数Ⅲ
数Ⅲ
福田のわかった数学〜高校３年生理系031〜極限(31)関数の極限、色々な極限(1)
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 色々な極限(1)\\
\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)^2}{|x^2-1|} を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 色々な極限(1)\\
\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)^2}{|x^2-1|} を求めよ。
\end{eqnarray}
15滋賀県教員採用試験（数学：5番 グラフと極限）
単元：
#関数と極限#微分とその応用#数列の極限#関数の極限#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$y=\left(\dfrac{e}{x}\right)^{\log x}$のグラフをかけ.
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$\boxed{5}$
$y=\left(\dfrac{e}{x}\right)^{\log x}$のグラフをかけ.
福田の数学〜早稲田大学2021年商学部第１問(2)〜整式と不等式
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$
(2)$n$を正の整数とする。$f(x)$は$x$の$n+1$次式で表される関数で、$x$が$0$以上$n$以下の整数のとき$f(x)=0$であり、$f(n+1)=n+1$である。このとき、
$\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{(1-\sqrt2)^k}{f'(k)} \gt 2^{2021}$
を満たす最小の$n$は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
2021早稲田大学商学部過去問
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${\Large\boxed{1}}$
(2)$n$を正の整数とする。$f(x)$は$x$の$n+1$次式で表される関数で、$x$が$0$以上$n$以下の整数のとき$f(x)=0$であり、$f(n+1)=n+1$である。このとき、
$\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{(1-\sqrt2)^k}{f'(k)} \gt 2^{2021}$
を満たす最小の$n$は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
2021早稲田大学商学部過去問
07滋賀県教員採用試験（数学：5番 接線の個数）
単元：
#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
点$(0,k)$から曲線$c$
$c:y=-xe^x$
に異なる3本の接線が引けるとき,
$k$の値の範囲を求めよ.
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$\boxed{5}$
点$(0,k)$から曲線$c$
$c:y=-xe^x$
に異なる3本の接線が引けるとき,
$k$の値の範囲を求めよ.
【数Ⅲ】微分法：sinを微分するとどうなる？？グラフのイメージでサクッとわかる♪
福田のわかった数学〜高校３年生理系030〜極限(30)関数の極限、三角関数の極限(10)
単元：
#数Ⅱ#三角関数#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 三角関数の極限(10)
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{9-8x+7\cos2x}-(a+bx)}{x^2}$
が有限の値となる$a,b$とそのときの極限値
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数学$\textrm{III}$ 三角関数の極限(10)
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{9-8x+7\cos2x}-(a+bx)}{x^2}$
が有限の値となる$a,b$とそのときの極限値
12滋賀県教員採用試験（数学：5番 微分と微分方程式）
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$任意の実数$s,t$に対して
$f(s+t)=f(s)f(t),f(1)\neq 0,f`(0)=a$である.
(1)$f(0)$
(2)任意の実数$x$に対して$f(x)\neq 0$を示せ.
(3)任意の実数$x$に対して$f`(x)=af(x)$を示せ.
(4)$f(x)$を求めよ.
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$\boxed{5}$任意の実数$s,t$に対して
$f(s+t)=f(s)f(t),f(1)\neq 0,f`(0)=a$である.
(1)$f(0)$
(2)任意の実数$x$に対して$f(x)\neq 0$を示せ.
(3)任意の実数$x$に対して$f`(x)=af(x)$を示せ.
(4)$f(x)$を求めよ.
福田のわかった数学〜高校３年生理系029〜極限(29)関数の極限、三角関数の極限(9)
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 三角関数の極限$(9)\\
\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{8+12x+\cos x}-3+\sin x}{x}$
を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 三角関数の極限$(9)\\
\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{8+12x+\cos x}-3+\sin x}{x}$
を求めよ。
岡山県教員採用試験：方程式の利用
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$ $n$は自然数とする.
$x^{n+1}-1=0$の解を
$1,a_1,a_2,･･･,a_n$とするとき,
$(1-a_1)\times (1-a_2)\times ･･･ \times (1-a_n)$
の値を求めよ.
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$\boxed{1}$ $n$は自然数とする.
$x^{n+1}-1=0$の解を
$1,a_1,a_2,･･･,a_n$とするとき,
$(1-a_1)\times (1-a_2)\times ･･･ \times (1-a_n)$
の値を求めよ.
福田のわかった数学〜高校３年生理系028〜極限(28)関数の極限、三角関数の極限(8)
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 三角関数の極限(8)\\
\\
\lim_{x \to 0}(\frac{\sin2x}{2x}-\frac{\sin3x}{3x}) を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 三角関数の極限(8)\\
\\
\lim_{x \to 0}(\frac{\sin2x}{2x}-\frac{\sin3x}{3x}) を求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系027〜極限(27)関数の極限、三角関数の極限(7)
単元：
#数Ⅱ#三角関数#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 三角関数の極限(7)\\
\\
\lim_{x \to 0}\frac{\sin(2\sin x)}{3x(1+2x)} を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 三角関数の極限(7)\\
\\
\lim_{x \to 0}\frac{\sin(2\sin x)}{3x(1+2x)} を求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系026〜極限(26)関数の極限、三角関数の極限(6)
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 三角関数の極限(6)\\
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin x}{(2x-\pi)^2} を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 三角関数の極限(6)\\
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin x}{(2x-\pi)^2} を求めよ。
\end{eqnarray}
15滋賀県教員採用試験（数学：4番 積分）
単元：
#積分とその応用#不定積分#定積分#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$2\leqq n \gets IN$
$\log(n+1)\lt 1+\dfrac{1}{2}+･･･+\dfrac{1}{n}\lt 1+\log n$
を示せ.
