ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

数学「大学入試良問集」【16−6 複素数平面と軌跡・回転移動】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

0 < a < 1

である定数

a

に対し、複素数平面上で

z = t + a i (t

は実数全体を動く

)

が表す直線を

l

とする。
ただし、

i

は虚数単位である。
（1）
複素数

z

が

l

上を動くとき、

z^{2}

が表す点の軌跡を図示せよ。

（2）
直線

l

を、原点を中心に角

θ

だけ回転移動した直線を

m

とする。

m

と（1）で求めた軌跡との交点の個数を

\sin θ

の値で場合分けして求めよ。

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数学「大学入試良問集」【16−5 複素数平面と軌跡の図示】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数C

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問題文全文(内容文)：

z

を複素数とし、

i

を虚数単位とする。
（1）

\frac{1}{z + i} + \frac{1}{z - i}

が実数となる点

z

全体の描く図面

P

を複素数平面上にそれぞれ図示せよ。
（2）

z

が上で求められた図形

P

上を動くときに

ω = \frac{z + i}{z - i}

の描く図形を複素数平面上に図示せよ。

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数学「大学入試良問集」【16−4 複素数平面と軌跡・領域】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#広島大学#数C

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問題文全文(内容文)：
複素数平面上で不等式

2 | z - 2 | ≦ | z - 5 | ≦ | z + 1 |

を満たす点

z

が描く図形を

D

とする。
（1）

D

を図示せよ。
（2）点

z

が

D

上を動くものとする。

a r g z = θ

とするとき、

\tan θ

のとりうる範囲を求めよ。
（3）

D

の面積を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【16−3 ド・モアブルの定理と累乗の取り扱い】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数C

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問題文全文(内容文)：

z

を絶対値が1の複素数とする。
このとき以下の問いに答えよ。
（1）

z^{3} - z

の実部が

0

となるような

z

をすべて求めよ。
（2）

z^{5} + z

の絶対値が1となるような

z

をすべて求めよ。
（3）

n

を自然数とする。

z^{n} + 1

の絶対値が1となるような

z

となるような

z

をすべてかけ合わせて得られる複素数を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【16−2 複素数平面と三角形の形との関係】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数C

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
複素数平面上に三角形

A B C

があり、その頂点

A, B, C

を表す複素数をそれぞれ

z_{1}, z_{2}, z_{3}

とする。
複素数

ω

に対して、

z_{1} = ω z_{3}, z_{2} = ω z_{1}, z_{3} = ω z_{2}

が成り立つとき、次の各問いに答えよ。
（1）

1 + ω + ω^{2}

の値を求めよ。
（2）三角形

A B C

はどんな形の三角形か。
（3）

z = z_{1} + 2 z_{2} + 3 z_{3}

の表す点を

D

とすると、三角形

O B D

はどんな形の三角形か。ただし、

O

は原点である。

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数学「大学入試良問集」【16−1 複素数平面と解と係数の関係】を宇宙一わかりやすく

単元： #複素数平面#複素数平面#英語(高校生)#大学入試過去問(英語)#学校別大学入試過去問解説(英語)#数学(高校生)#数C#京都大学

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問題文全文(内容文)：

c

を実数とする。

x

についての2次方程式

x^{2} + (3 - 2 c) x + c^{2} + 5 = 0

が2つの解

α, β

を持つとする。
複素平面上の3点

α, β, c^{2}

が三角形の3頂点になり、その三角形の重心は

0

であるという。

c

を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【14−15 折れ線の最小値と空間ベクトル】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#鳥取大学#数C

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問題文全文(内容文)：
点

A (1, 2, 4)

を通り、ベクトル

\vec{n} = (- 3, 1, 2)

に垂直な平面を

α

とする。
平面

α

に関して同じ側に2点

P (- 2, 1, 7), Q (1, 3, 7)

がある。
次の問いに答えよ。
（1）
平面

α

に関して点

P

と対称な点

R

の座標を求めよ。

（2）
平面

α

上の点で、

P S + Q S

を最小にする点

S

の座標とそのときの最小値を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【14−14四面体の体積•平面と垂直な直線】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#大分大学#数学(高校生)#数C

