ますただ

重積分⑥-1【曲面・平面で囲まれた体積】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#高専(高等専門学校)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
曲面

Z = 4 - x^{2}

と平面x+y=2,3つの座標平面で囲まれる立体の体積Vを求めよ。

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10京都府教員採用試験（数学：2番　極限値）

単元： #その他#数学(高校生)#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = 0

を

f (x) = \frac{x^{3}}{e^{x}}

を利用して示せ。

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重積分⑤【積分順序の変更（応用）】（高専数学　微積II，数検1級1次対応）

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#高専(高等専門学校)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
(1)

\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} s i n x^{2} d x d y

(2)

\int_{0}^{\sqrt{3}} \int_{1}^{\sqrt{4 - x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d y d x

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17愛知県教員採用試験（数学：10-(2)　x軸回転体）

単元： #その他#数学(高校生)#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

10

(2)
図形

C : x^{2} + (y - 3)^{2} ≦ 4

をx軸を中心にした回転体の体積Vを求めよ。

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重積分④【積分順序の変更】（高専数学　微積II，数学検定1級解析）

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#高専(高等専門学校)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
積分順序の変更
(1)

\int_{1}^{2} \int_{0}^{5 - \frac{5}{2} y} f (x, y) d x d y

(2)

\int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{1}{2} \sqrt{4 - x^{2}}} f (x, y) d x d y

(3)

\int_{1}^{e} \int_{0}^{l o g x} f (x, y) d x d y

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10東京都教員採用試験（数学：1-(1)　解と係数の関係）

単元： #数Ⅱ#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

2 x^{2} - 3 x + 2 = 0

の2つの解をα、βとする。

α + \frac{1}{β}

,

β + \frac{1}{α}

を解にもつ

x^{2}

の係数が1となる2次方程式を求めよ。

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重積分③【積分領域の工夫】（高専数学　微積II，数学検定1級解析）

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
ex1

\iint_{D} x^{2} y d x d y

D : x ≧ 0, y ≧ 0, x^{2} + y^{2} ≦ 1

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重積分②（高専数学　微積II，数学検定1級解析）

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
重積分（累次積分）
ex1

\iint_{0} \frac{y}{x} d x d y

D : 1 ≦ x ≦ 3

,

x ≦ y ≦ 2 x

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重積分①（高専数学　微積II，数学検定1級解析）

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
重積分（累次積分）
ex1　

\iint_{0} x y^{2} + y d x d y

D : 0 ≦ x ≦ 1

,

1 ≦ y ≦ 3

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14京都府教員採用試験（数学：5番　三角関数）

単元： #数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#その他#数学(高校生)#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

y = a (1 + s i n x) c o s x (0 ≦ x ≦ 2 π)

の最大値が18のときaの値を求めよ。（a>0）

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08東京都教員採用試験（数学：1-(1)　相加平均・相乗平均）

単元： #数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(1) x,y,zは正の数
x+2y+4z=2のとき
xyzの最大値を求めよ。

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14奈良県教員採用試験（数学：2-(6) 　y軸回転体・バームクーヘン積分　）

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

-(6)

y = - x^{2} + 4

とx軸で囲まれた部分をy軸を中心とした回転体の体積Vを求めよ。

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16愛知県教員採用試験（数学：5番　対数，相加平均・相乗平均）

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#その他#数学(高校生)#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a = l o g_{3} x

,

b = l o g_{4} y

a+2b=3のときx+yの最小値を求めよ。

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11神奈川県教員採用試験（数学：11番　重積分）

単元： #積分とその応用#定積分#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

11

D = {(x, y) | x ≧ 0, y ≧ 0, x + y ≦ 1}

\iint_{D} x^{2} + y^{2} d x d y

を求めよ。

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18奈良県教員採用試験（数学：1番　ベクトル）

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#その他#数学(高校生)#数C#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

一直線上にないO、A、B

\vec{O D} = 3 \vec{O A}

,

\vec{O E} = 2 \vec{O B}

BDとAEの交点をC
(1)