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$\boxed{4}$
$2\leqq n \gets IN$
$\log(n+1)\lt 1+\dfrac{1}{2}+･･･+\dfrac{1}{n}\lt 1+\log n$
を示せ.
福田の数学〜早稲田大学2021年教育学部第１問(3)〜２曲線の相接
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ (3)座標平面上の2つの曲線$y=ae^x$と$y=-x^2+2x$が共有点をもち、かつ、その
共有点において共通の接線をもつような正の定数$a$の値を求めよ。
2021早稲田大学教育学部過去問
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${\Large\boxed{1}}$ (3)座標平面上の2つの曲線$y=ae^x$と$y=-x^2+2x$が共有点をもち、かつ、その
共有点において共通の接線をもつような正の定数$a$の値を求めよ。
2021早稲田大学教育学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系025〜極限(25)関数の極限、三角関数の極限(5)
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 三角関数の極限(5)
$\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\tan x°}{x}$ を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 三角関数の極限(5)
$\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\tan x°}{x}$ を求めよ。
14京都府教員採用試験（数学：1-(6) 積分）
単元：
#積分とその応用#不定積分#定積分#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x\ \sin2x\ dx$
を求めよ.
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$\boxed{2}$
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x\ \sin2x\ dx$
を求めよ.
福田の数学〜早稲田大学2021年教育学部第１問(2)〜ねじれの位置にある線分の回転
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ (2)座標空間に$2$点$A(0,-1,1)$と$B(-1,0,0)$をとる。線分$AB$を$z$軸の周りに
1回転してできる面と2つの平面$z=0,z=1$とで囲まれた部分の体積を求めよ。
2021早稲田大学教育学部過去問
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${\Large\boxed{1}}$ (2)座標空間に$2$点$A(0,-1,1)$と$B(-1,0,0)$をとる。線分$AB$を$z$軸の周りに
1回転してできる面と2つの平面$z=0,z=1$とで囲まれた部分の体積を求めよ。
2021早稲田大学教育学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系024〜極限(24)関数の極限、三角関数の極限(4)
単元：
#数Ⅱ#三角関数#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 三角関数の極限(4)
次の極限を求めよ。
(1)$\lim_{x \to 0}x\sin\displaystyle \frac{1}{x}$ (2)$\lim_{x \to -\infty}x\sin\displaystyle \frac{1}{x}$
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数学$\textrm{III}$ 三角関数の極限(4)
次の極限を求めよ。
(1)$\lim_{x \to 0}x\sin\displaystyle \frac{1}{x}$ (2)$\lim_{x \to -\infty}x\sin\displaystyle \frac{1}{x}$
#20 数検1級1次過去問 3重積分
単元：
#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#積分とその応用#不定積分#定積分#数学検定#数学検定1級#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\boxed{7}$
$\iiint_D x^3y^2z \ dx \ dy \ dz$
$D:0\leq x\leq y\leq z\leq 1$
を求めよ.
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$\boxed{7}$
$\iiint_D x^3y^2z \ dx \ dy \ dz$
$D:0\leq x\leq y\leq z\leq 1$
を求めよ.
福田のわかった数学〜高校３年生理系023〜極限(23)関数の極限、三角関数の極限(3)
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 三角関数の極限(3)
$\lim_{\theta \to 0}\displaystyle \frac{\tan\theta-\sin\theta}{\theta^3}$ を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 三角関数の極限(3)
$\lim_{\theta \to 0}\displaystyle \frac{\tan\theta-\sin\theta}{\theta^3}$ を求めよ。
練習問題31 積分 数検準1級 教採対応
単元：
#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#積分とその応用#不定積分#定積分#その他#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{\tan^{-1}x+1}{x^2+1}dx$
を計算せよ.
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$\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{\tan^{-1}x+1}{x^2+1}dx$
を計算せよ.