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問題文全文(内容文)：
空間内に4点

A (0, 0, 0), B (2, 1, 1), C (- 2, 2, - 4), D (1, 2, - 4)

がある。
（1）

∠ B A C = θ

とおくとき、

\cos θ

の値と

△ A B C

の面積を求めよ。

（2）

\vec{A B}

と

\vec{A C}

の両方に垂直なベクトルを1つ求めよ。

（3）
点

D

から、3点

A, B, C

を含む平面に垂直な直線を引き、その交点を

E

とするとき、線分

D E

の長さを求めよ。

（4）
四面体

A B C D

の体積を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【14−13線分の長さの最小値】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数C

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
座標空間内で点

(3, 4, 0)

を通り、ベクトル

\vec{a} = (1, 1, 1)

に平行な直線

l

、点

(2, - 1, 0)

を通り、ベクトル

\vec{b} = (1, - 2, 0)

に平行な直線

m

とする。
点

P

は直線

l

上を、点

Q

は直線

m

上をそれぞれ勝手に動くとき、線分

P Q

の長さの最小値を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【14−12空間ベクトルと平面上の点】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#帯広畜産大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
四面体

O A B C

において、

\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}

とする。
また、線分

O A

を

1 : 2

に内分する点を

P

、線分

A C

を

1 : 2

に内分する点を

Q

、線分

B C

を

2 : 3

に内分する点を

R

、線分

O B

を

t : (1 - t)

に内分する点を

S

とする。
ただし、

0 < t < 1

とする。
（1）

\vec{P Q}, \vec{P R}

を

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

を用いて表しなさい。

（2）
適当な実数

k, l

を用いて

\vec{P S} = k \vec{P Q} + l \vec{P R}

と表されるように、

t

の値を定めなさい。

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数学「大学入試良問集」【14−11空間ベクトルと正四面体】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C

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問題文全文(内容文)：
四面体

O A B C

の辺

A B

を

4 : 5

に内分する点を

D

、辺

O C

を

2 : 1

に内分する点を

E

とし、線分

D E

の中点を

P

、直線

O P

が平面

A B C

と交わる点を

Q

とする。
次の各問いに答えよ。
（1）

\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}

とおくとき、

\vec{O P}

を

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

で表せ。
また、

\vec{O P}

と

\vec{O Q}

の大きさの比

| \vec{O P} | : | \vec{O Q} |

を最も簡単な整数比で表せ。

（2）

△ A B Q

と

△ A B C

の面積比

△ A B Q : △ A B C

を最も簡単な整数比で表せ。

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数学「大学入試良問集」【14−10空間ベクトルと正四面体】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#佐賀大学#数C

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問題文全文(内容文)：
各辺の長さが1の正四面体

O A B C

に対し、

O B

を

2 : 1

に内分する点を

D, O C

を2等分する点を

E, B C

を2等分にする点を

F

とする。

D E

と

O F

の交点を

G

とするとき、以下の各問いに答えよ。
（1）

O G

の長さを求めよ。
（2）

A G

の長さを求めよ。

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数学「大学入試良問集」【14−9ベクトルと反転】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数C

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問題文全文(内容文)：

x y

平面において、原点

O

を通る半径

r (r > 0)

の円を

C

とし、その中心を

A

とする。

O

を除く

C

上の点

P

に対し、次の２つの条件

(a), (b)

で定まる点

Q

を考える。
（a）

\vec{O P}

と

\vec{O Q}

の向きが同じ。
（b）

| \vec{O P} | | \vec{O Q} | = 1

以下の問いに答えよ。
（1）
点

P

が

O

を除く

C

上を動くとき、点

Q

は

\vec{O A}

に直交する直線状を動くことを示せ。

（2）
（1）の直線を

l

とする。

l

が

C

と2点で交わるとき、

r

のとり得る値の範囲を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【14−8ベクトルと軌跡と等式・不等式】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#鳥取大学#数C

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
平面上において同一直線上にない3点

A, B, C

があるとき、次の各問いに対して、それぞれの式をみたす点

P

の集合を求めよ。
（1）

\vec{A P} + \vec{B P} + \vec{C P} = \vec{A C}

（2）

\vec{A B} ・ \vec{A P} = \vec{A B} ・ \vec{A B}

（3）

\vec{A B} ・ \vec{A C} + \vec{A P} ・ \vec{A P} ≦ \vec{A B} ・ \vec{A P} ＋ \vec{A C} ・ \vec{A P}