\vec{O C}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

で表せ
(2)OCとABの交点をF
AF:FBを求めよ。
(3)

| \vec{O A} | = 4

,

| \vec{O B} | = 5

,

| \vec{O C} | = 6

のときDEの長さを求めよ。

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15京都府教員採用試験（数学：3番　微分）

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#その他#数学(高校生)#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

A(1,a)から曲線

C : y = x^{3} + 3 x^{2} + x

に異なる接線が3本引けるようにaの範囲を定めよ

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15神奈川県教員採用試験（数学：10番　定積分）

単元： #積分とその応用#定積分#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

10

\int_{0}^{2} x^{3} \sqrt{4 - x^{2}} d x

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13神奈川県教員採用試験（数学：9番　数列の極限値）

単元： #関数と極限#数列の極限#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 1, a_{2} = 2, (a_{n + 2})^{5} = (a_{n + 1})^{4} ・ a_{n}

lim_{n \to \infty} a_{n}

を求めよ。

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13神奈川県教員採用試験（数学：11番　曲線の長さ）

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

11

曲線

6 y^{2} = x (2 - x)^{2}

(0 ≦ x ≦ 2)

の長さlを求めよ。

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13神奈川県教員採用試験（数学：8番　行列）

単元： #その他#数学(高校生)#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

A = (\begin{matrix} - 1 & - 3 \\ 1 & 2 \end{matrix})

S = A + A^{2} + \dots + A^{99}

を求めよ。

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13神奈川県教員採用試験（数学：4番　整式の割り算）

単元： #数Ⅱ#式と証明#その他#数学(高校生)#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x^{2016} + x^{7} + 1

を

x^{2} + 1

で割った余りを求めよ。

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円周率πが無理数であることの証明（数III）

単元： #関数と極限#積分とその応用#数列の極限#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
定理(1947,IvanNiren)
πは無理数である

補題1　

^{\forall} a \in R

,

lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0

(n \in N)

補題2

f (x) = \frac{1}{n!} p^{n} x^{n} (π - x)^{n}

(p, n \in N)

nが十分大きいとき

0 < \int_{0}^{π} f (x) d x < 1

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13兵庫県教員採用試験（数学：2番　微分）

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#その他#数学(高校生)#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

C_{1} : y = x^{2} - 4 x + 36

,

C_{2} : y = 4 x^{2} + 8 x

の共通接線の方程式を求めよ。

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10兵庫県教員採用試験（数学：2番　整数問題）

単元： #数A#整数の性質#その他#数学(高校生)#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

n \in N

,

\sqrt{n}

の整数部分をA(n)
(1)A(10)を求めよ。
(2)A(n)=3をみたすnの個数
(3)

A (1) + A (2) + A (3) + \dots + A (n)

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15兵庫県教員採用試験（数学：3番　微積）

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#その他#面積、体積#数学(高校生)#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

k > 0

,

C : f (x) = x^{3} - 3 k^{2} x

Cは極大値16をもつ。C上の点(1,f(1))の接線lとCで囲まれた面積Sを求めよ。

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19奈良県教員採用試験（数学：2番　三角関数）

単元： #数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#接線と増減表・最大値・最小値#その他#数学(高校生)#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

0 ≦ θ ≦ π

y = s i n 2 θ + 2 (s i n θ + c o s θ) - i

のMAX、minとそのときのθの値を求めよ。

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08大阪府教員採用試験（数学：1番　整数問題）

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#その他#数学(高校生)#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

n \in Z

n^{5} - n

が30の倍数である

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13大阪府教員採用試験（数学：1-1番対数の整数問題）

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(1) 10<x<100

\log_{10} x

と

\log_{10} x^{3}

の小数部分が等しいときxの値を求めよ。

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10兵庫県教員採用試験（数学：2番円と直線）

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

C : x^{2} + y^{2} = 1, l : y = m x - 2 (m > 0)

は2点P,Qで交わる。
(1)

P Q = \sqrt{3}

のときmを求めよ。
(2)△PQRが最大となる円C上の点Rの座標を求めよ。
＊図は動画内参照

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11兵庫県教員採用試験（数学：1-4番　対数）

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(4)

x ≧ 2

,

y ≧ \frac{1}{2}

,

x y = 64

(l o g_{2} x) (l o g_{2} y)

