単元： #算数(中学受験)#平面図形#角度と面積

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
AB=5, BC=BD=6のとき、

△

ABEと

△

CDEの面積の差を求めよ。(※動画参照)

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第4問〜接線と面積計算

単元： #微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

関数

f (x)

を

f (x)

=

x^{2} (x - 3)

で定める。以下に答えなさい。
(1)関数

f (x)

は

x

=

ト

で極小値

ナ

をとる。
(2)曲線

y

=

f (x)

を

C

とする。点A(0,1)から曲線

C

へは2本の接線が引ける。
そのうち、傾きが正の接線を

l

とし、傾きが負の接線を

m

とするとき、直線

l

の方程式は

y

=

ニ

であり、直線

m

の方程式は

y

=

ヌ

である。
(3)曲線

C

と直線

l

の接点Pの

x

座標は

ネ

である。また、曲線

C

と直線

l

は2つの共有点をもつが、点Pとは異なる共有点Qの

x

座標は

ノ

である。さらに、曲線

C

と直線

l

で囲まれた図形の面積は

ハ

である。

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福田のおもしろ数学102〜ラサール中学の算数〜折れ線で結ばれた図形から角を求める

単元： #算数(中学受験)#平面図形#角度と面積

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
AB=BC=CD=DEのとき∠A, ∠C を求めよ。(※動画参照)

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第3問〜群数列

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

数列

\frac{0}{1}

,

\frac{1}{1}

,

\frac{0}{2}

,

\frac{1}{2}

,

\frac{2}{2}

,

\frac{0}{3}

,

\frac{1}{3}

,

\frac{2}{3}

,

\frac{3}{3}

,

\frac{0}{4}

,

\frac{1}{4}

,

\frac{2}{4}

,

\frac{3}{4}

,

\frac{4}{4}

,

\frac{0}{5}

, ...
の第

n

項を

a_{n}

とする。
(1)約分することで

a_{n}

=1 を満たす自然数

n

のうち、

k

番目に小さいものを

N_{k}

で表す。例えば、

N_{1}

=2,

N_{2}

=5 である。また、自然数

k

に対して、

N_{k}

を

k

を用いて表すと

N_{k}

=

セ

である。また、自然数

k

に対して、数列

{a_{n}}

の初項から第

N_{k}

項までの和を

k

を用いて表すと

ソ

である。
(2)約分することで

a_{n}

=

\frac{1}{4}

を満たす自然数

n

のうち、

k

番目に小さいものを

M_{k}

で表す。例えば

M_{1}

=11,

M_{2}

=

タ

である。このとき、自然数

k

に対して、

M_{k}

を

k

を用いて表すと

M_{k}

=

チ

である。
(3)

a_{200}

を約分した形で表すと

a_{200}

=

ツ

である。また数列

{a_{n}}

の初項から第200項までの和は

テ

である。

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福田のおもしろ数学101〜円の中の領域の塗り分け

単元： #算数(中学受験)#場合の数#場合の数

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
図の6ヵ所の領域A, B, C, D, E, Fを3色で塗り分ける方法は何通りか。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第2問(3)〜ルート2が無理数である証明

単元： #数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

(3)

\sqrt{2}

が無理数であることを証明せよ。

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福田のおもしろ数学100〜帰納的に考える方法〜階段の登り方

単元：
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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
一度に1段または2段登ることにして10段の階段を上る方法は何通りあるか。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第2問(2)〜2次方程式の解の存在範囲

単元： #数Ⅱ#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

(2)

m

を実数とする。

x

の2次方程式

x^{2}

+

m x

+

m

+3=0
が異なる2つの虚数解をもつような

m

の値の範囲は

シ

であり、異なる2つの正の解をもつような

m

の値の範囲は

ス

である。

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福田のおもしろ数学099〜円柱に内接する2つの球の半径

単元： #算数(中学受験)#立体図形#立体図形その他

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
円柱に内接する2つの外接する等球の半径はいくらか。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第2問(1)〜正六角形の位置ベクトル

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

(1)一辺の長さが2の正六角形ABCDEFにおいて、辺CDの中点をMとし、直線BEと直線AMの交点をPとする。このとき、

\vec{B C}

,

\vec{A M}

,

\vec{B P}

をそれぞれ

\vec{A B}

,

\vec{A F}

を用いて表すと

\vec{B C}

=

ク

,

\vec{A M}

=

ケ

,

\vec{B P}

=

コ

である。また、

\vec{A M}

と

\vec{B P}

の内積

\vec{A M} ・ \vec{B P}

の値は

サ

である。

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福田のおもしろ数学098〜正方形の中の4つの円弧に囲まれた部分の面積

単元： #算数(中学受験)#平面図形#角度と面積

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
一辺6の正方形における、4つの円弧に囲まれた部分の面積を求めなさい。(※動画参照)

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第1問(4)〜円と接線の長さ

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(4)円

x^{2}

+

y^{2}

－

4 x

+

10 y

+11=0 を

C

とするとき、円

C

の中心は

オ

であり、半径は

カ

である。また、この円

C

には点P(3,2)から2本の接線を引くことができるが、その接点の1つをAとする。このとき、線分APの長さはAP=

キ

である。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田次郎

福田のおもしろ数学112〜多変数の式の最大最小

福田の数学〜北海道大学2024年文系第3問〜3次関数のグラフと面積

福田のおもしろ数学111〜論証力をチェックしよう〜3変数の基本対称式の性質

福田の数学〜北海道大学2024年文系第2問〜漸化式を解く

福田のおもしろ数学110〜豊島岡女子中学の問題〜面積を求める難問

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福田のおもしろ数学108〜虚数単位iは数直線上に存在するか

福田の数学〜北海道大学2024年理系第4問〜三角形の内心の位置ベクトル

福田のおもしろ数学107〜京都大学の有名問題〜車両の色塗り

福田の数学〜北海道大学2024年理系第3問〜関数方程式の解

福田のおもしろ数学106〜折り紙の問題〜折ってから一部を切り取り元にもどした図形

福田の数学〜北海道大学2024年理系第2問〜反復試行の確率と条件付き確率

福田のおもしろ数学105〜10秒チャレンジ〜円弧と円弧で囲まれた図形の面積

福田の数学〜北海道大学2024年理系第1問〜点の一致条件と軌跡

福田のおもしろ数学104〜麻布中学の算数〜三角形と四角形の面積の差

福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第5問〜散布図と相関係数と分散

福田のおもしろ数学103〜麻布中学の算数〜二つの三角形の面積の差

福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第4問〜接線と面積計算

福田のおもしろ数学102〜ラサール中学の算数〜折れ線で結ばれた図形から角を求める

福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第3問〜群数列

福田のおもしろ数学101〜円の中の領域の塗り分け

福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第2問(3)〜ルート2が無理数である証明

福田のおもしろ数学100〜帰納的に考える方法〜階段の登り方

福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第2問(2)〜2次方程式の解の存在範囲

福田のおもしろ数学099〜円柱に内接する2つの球の半径

福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第2問(1)〜正六角形の位置ベクトル

福田のおもしろ数学098〜正方形の中の4つの円弧に囲まれた部分の面積

福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第1問(4)〜円と接線の長さ