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数学「大学入試良問集」【14−7ベクトルの等式と円】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#山梨大学#数学(高校生)#数C

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

△ A B C

の外接円の中心を

O

とし、半径を1とする。

13 \vec{O A} + 12 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}

であるとき、次の問いに答えよ。
（1）内積

\vec{O A} ・ \vec{O B}

を求めよ。
（2）

△ O A B, △ O B C, △ O C A

の面積を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【14−6ベクトル方程式と領域図示】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数C

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

△ A B C

において

\vec{C A} = \vec{a}, \vec{C B} = \vec{b}

とする。
次の問いに答えよ。

（1）
実数

s, t

が

0 ≦ s + t ≦ 1, s ≧ 0, t ≧ 0

の範囲を動くとき、次の各条件を満たす点

P

の存在する範囲をそれぞれ図示せよ。
　（a）

\vec{C P} = s \vec{a} + t (\vec{a} + \vec{b})

　（b）

\vec{C P} = (2 s + t) \vec{a} + (s - t) \vec{b}

（2）
（1）の各場合に、点

P

の存在する範囲の面積は

△ A B C

の面積の何倍か。

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数学「大学入試良問集」【14−5円と正方形とベクトル】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#熊本工業大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
正方形

A B C D

において、

C D

の中点を

E

とし、

A E

の延長と正方形の外接円との交点を

F

とする。

\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}

とするとき、

\vec{A F}

を

\vec{a}

と

\vec{b}

を用いて表せ。

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数学「大学入試良問集」【14−4内心と平面ベクトルと面積の問題】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#近畿大学#数学(高校生)#数C

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

△ A B C

において、

A B = 3, B C = 4, C A = 2

とする。
このとき、

∠ A

と

∠ B

の2等分線の交点を

I

とする。

（1）

\vec{A I}

を

\vec{A B}

と

\vec{A C}

を用いて表せ。
（2）

△ A B C

の面積を求めよ。
（3）

△ I B C

の面積を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【14−3 垂直と平面ベクトルと正射影】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数C

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

△ O A B

において、辺

O A,

辺

O B

の長さをそれぞれ

a, b

とする。
また、

∠ A O B

は直角ではないとする。
2つのベクトル

\vec{O A}

と

\vec{O B}

の内積

\vec{O A} ・ \vec{O B}

を

k

とおく。
次の問いに答えよ。

（1）
直線

O A

上に点

C

を、

\vec{B C}

が

\vec{O A}

と垂直になるようにとる。

\vec{O C}

を

a, k, \vec{O A}

を用いて表せ。

（2）

a = \sqrt{2}, b = 1

とする。
直線

B C

上に点

H

を、

\vec{A H}

が

\vec{O B}

と垂直になるようにとる。

\vec{O H} = u \vec{O A} + v \vec{O B}

とおくとき、

u

と

v

をそれぞれ

k

で表せ。

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数学「大学入試良問集」【14−2 円と直線と平面ベクトルと。】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#立命館大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
点

O

を中心とする円に内接する

△ A B C

があり、

A B = 2, A C = 3, B C = \sqrt{7}

とする。
点

B

を通り直線

A C

の平行な直線と円

O

との交点のうち、点

B

と異なる点を

D

、直線

A O

と直線

C D

の交点を

E

とする。

（1）内積

\vec{A B} ・ \vec{A O}, \vec{A C} ・ \vec{A O}

を求めよ。

（2）

\vec{A O}

を

\vec{A B}

と

\vec{A C}

を用いて表せ。

（3）

\vec{A D}

を

\vec{A B}

と

\vec{A C}

を用いて表せ。

（4）

C E : D E

を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【14−1 平面ベクトルと一次独立の様々な解法】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

△ O A B

を

3 : 2

に内部する点を

C

、辺

O B

を

3 : 4

に内分する点を

D

とする。
線分

A D

と線分

B C

との交点を

P

とする。
また、

△ O P A, △ P D B

の面積をそれぞれ

S_{1}, S_{2}

とする。

（1）

\vec{O P}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。
（2）

S_{1} : S_{2}

を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−24 空間図形の断面積と体積】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#奈良教育大学#数Ⅲ