福田のわかった数学〜高校３年生理系022〜極限(22)関数の極限、三角関数の極限(2)
単元：
#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 三角関数の極限(2)
$\sin x$ を定義に従って微分せよ。
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数学$\textrm{III}$ 三角関数の極限(2)
$\sin x$ を定義に従って微分せよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系021〜極限(21)関数の極限、三角関数の極限(1)
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 三角関数の極限(1)
$\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\sin\theta}{\theta}=1$ を証明せよ。
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数学$\textrm{III}$ 三角関数の極限(1)
$\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\sin\theta}{\theta}=1$ を証明せよ。
福田の数学〜早稲田大学2021年理工学部第３問〜複素数平面上の点の軌跡
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#積分とその応用#複素数平面#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$ 複素数$\alpha=2+i,$ $\beta=-\displaystyle \frac{1}{2}+i$に対応する複素数平面上の点を$A(\alpha),\ B(\beta)$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)複素数平面上の点$C(\alpha^2),\ D(\beta^2)$と原点$O$の3点は一直線上にあることを示せ。
(2)点$P(z)$が直線$AB$上を動くとき、$z^2$の実部を$x$、虚部を$y$として、点$Q(z^2)$の軌跡
を$x,y$の方程式で表せ。
(3)点$P(z)$が三角形$OAB$の周および内部にあるとき、点$Q(z^2)$全体のなす図形をK
とする。$K$を複素数平面上に図示せよ。
(4)(3)の図形$K$の面積を求めよ。
2021早稲田大学理工学部過去問
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${\Large\boxed{3}}$ 複素数$\alpha=2+i,$ $\beta=-\displaystyle \frac{1}{2}+i$に対応する複素数平面上の点を$A(\alpha),\ B(\beta)$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)複素数平面上の点$C(\alpha^2),\ D(\beta^2)$と原点$O$の3点は一直線上にあることを示せ。
(2)点$P(z)$が直線$AB$上を動くとき、$z^2$の実部を$x$、虚部を$y$として、点$Q(z^2)$の軌跡
を$x,y$の方程式で表せ。
(3)点$P(z)$が三角形$OAB$の周および内部にあるとき、点$Q(z^2)$全体のなす図形をK
とする。$K$を複素数平面上に図示せよ。
(4)(3)の図形$K$の面積を求めよ。
2021早稲田大学理工学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系020〜極限(20)関数の極限、無理関数の極限(5)
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 無理関数の極限(5)
$\displaystyle\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+2x+3}-(ax+b))$
を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 無理関数の極限(5)
$\displaystyle\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+2x+3}-(ax+b))$
を求めよ。
03京都府教員採用試験（数学：3番 微分方程式（特殊解）
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$(\sin x+1)\dfrac{dy}{dx}-(y+1)\cos x=0$
$x=0$とき,$y=1$をみたす特殊解を求めよ.
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$\boxed{3}$
$(\sin x+1)\dfrac{dy}{dx}-(y+1)\cos x=0$
$x=0$とき,$y=1$をみたす特殊解を求めよ.
福田のわかった数学〜高校３年生理系019〜極限(19)関数の極限、無理関数の極限(4)
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 無理関数の極限(4)
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+x+1}-$$\sqrt{x^2-x+1})$ を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 無理関数の極限(4)
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+x+1}-$$\sqrt{x^2-x+1})$ を求めよ。
福田の数学〜早稲田大学2021年理工学部第１問〜２直線のなす角の最小
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#加法定理とその応用#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ $xy$平面上の曲線$y=x^3$を$C$とする。$C$上の2点$A(-1,-1), B(1,1)$をとる。
さらに、$C$上で原点$O$と$B$の間に動点$P(t,t^3)(0 \lt t \lt 1)$をとる。このとき、
以下の問いに答えよ。
(1)直線$AP$と$x$軸のなす角を$\alpha$とし、直線$PB$と$x$軸のなす角を$\beta$とするとき、
$\tan\alpha,\tan\beta$を$t$を用いて表せ。ただし、$0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{\pi}{2},\ 0 \lt \beta \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする。
(2)$\tan\angle APB$を$t$を用いて表せ。
(3)$\angle APB$を最小にする$t$の値を求めよ。
2021早稲田大学理工学部過去問
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${\Large\boxed{1}}$ $xy$平面上の曲線$y=x^3$を$C$とする。$C$上の2点$A(-1,-1), B(1,1)$をとる。
さらに、$C$上で原点$O$と$B$の間に動点$P(t,t^3)(0 \lt t \lt 1)$をとる。このとき、
以下の問いに答えよ。
(1)直線$AP$と$x$軸のなす角を$\alpha$とし、直線$PB$と$x$軸のなす角を$\beta$とするとき、
$\tan\alpha,\tan\beta$を$t$を用いて表せ。ただし、$0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{\pi}{2},\ 0 \lt \beta \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする。
(2)$\tan\angle APB$を$t$を用いて表せ。
(3)$\angle APB$を最小にする$t$の値を求めよ。
2021早稲田大学理工学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系018〜極限(18)関数の極限、無理関数の極限(3)
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 無理関数の極限(3)
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+x+1}-$$\sqrt{x^2-x+1})$ を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 無理関数の極限(3)
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+x+1}-$$\sqrt{x^2-x+1})$ を求めよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系017〜関数の極限、無理関数の極限(2)
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 無理関数の極限(2)
$\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\sqrt[3]x-1}{\sqrt x-1}$ を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 無理関数の極限(2)
$\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\sqrt[3]x-1}{\sqrt x-1}$ を求めよ。