の最大値、最小値を求めよ。

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重積分⑥-1【曲面・平面で囲まれた体積】（高専数学 微積II，数検1級1次解析対応）

10京都府教員採用試験（数学：2番 極限値）

重積分⑤【積分順序の変更（応用）】（高専数学 微積II，数検1級1次対応）

17愛知県教員採用試験（数学：10-(2) x軸回転体）

重積分④【積分順序の変更】（高専数学 微積II，数学検定1級解析）

10東京都教員採用試験（数学：1-(1) 解と係数の関係）

重積分③【積分領域の工夫】（高専数学 微積II，数学検定1級解析）

重積分②（高専数学 微積II，数学検定1級解析）

重積分①（高専数学 微積II，数学検定1級解析）

14京都府教員採用試験（数学：5番 三角関数）

08東京都教員採用試験（数学：1-(1) 相加平均・相乗平均）

14奈良県教員採用試験（数学：2-(6) y軸回転体・バームクーヘン積分 ）

16愛知県教員採用試験（数学：5番 対数，相加平均・相乗平均）

11神奈川県教員採用試験（数学：11番 重積分）

18奈良県教員採用試験（数学：1番 ベクトル）

15京都府教員採用試験（数学：3番 微分）

15神奈川県教員採用試験（数学：10番 定積分）

13神奈川県教員採用試験（数学：9番 数列の極限値）

13神奈川県教員採用試験（数学：11番 曲線の長さ）

13神奈川県教員採用試験（数学：8番 行列）

13神奈川県教員採用試験（数学：4番 整式の割り算）

円周率πが無理数であることの証明（数III）

13兵庫県教員採用試験（数学：2番 微分）

10兵庫県教員採用試験（数学：2番 整数問題）

15兵庫県教員採用試験（数学：3番 微積）

19奈良県教員採用試験（数学：2番 三角関数）

08大阪府教員採用試験（数学：1番 整数問題）

13大阪府教員採用試験（数学：1-1番 対数の整数問題）

10兵庫県教員採用試験（数学：2番 円と直線）

11兵庫県教員採用試験（数学：1-4番 対数）

重積分⑥-1【曲面・平面で囲まれた体積】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

10京都府教員採用試験（数学：2番　極限値）

重積分⑤【積分順序の変更（応用）】（高専数学　微積II，数検1級1次対応）

17愛知県教員採用試験（数学：10-(2)　x軸回転体）

重積分④【積分順序の変更】（高専数学　微積II，数学検定1級解析）

10東京都教員採用試験（数学：1-(1)　解と係数の関係）

重積分③【積分領域の工夫】（高専数学　微積II，数学検定1級解析）

重積分②（高専数学　微積II，数学検定1級解析）

重積分①（高専数学　微積II，数学検定1級解析）

14京都府教員採用試験（数学：5番　三角関数）

08東京都教員採用試験（数学：1-(1)　相加平均・相乗平均）

14奈良県教員採用試験（数学：2-(6) 　y軸回転体・バームクーヘン積分　）

16愛知県教員採用試験（数学：5番　対数，相加平均・相乗平均）

11神奈川県教員採用試験（数学：11番　重積分）

18奈良県教員採用試験（数学：1番　ベクトル）

15京都府教員採用試験（数学：3番　微分）

15神奈川県教員採用試験（数学：10番　定積分）

13神奈川県教員採用試験（数学：9番　数列の極限値）

13神奈川県教員採用試験（数学：11番　曲線の長さ）

13神奈川県教員採用試験（数学：8番　行列）

13神奈川県教員採用試験（数学：4番　整式の割り算）

13兵庫県教員採用試験（数学：2番　微分）

10兵庫県教員採用試験（数学：2番　整数問題）

15兵庫県教員採用試験（数学：3番　微積）

19奈良県教員採用試験（数学：2番　三角関数）

08大阪府教員採用試験（数学：1番　整数問題）

13大阪府教員採用試験（数学：1-1番対数の整数問題）

10兵庫県教員採用試験（数学：2番円と直線）

11兵庫県教員採用試験（数学：1-4番　対数）