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問題文全文(内容文)：

x y z

空間の

x y

平面上に曲線

C : y = x^{2}, z = 0

　直線

l : y = x + a, z = 0 (a ≦ 1)

がある。
いま

C

と

l

の交点を

P, Q

とし、線分

P Q

を底辺とする正三角形

P Q R

を

x y

平面に垂直に作る。
直線

l

を

a = 1

から

C

に接するまで動かすとき、この三角形が通過してできる立体の体積

V

を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−23 空間図形の断面積と体積】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東京学芸大学

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問題文全文(内容文)：
図のような1辺の長さ

a

の立方体

A B C D - E F G H

がある。
線分

A F, B G, C H, D E

上にそれぞれ動点

P, Q, R, S

があり、頂点

A, B, C, D

を同時に出発して同じ速さで頂点

F, G, H, E

まで動く。
このとき、四角形

P Q R S

が通過してできる立体の体積を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−22 積分と不等式・無限級数の良問】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#山形大学#数Ⅲ

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問題文全文(内容文)：
自然数

n

に対して

S (x) = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k - 1} x^{2 k - 2}, R (x) = \frac{(- 1)^{n} x^{2 n}}{1 + x^{2}}

とする。
さらに

f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

とする。このとき、次の問いに答えよ。
（1）等式

\frac{0}{1} S (x) d x = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k - 1} \frac{1}{2 k - 1}

が成り立つことを示せ。
（2）定積分

\int_{0}^{1} f (x) d x

の値を求めよ。
（3）等式

S (x) = f (x) - R (x)

が成り立つことを示せ。
（4）不等式

| \int_{0}^{1} R (x) d x | ≦ \frac{1}{2 n + 1}

が成り立つことを示せ。
（5）無限階級

1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ・ ・ ・

の和を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−21 定積分関数の超良問（面積）】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ

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問題文全文(内容文)：
関数

f (x)

を

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + t^{2}} d t

で定める。
（1）

y = f (x)

の

x = 1

における法線の方程式を求めよ。
（2）（1）で求めた法線と

x

軸および

y = f (x)

のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−20 媒介変数のグラフと曲線の長さ、面積】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東邦大学

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問題文全文(内容文)：

r

を正の定数とする。

x y

平面上を時刻

t = 0

から

t = π

まで運動する点

P (x, y)

の座標が

x = 2 r (t - \sin t \cos t), y = 2 r \sin^{2} t

であるとき、以下の問いに答えよ。
（1）
点

P

が描く曲線の概形を、

x y

平面上にかけ。

（2）
点

P

が時刻

t = 0

から

t = π

までに動く道のり

S

は、

S = \int_{0}^{π} \sqrt{{[\frac{d x}{d t}]}^{2} + {[\frac{d y}{d t}]}^{2}} d t

で与えられる。
このとき、

S

の値を求めよ。

（3）点

P

が描く曲線と

x

軸で囲まれた部分を、

x

軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−19 定積分で示された関数の最大最小】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#中京大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = \int_{0}^{x} (x \cos t - \sin t) d t (0 ≦ x ≦ 2 π)

について次の問いに答えよ。
（1）

f (x)

を微分せよ。
（2）

f (x)

の最大値と最小値、およびそのときの

x

の値を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−18 円をy軸回転させた回転体の体積】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#高知大学#数Ⅲ

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問題文全文(内容文)：
図形

C : y^{2} + (x - 1)^{2} ≦ 4

を

y

軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−17 こぼれた水の体積と定積分】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ

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問題文全文(内容文)：
水を満たした半径2の半球体の容器がある。
これを静かに

α^{\circ}

傾けたとき、水面が

h

だけ下がり、こぼれ出た水の量と容器に残った水の量の比が

11 : 5

になった。

h

と

α

を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−16 x軸・y軸回転体の体積の求め方】を宇宙一わかりやすく

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問題文全文(内容文)：
双曲線

x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1

と

2

直線

y = 3, y = - 3

で囲まれた部分を、

x

軸、

y

軸のまわりに1回転してできる立体の体積を、それぞれ

V_{1}, V_{2}

とする。

\frac{V_{1}}{V_{2}}

を求めよ。

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